Шпаргалка по математике

1.Понятие  матрицы. Виды матриц. Транспонирование  матрицы. Равенство матриц. Алгебраические  операции над матрицами: умножение  на число, сложение, умножение  матриц.

.Матрицей размера mxn наз-ся прямоуг.таблица чисел,сост.из n-строк и m-столбцов.Эл-ты м-цы – числа,составл.м-цу. М-цы обознач.прописными(загл.)б-ми лат.алфав.,напр.:А,В,С,..,а для обознач.эл-тов м-цы исп.строч.буквы с двойной индексацией:а_ij,где i-номер строки, j – номер ст-ца. М-ца наз-ся невырожденной (неособенной, если |A|≠0. При |А|=0 – вырожденная (особенная) м-ца.

Виды м-цы: м-ца(вектор)столбец – м-ца,сост.из одного столбца; м-ца(вектор)строка – м-ца,сост.из одной строки; квадр.м-ца n-го порядка – м-ца,ч-ло стр.которой=ч-лу ст-в и =n.; диагонал. – все недиагонал.эл-ты квадр.м-цы равны 0.; единич.(обознач.Е) – все диагонал.эл-ты диагонал.м-цы =1; нулевая – м-ца,любого размера, если все её эл-ты равны 0.

Трансп.м-цы – это смена местами строк и ст-в с сох-м порядка следования эл-тов. А – исходная, А’(А^т)-транспонир. Если А м-ца имеет размер mxn, то А’ м-ца – nxm.

Равенство м-ц:две м-цы одинак.размера наз.равными,если они равны поэлементно.

Сложение м-ц: (одинак.размера)Складываем соотв.эл-ты.

Умножение на число: все эл-ты м-цы умнож.на это число. (Общ.множитель всех эл-тов выносится за знак.м-цы).

Умножение 2-х  м-ц: произведение м-цы А_mxn на м-цу В_nxp наз-ся м-ца С_mxp,каждый эл-т которой равен сумме произведений эл-в i-строки на соотв.эл. j – столбца. Перемножать можно только такие м-цы,когда число столбцов 1-ой м-цы равно числу строк 2-й м-цы. Произведение м-ц не коммуникативно. 2х3 3х7 не = 3х7 2х3,т.к. 7 не = 2.

Возвед.квадр.м-цы в степень. (только квадр.) А^m = А_* А_* ..А.  m раз.

5. Линейная  независимость столбцов (строк) матрицы.  Теорема о ранге матрицы.

Линейная зависимость  и независ.строк м-цы.Расм.прямоуг.м-цы А_mxn

l₁=(a₁₁,a₁₂,a₁₃,a₁₄,..,a_1n) – 1-я строка; l2=(a₂₁,a₂₂,a₂₃,a₂₄,..,a_2n) – 2-я строка.

l_m=(a_m,a_m2,a_m3,a_m4,..,a_mn)  Линейной комбинацией строк м-цы наз-ся выраж. λ– «лямбда».

λ _{1 *} k₁+ λ ₂k₂+… + λ _m-1k_{m -1}+ λ _mk_m  , где все λ -это числа.

Опред.:строки l₁,l₂,..,l_m – линейно независимые,если их линейная комбинация равна нулевой строке,когда все числа λ =0 (λ ₁=0, λ ₂=0, λ ₃=0,.. λ _m=0). Если опред-ль А не=0, то строки линейно независимы.

Опр:строки l₁,l₂,l₃,..l_m-1,l_m – лин.завис.,если их лин.комбинация = нулевой строке только, когда хотя бы одно из чисел λ ₁, λ ₂, λ _m ≠0.

ТЕОР.о ранге  м-цы. Ранг м-цы равен максимальному числу её лин.независ.строк или ст-в м-цы, через которые линейно выражаются все остальные её строки (ст-цы).

Пусть м-ца А размера mxn имеет ранг r(r≤min(m;n)). Это означает,что сущ-ет отличный от нуля минор r-го порядка. Всякий нулевой минор r-го порядка будет наз-ть базисным минором. Пусть для определённости это минор

      |a₁₁ a₁₂ ... a_1r|

      |a₂₁ a₂₂ ... a_2r|

∆= |...                 | ≠0.

      |a_r1 a_r2  ...  a_rr|

Тогда строки м-цы e1,e2,...,er линейно независимы. Предположим противное,т.е.одна из этих строк,напр. еr, явл-ся лин-й комбинацией остальных:

e_r=λ₁e₁+λ₂e₂+...+λ_r-1e_r-1.

Вычтем из эл-тов r-й строки эл-ты 1-й строки,умноженные на λ₁, эл-ты 2-й строки, умноженные на  λ₂, и т.д., наконец,эл-ты (r-1)-й строки,умнож-е на λ_r-1. При таких преобразованиях м-цы её опред-ль ∆ не изм-ся, но т.к. теперь r-я строка будет состоять из одних нулей, то ∆=0 – противоречие, и наше предполож.неверно.

10. 10. Решение систем п линейных уравнений с п переменными с помощью обратной матрицы (вывод формулы Х=А ^–1В).

 Рассм.с-ма лин.ур.,в кот.ч-ло ур-ний = ч-лу неизв-х. Тогда м-ца с-мы (сост.из коэф-в при неизв-х,когда в 1-м ст-це коэф-та Х₁, во 2-м коэф-та Х₂ и т.д.) квадратная.

Если м-ца с-мы невырожденная, то реш.с-мы ст-ц неизв-х

Х=А^-1В, где В – ст-ц своб.чл-в.

Для получ.реш-я с-мы (ф.1) при m=n в общ.виде предположим, что квадр.м-ца с-мы А_nxn невырожд.,т.е. её опред-ль |A|не=0. В этом сл-е сущ-ет обр.м-ца А^-1.

Умножая слева обе части матричного равенства (ф.5) на м-цу А^-1,получим А^-1(АХ)= А^-1В. Т.к. А^-1(АХ)=(А^-1А)Х=ЕХ=Х, то реш-м с-мы методом обр.м-цы будет м-ца-столбец Х= А^-1В.

А_mxn*Х_nx1=В_mx1 <=> (ф.1)

(a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+ а_nx_n=b₁

(a₂₁x₁+a₂₁x₂+… +a_2nx_n=b₂

(….

(а_mx₁+а_2mx₂+… +а_mnх_n=b_m

(а₁₁х₁+ а₁₂х₂ +…+а_1jx_j+...+а_1nx_n=b₁; (ф.5)

(а₂₁х₁+а₂₂х₂+…+а_2jx_j+…+а_2nx_n=b₂;

(...........

(а_i1х₁+а_i2х₂+…+a_ijx_j+…+a_inx_n=b_i;

(...........

(а_m1х₁+а_m2х₂+…+а_mjx_j +…+а_mnx_n=b_m.

2. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.

Опред.1-го порядка (м-цы 1-го порядка) наз-ся эл-т этой м-цы а₁₁. Е=(1),|E| = detE=1

A=(0),|A|=0.

Опред.2пор.наз-ся ч-ло,кот.считается  след.образом |A|=a_11*a₂₂ – a_12*a_21.

Опред.3пор.наз-ся ч-ло,кот.наход.по ф-ле (когда вычёркивают по пересечению..)

 Теор.Лапласа(о разлож.опред.) Опред.квадр.м-цы  равен сумме произведений эл-тов  какой-либо ст-ки или ст-ца на  их алгебраич.дополнения.

_^3 = a_11*A₁₁ + a_12*A₁₂ + a_13*A₁₃ (_^3 = a_{11 *}M₁₁ – a_{12 *}M₁₂ + a_{13 *}M₁₃)

Замечание:Для _^-ной м-цы (то есть такой,в кот.под эл-ми гл.диагонали-нули)опред-ль равен произвед.диагонал.эл-тов(эл-тов гл.диаг.)

Св-ва опред-й: 1)При трансп.опред-ль м-цы не меняется.

2)Если в м-це есть нулевая строка или нулевой столбец,то опред-ль такой м-цы =0.

3)Если в м-це поменять местами 2 ст-ки или ст-ца с сохр-м порядка след.эл-тов,то опред-ль поменяет знак на противопол.

4)Если в м-це есть 2 одинак.строки или столбца,то опред-ль такой м-цы =0.

5)Общ.множ-ль эл-тов какой-либо ст-ки или ст-ца можно вынести за зн.опред-ля.

6)Если к эл-там какой-либо стр.или ст-ца прибавить эл-т др.ст-ки или ст-ца,умноженные на любое число,то опред-ль не изм.

7. Собственные  векторы и собственные значения  матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.

Опр:В-р Х наз-ся собственным в-ром квадр.м-цы А, если он не нулевой и удовлетворяет ур-е А_nx1* Х_nx1=Y_* X_nx1,где Y-собств.зн-е квадр.м-цы А.коллинеарный в-р.

Число Y наз-ся собственным зн-ем оператора А^~ (м-цы А),соответствующим в-ру Х.

Метод вычисления собств.зн-ий и собств.в-ров.Т.к. Х_nx1=Е_{nx1 *} Х_nx1, то АХ=YEX ~ AX-YEX=0 ~ (A-YE)X=0. Если _^ = |A-YE|=0,то т.к.все _^1=0, сист.ур-ий имеет бескон.много реш.в этом сл-е (0/0).

Ур-е |A-YE|=0 – характеристическое ур-е м-цы. Из него находим Y и далее по ур-нию (A-YE)X=0 находим соотв.ненул.в-р Х.

Св-ва собств.зн-ний  м-цы А: 1)Произвед-е собств-х зн-ний м-цы А равно её определителю |А|=Y₁,Y₂,...,Y_n.

2)Число отличных от нуля собств.зн-ний м-цы А = её рангу.

3)Все собств.зн-я м-цы отличны от 0 тогда и только тогда,когда м-ца А невырожд.

4)Если Yне=0 – собств.зн-е невырожд.м-цы А,то Y-1=1/Y – собств.зн-е обрат.м-цы А^-1. 5)Если Y – собств.зн-е м-цы А,то Y^m-собств.зн-е м-цы А^m, где m – натур.ч-ло.

9. Метод  Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса.

 Метод Гаусса  – метод послед-го исключ.переменных.

Сначала(на 1-м шаге прямого  хода Гаусса) из всех ур-ний,кроме 1-го исключается  переменная х₁. Потом (на 2 шаге) из всех ур-й,кроме первых 2-х исключается переменная х₂ и т.д.,пока последнее ур-е не приобретёт вид:С _* Х_n=b_m, если ч-ло С=0, а b_m не=0,то с-ма не совместная,т.е.нет решений. Если С=0 и b_m=0,т.е. 0_*Х_n=0,то с-ма неопределённая,т.е. имеет бескон.мн.реш.,то с-ма совместно-определённая. В этом сл-е Хn=b_n/C

Полученное зн-е Х_n подстав.в предпосл.ур-е,находим Х_n-1 и тд.,пока не получ.все неизв-е.

Обратный ход Гаусса. Из м-цы ступенч.вида записывается ур-е. Далее,начиная с  конца находим все переменные. Допустим Х₄. Подставляем в верхнее и нах-м Х₃ и т.д.

Метод Гаусса — Жордана исп-ся для реш.квадр.систем лин.ур-ний, нахождения обрат.м-цы, отыскания ранга м-цы. Метод явл-ся модификацией метода Гаусса. Назван в честь Гаусса и Жордана.

Теорема Кронекера-Капелли. Сист.лин.ур-й совмест.тог.и т.тог,ког.ранг м-цы сист.А равен рангу расшир.м-цы (А|B) этой с-мы.

r<m – ур-я с-мы(строки расш.м-цы)зависимые;

r=m –ур-я с-мы (стр.расш.м.)независимые;

r(A)не=r(A|B)- с-ма несовм-ная;

r(A)=r(A|B)=r – с-ма совм-ная;

r<n – с-ма неопред.(бескон.мн.реш.);

r=n – с-ма опред-ная (единств.реш.)

Если у сист.ур-ния есть реш-е,то такая система совместна,если решения ур-я нет, то не совместная.

Если система лин.ур-й  имеет единств.решение Х=(х₁,х₂,…х_n),то такая сист.наз.определённой. Если СЛУ имеет больше, чем одно реш-е,то такая сист.не определённая.

3. Квадратная  матрица и ее определитель. Особенная  и неособенная квадратные матрицы.  Присоединенная матрица. Матрица,  обратная данной, и алгоритм ее  вычисления.

Определители  квадр.м-ц:

Опред.1-го порядка (м-цы 1-го порядка) наз-ся эл-т этой м-цы а₁₁. Е=(1),|E| = detE=1

A=(0),|A|=0.

Опред.2пор.наз-ся ч-ло,кот.считается  след.образом |A|=a_11*a₂₂ – a_12*a_21.

Опред.3пор.наз-ся ч-ло,кот.наход.по ф-ле (когда вычёркивают по пересечению..)

Св-ва опред-й: 1)При трансп.опред-ль м-цы не меняется.

2)Если в м-це есть нулевая строка или нулевой столбец,то опред-ль такой м-цы =0.

3)Если в м-це поменять местами 2 ст-ки или ст-ца с сохр-м порядка след.эл-тов,то опред-ль поменяет знак на противопол.

4)Если в м-це есть 2 одинак.строки или столбца,то опред-ль такой м-цы =0.

5)Общ.множ-ль эл-тов какой-либо ст-ки или ст-ца можно вынести за зн.опред-ля.

6)Если к эл-там какой-либо стр.или ст-ца прибавить эл-т др.ст-ки или ст-ца,умноженные на любое число,то опред-ль не изм.

Опред.квадр.м-цы равен сумме произведений эл-тов какой-либо ст-ки или ст-ца на их алгебраич.дополнения.

_^3 = a_11*A₁₁ + a_12*A₁₂ + a_13*A₁₃ (_^3 = a_{11 *}M₁₁ – a_{12 *}M₁₂ + a_{13 *}M₁₃)

М-ца наз-ся невырожденной (неособенной, если |A|не=0. При |А|=0 – вырожденная (особенная) м-ца.

Присоедин.м-ца. А^~ присоединённая для м-цы А,если она сост.из алгебраич.дополнений к эл-там транспонир.м-цы. Замеч.:чтобы быстро найти присоедин.м-цу для квадр.м-цы 2-го порядка надо поменять местами эл-ты на гл.диагонали, а перед другими двумя Эл-ми поменять знак на противоп.

Обратная м-ца. А^-1 наз-ся обратной для м-цы А, если произведение этих м-ц в любом порядке есть Единичное. А_*А^-1=А^-1_*А=Е  Замечание:если опред-ль м-цы А не равен 0,то такая м-ца наз-ся невырожденной (неособенной).

ТЕОР.для того, чтобы квадр.м-ца А имела обратную,необх.и достат., чтобы она была невырожденной. А^-1 нах-ся о формуле: А^-1=1/|А| _* А^~ (сначала находим опред-ль (|A|), затем присоед.м-цу (А^~), потом по ф-ле находим обр.м-цу А^-1)      

8. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.

8. Система лин.ур-ний:

А_mxn*Х_nx1=В_mx1 <=> (ф.1)

(a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+ а_nx_n=b₁

(a₂₁x₁+a₂₁x₂+… +a_2nx_n=b₂

(….

(а_mx₁+а_2mx₂+… +а_mnх_n=b_m

В матричной форме система имеет вид АХ=В, где

      (а₁₁ a₁₂  ...  a_1n)

A= (a₂₁ a₂₂  ...  a_2n)

ф.2(...    ...    ...  ... );

      (a_m1 a_m2 .. a_mn)

       (x₁)

X=  (x₂)

ф.3 (....);

       (x_n)

      (b₁)

B= (b₂)

ф.4(....);

      (b_m)

называются собственно матрицей системы, матрицами-столбцами переменных и свободных членов.

Решение системы:а)методом обр.м-цы. Ур-е в матричной ф-ме имеет вид АХ+В. Найти обр.м-цу. И найдём Х по ф-ле Х=А^-1В,(т.е.х₁,х₂,х₃.)

 б)По ф-ле Крамера. Найти определитель системы _^=|A|. Если он не=0,то сист.имеет единств.реш. Далее вычислить опред-ли м-ц _^1,_^2,_^3,полученных их м-цы А,заменой соотв-но 1-го,2-го и 3-го ст-цов столбцом своб.членов. Далее по ф-лам Крамера:х1=^1/_^, х2=^2/_^, х3=^3/_^.

Расширенной м-цей системы наз.м-ца (А|В),полученная из м-цы сист.А добавлением к ней ст-ца членов этой системы,т.е. (А|В)=(ф.2|ф.4)

Теорема Кронекера-Капелли. Сист.лин.ур-й совмест.тог.и т.тог,ког.ранг м-цы сист.А равен рангу расшир.м-цы (А|B) этой с-мы.

r<m – ур-я с-мы(строки расш.м-цы)зависимые;

r=m –ур-я с-мы (стр.расш.м.)независимые;

r(A)не=r(A|B)- с-ма несовм-ная;

r(A)=r(A|B)=r – с-ма совм-ная;

r<n – с-ма неопред.(бескон.мн.реш.);

r=n – с-ма опред-ная (единств.реш.)

Если у сист.ур-ния есть реш-е,то такая система совместна,если решения ур-я нет, то не совместная.

Если система лин.ур-й  имеет единств.решение Х=(х₁,х₂,…х_n),то такая сист.наз.определённой. Если СЛУ имеет больше, чем одно реш-е,то такая сист.не определённая.

4. Понятие  минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример.

Минором M_ij эл-та a_ij квадр.м-цы A n-ого порядка наз-ся опред-ль квадр.подм-цы n-1-го порядка, полученной из исходной вычёкиванием i-строки и j-ст-ца.

Если в м-це А размера mxn выделить какие-либо k ст-к и k ст-в (k ≤ min (m,n)),то опред-ль  подм-цы из получаемых на пересечении этих строк и ст-в эл-в наз-ся минором k-го порядка м-цы А.

Ранг м-цы - это наивысший порядок минора м-цы отличный от нуля. (Минор м-цы – то опред-ль квадр.подм-цы). r(А) = n

Ранг м-цы равен максимал.числу  лин.независ.ст-к или ст-в м-цы.

Эл.преобраз.:1)отбрас.нулевой строки или ст-ца. 2)Трансп.м-цы, 3)Сложение(или  вычит.)эл-тов какой-либо строки или  ст-ца с соотв.эл-ми др.стр.(ст.), умноженными на какое-то(любое)число., 4)Смена местами стр-к или ст-в м-цы с сохран.порядка след.эл-тов в них.

ТЕОР.Ранг м-цы не меняется при эл.преобраз.

Опр:М-ца наз-ся ступенчатой,если под  эл-ми гл.диагонали такой м-цы только нул.эл-ты или эл-тов вообще нет. Замечание:Элементарн.преобразованиями любая м-ца приводится к ступенчатой. В такой ступенчатой матрице ранг это число строк в ней. Это число совп.с рангом исх.м-цы,т.к.при элементар.преобр.ранг не меняется.

  *2 (  2 -4  1   5  3)<\      

   |   ( 0 -1  3   0   2)    |     

  +  (-4   5  7 -10 0)    |  ~

       (-2   1  8  -5  3)</      

     (2 -4 1 5 3)         (2 -4 1 5 3)

    (0 -1 3 0 2)*3      (0 -1 3 0 2)

~  (0 -3 9 0 6) -   ~  (0  0  0 0 0)

    (0 -3 9 0 6) -       (0  0  0 0 0)

    (2 -4 1 5 3)

    (0 -1 3 0 2)

~  (0  0  0 0 0) > r(A)=2,т.к.

    (0  0  0 0 0)    2 строки в ступенч.м-це.

11. Теорема  и формулы Крамера решения  системы п линейных уравнений с п переменными (без вывода).

.Ф-лы Крамера  решения с-м из n ур-ний с n неизв.

Рассм.сист.из n ур-й с n незв.,которая в матричном виде м.б. записана А_nxnХ_nx1=В_nx1.

Обозначим опред-ль м-цы системы |А|=_^. Если (опред-ль м-цы) _^не=0,то сист.имеет ед.реш. х_i=^i/_^, i=1...n, где _^1,_^2, _^3,..._^n побочные опред-ли. Когда находят _^1,то в м-це системы 1-ый ст-ц заменяет ст-ц своб.чл. Для определению _^2 в м-це сист.2-ой ст.заменяют ст.св.чл-в.

Для вычисл._^3 в м-це с-мы 3-й ст.заменяют ст.св.чл-в. Затем находят х₁,х₂,х₃ по ф-ле х_i=^i/_^.

Замечание: (Из метода гаусса 0_*Х_n=0,то бескон.мн.реш. Формально Х_n=0/0 – неопред.)

Если _^=0 и все _^i=0 (i=1,...n),то сист.имеет бескон.мн.реш(кот.устан.мет.Гауса). Если _^=0 и хотя бы один из _^i не=0 (5/0-нельзя),то с-ма не совместна,т.е.не имеет реш.

ТЕОРЕМА КРАМЕРА. Пусть _^ - опред-ль м-цы с-мы А, а _^j – опред-ль м-цы, получаемый из м-цы А заменой j-го ст-ца ст-цом св.чл-в. Тогда,если _^не=0,то с-ма имеет единств.реш.,определяемое по ф-лам: Х_j=^j/_^ (j=1,2,...,n). Ф-лы получ.назв.ф-мул Крамера.

Обр.м-ца А^-1=1/|A| _*A^~, где А^~ - м-ца,присоед.к м-це А.Т.к. эл-ты м-цы А~ есть алгебраич.доп-я эл-в м-цы А’,трансп-й к А, то

(х₁)               (А₁₁ А₁₂ … А_n1) (b₁)

(х2)              (А₁₂ А₂₂ … А_n2)  (b₂)

(…) = 1/|А|   (…                   )  (…)

(х_n)               (А_1n А_2n …А_nn)  (b_n)

Учитывая, что |А|=^,получим после  умнож.м-ц 

(х₁)            (b₁А₁₁+ b₂А₁₂+ … + b_nА_n1)

(х₂)            (b₁А₁₂+  b₂А₂₂+ … + b_nА_n2)

(…) = 1/^  (…                                       )

(х_n)            (b₁А_1n+ b₂А_2n+ … + b_nА_nn)

откуда следует, что  для любого j(j=1,2,…,n) Х_j=1/_^ (b₁A_1j + b₂A_2j + .. + b_nA_nj).

b₁А_1j + b₂А_2j + .. + b_nА_nj = _^j, где _^j- опред-ль м-цы,получ.из м-цы А заменой j-го ст-ца (j = 1,2,..,n) ст-м св.чл-в. След-но, Х_j=^j/_^. чтд

21. Производная  и ее геометрический смысл.  Уравнение касательной к плоской  кривой в заданной точке.

Опр:Производной ф-ции у=f(x) наз-ся предел отнош.приращ.ф-ции к приращ.аргумента, при усл-ии, что приращ.арг. мало, а предел сущ-ет и конечен. y’=lim_∆x→0∆y/∆x.

АВ – секущая гр.ф-ции y=f(x)

α=_└ВАС.

Kсек=tgα=tg_└ВАС=ВС/АС=∆у/∆х

Если ∆х→0, то т.В→с  т.А.

Секущая АВ→в своё предельное положение, называемой касательной АВ. Значит Kкас= lim_∆x→0∆y/∆x.

Т.о. Геом.смысл  производной заключ.в том, что производная в т.касания равна угл.коэф-ту касательной, т.е. f’(x)=Kкас.

Ур-е касат-й: y-y0=f’(x₀)(x-x₀). 

y₀=f(x₀)

6. Векторы.  Операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число), n-мерный вектор. Понятие о векторном пространстве и его базисе.

 Геом.вектор. Вектор АВ^-> – направленный отрезок прямой (АВ) с нач.в т.А и концом в т.В. При умнож.вектора на число «У» получается коллинеарный в-р.

Длина в-ров |АВ|= кв.корень х²+у²                   

  В-ры,лежащие на одной прямой наз-ся коллинеарными. В-ры,лежащие в одной плоскости или ||-ных плоскостях наз-ся компланарными. Если нач.и конец вектора совп.,то в-р наз-ют нулевым. Длина нул.вект.=0.

Вектором,противоп-м  в-ру а^->,наз-ся произвед.в-ра а^->на ч-ло (-1),т.е. - а^->=(-1)а^->.

Координатами в-ра а^-> наз-ся корд-ты его конечной точки. На плоскости Oxy два ч-ла - (х;у), в пространстве Oxyz три ч-ла - (х;у;z).

В-р а^-> = (x;y;z)  мож.б.записан в виде а^-> =   хi^-> +yj^->+zk^->.    i^->,j^->,k^-> – единичные в-ры(орты),совпадающие с направл.соотв.осей Ох,Оу,Оz. хi^->,уj^->,zk^-> - компоненты в-ра.

Операции над  в-ми:

1) Суммой двух в-ров а^-> и b^-> наз-ся в-р с^->=а^->+ b^->,нач.кот.совп-т с нач.в-ра а^->, а конец – с концом в-ра b^->при усл.,что нач.в-ра b^-> совп.с концом в-ра а^->.

Правило треугольника. Для слож.2-х в-ров а^->и b^->  по правилу треуг-ка оба эти в-ра переносятся ||-но самим себе так,чтобы нач.одного из них совп.с концом другого. Тогда в-р суммы задаётся 3-ей стороной образовавшегося треуг-ка, причём его нач.совп.с нач.первого в-ра.

2)умнож.в-ра на ч-ло:при умнож.в-ра на ч-ло Y пол-ся коллинеарный в-р. (Произвед.в-ра а^-> на ч-ло У наз-ся в-р b^->=Уа^->,имеющий длину |b^->|=|У||а^->|,направление кот.совп.с направл.в-ра а^->, если У<0.) Если b^->=  а^->Y,то а^->|| b^->. И наоб.,если а^->|| b^->( а^->не=0),то b^->=  а^->Y.

3) Разностью 2-х в-ров а^->и b^->  наз-ся сумма в-ра  а^-> и в-ра -b^->,противоположного b^->.

||Скалярным произведением  2-х в-ров наз-ся ч-ло,равное произведению длин этих в-ров на косинус угла между ними: а^-> * b^-> *cosф, где ф-угол между в-рами а^-> и b^->. В-ры явл-ся ||-ми тогда и только тогда, когда их скал.произвед.=0.

 ||n-мерным в-ром наз-ся упорядоченная совокуп.n действительных чисел,записываемых в виде х=(х₁,х₂,..,х_n),где числа х₁,х₂,х₃,..х_n компоненты в-ра.

Равенство в-ров.Векторы х и y равны тогда и только тогда, когда равны их соотв.компоненты,т.е. х=у,если х_i=у_j, i=1,2,…,n.

Суммой 2-х в-ров одинак.размерности  n наз-ся в-р z=x+y,компоненты кот.равны сумме соотв.компонент слагаемых в-ров,т.е.z_i=x_i+y_i,i=1,2,...,n.

Произв-м в-ра на действит.ч-ло Y наз-ся в-р u=Yx,комп-ты кот.равны произв-ю Y на соотв.комп-ты в-ра х,т.е. u_i = Yx_i, i=1,2,...,n.

Линейные оп-ции  над люб.в-рами удовлет.след.св-вам: 1)х+у=у+х – коммутативное, 2)(х+у)+z=х+(у+z) – ассоциативное(сочетательное), 3)альфа(бета*х)=(альфа*бета)х, 4)альфа(х+у)=альфа*х+альфа*у, 5)(альфа*бета)х=альфа*х+бета*х, 6)сущ-т нул.в-р 0=(0,0,…,0)такой,что х+0=х для люб.в-ра х., 7)для люб.в-ра  сущ-т противоп.в-р (-х) такой,что х+(-х)=0., 8)1*х=х для люб.в-ра х.

Опр.:ВЕКТОРНОЕ ПР-ВО:множество в-ров с действит.компонентами,в котором определены операции сложения в-ров и умнож.в-ра на ч-ло,удовлетворяющее приведённым выше 8-ми св-вам.

n-векторное пространство – это множество всех n-мерных векторов.

Вектор а_m наз-ся линейной комб-ей в-ров а₁,а₂,..,а_m в-рного простр-ва R,если он равен сумме произв-ний этих в-ров на произвол.действит.ч-ла: am= Y₁a₁+ Y₂a₂+ ...+Y_m-1a_m-1, где Y₁,Y₂,...,Y_m-1 – какие угодно действит.ч-ла.

Опр.:В-ры а₁,а₂,…,а_m в-рного простр-ва R наз-ся лин.завис.,если сущ-ют такие ч-ла Y1,Y2,...,Ym,не равные одновременно нулю, что Y₁a₁+Y₂a₂+...+ Y_ma_m=0. В противном случае в-ры наз-ют лин.независ.

Лин.простр-во наз.n-мерным,если в нём сущ-ет n линейно независ.в-ров,а любые из (n+1) в-ров уже явл-ся завис. Размерность  пр-ва – это максимально ч-ло содержащихся в нём линейно независ.в-ров. Ч-ло n наз-ся размерностью пр-ва R. Совокупность n линейно независ.в-ров n-мерного пр-ва таких,что любой в-р прост-ва может быть единственным образом представлен в виде их лин.комбинации наз-ся БАЗИСОМ.

Если е₁,е₂,…,е_n – система лин.независ.в-ров пр-ва R и любой в-р а лин.выражается через е₁,е₂,…,е_n, то пр-во R явл-ся n-мерным,а в-ры е₁,е₂,…,е_n – его базисом.

16.Предел  последовательности при n-→∞ и предел функции при x→∞. Признаки существования предела (с доказательством теоремы о пределе промежуточной функции)

Если  каждому натуральному числу nЄN поставлено в соответствии вполне определенное число a_n , то говорят, что на множестве натуральных чисел задана числовая посл-ть { a_n }.

Числ. посл-ть  - это функция натурального аргумента

Пример 

a_n= 2n+1/ 3n+2

a₁ = 2*1+1/3*1+2=3/5

Качественное  опр-е: Предел числ посл-ти – это число к которому стремится общий член посл-ти (n-→∞)

| a_n -A|→0

Количественное опр-е:A называется пределом числ. посл-ти a_n , если для любого даже сколь угодно мало положительного числа эпсилон, найдется такой номер N, зависящиеся от E, что для всех n будет выполняться нер-во

{A= lim a_n } <=> {   E>0  N=N/E:n>N→| a_n -A|<E}

Геометрический  смысл предела числ. посл-ти

Нер-во | a_n -A|<E<=> -E<a_n -A <E     <=>   A-E< a_n<A_n +E

Границы (A-E; A +E) означают, что практически большинство членов посл-ти находящихся в E – окрестности в т.А, а вне этой окр-ти находится ограниченное число членов посл-ти, находится вне этой окр-ти

1;1/2;1/3; ….1/10……1/11;1/12

вне Е окр-ти          принадлежат Е-окр.

Предел функции  в бесконечности

A= lim f(x)

Число А называется пределом функции при x→∞ ., если для любого даже сколь угодно малого полож числа E>0  , найдется такое полож число S>0 (зависящее от Е, S=S (E)), что для всех х таких что |х|>S

верно нер-во |х|>S

|f(x)-A|<E

Признаки существования  предела

Теорема1. Если числовая последовательность{ a_n } монотонна и ограниченна, то она имеет предел.

Теорема2.Если в некоторой окрестности точки х₀ функция заключена между двумя функциями φ(х) и ψ(х), имеющими одинаковый предел А при x→х_{0 (}x→∞.), то функция имеет тот же предел А.

Пусть при x→х₀      lim φ(х)=А, lim ψ (х)=А

Это означает, что для  любого Е>0 найдется такое число σ>0, что для всех х≠ х₀ и удовлетворяющих условию |х- х₀|< σ

Будут верны одновременно нер-ва

|φ(х)-А|<Е,      | ψ (х)-А|<Е

если А-Е< φ(х) <А+Е,    А-Е< ψ (х) <А+Е

Т.к. по условию функция  заключена между 2-мя функциями, т.е. φ(х) <f(x) < ψ (х)

То из нер-в следует, что А-Е< f(x) <А+Е, т.е. |f(x)-A|<E

А это и означает, что lim f(x)=А

22. Дифференцируемость  функций одной переменной. Связь  между дифференцируемостью и  непрерывностью функции (доказать  теорему).

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Если функция в точке  х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция дифференцируемая во всех точках промежутка х, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Связь между дифференцируемостью  и непрерывностью функции.

Если функция y=f(x) дифференцируема в т.х₀ , то она непрерывна в этой точке.

Док-во. Согласно определению производной

y’= lim ∆y/∆x

∆x→0

согласно теореме о связи  предела с БМ величинами

y’= ∆y/∆x + α׀ *∆x

∆xy’=∆y+∆x+α(∆x)

если ∆x→0. то и ∆y →0.т.е. непрерывна

Непрерывна в т. х₀ функция y’=f(x) не обязательно дифференцируема в этой точке

12. . Понятие функции, способы задания функций. Область определения. Четные и нечетные, ограниченные, монотонные функции. Примеры.

Постоянной величиной наз-ся вел-на,сохраняющая одно и то же зн-е (число «пи»). Если вел-на сохр.пост-е зн-е лишь в усл-ях данного процесса,то в этом сл-е она наз-ся параметром.

Переменной наз-ся вел-на,кот.может принимать различные числ.зн-я.

Понятие функции. Опр: Если каждому эл-ту Х множества Х(х принадл. Х) ставится в соотв-е вполне опред-ный эл-т у множества Y (y принадл. Y),то говорят, что на мн-ве Х задана функция y=f(x).

При этом х наз-ся независимой пер-й (аргументом),y-зависимой пер-й, а буква f обозн-т закон соответствия.

Мн-во Х наз-ся областью определения ф-ции, а мн-во Y – обл.зн-й ф-ции.

Под обл-ю опред-я ф-ции подразумевается  обл.допустимых зн-й независ.переменной х, т.е. мн-во таких зн-й х,при кот.ф-ция  y=f(x) вообще имеет смысл.

Способы здания фун-й. а)аналитический с.- если ф-ция задана ф-лой вида y=f(x). Одна ф-ция может иметь (допустим)2 аналитических выражения.

б)Табличный – состоит в том,что ф-ция задаётся таблицей, содержащей зн-я аргумента х и соотв.зн-я ф-ции f(x).

в)Графический – состоит в изображении графика ф-ции – мн-ва точек (х;у) плоскости, абциссы которых есть зн-я аргумента х, а ординаты – соотв-е им зн-я ф-ции y=f(x).

г)Словесный – если ф-ция описывается правилом её составления,напр.ф-ция Дирифле:f(x)=1, если х-рационально; f(x)=0, если х – иррационально.

Чётность и нечётность.

f(-x)=f(x) – чётная, график симметричен относит. Оу. (х²)

f(-x)=-f(x) – нечётная, гр.симметричен относит. Начала координат. (х³)

В противном сл-е ф-ция y=f(x) наз-ся ф-цией общего вида.

Монотонность.

Ф-ция y=f(x) возрастает на промеж.Х, если большему зн-ю аргумента соотв. большее зн-е ф-ции.

Ф-ция y=f(x) убывает на промеж.Х, если большему зн-ю аргумента соотв. меньшее зн-е ф-ции.

Ф-ции возрастающие или убыв-е  наз-ся монотонными ф-циями.

Ограниченность.

Ф-ция f(x) – ограниченная на промеж.Х, если сущ-ет такое полож.ч-ло M>0, что |f(x)|<и равно М для любого х принадлежащего промежутку Х. Например, ф-ция y=sinx ограничена на всей числ-й оси,т.к. |sinx|<и равно1 для любого х, принадл-го R.

Периодичность.

Ф-ция периодическая с периодом T не=0, если для любых из обл.опред-я ф-ции f(x+T)=f(x). Напр., ф-ция у=sinx имеет период T=2«пи»,т.к. для любых х sin(x+2«пи»)=sinх.

13. Понятие  элементарной функции. Основные  элементарные функции и их графики (постоянная, степенная, показательная, логарифмическая).

Элементарная ф-ция.

Опр:Эл.ф-ция – составленная из основных элементарных (константа,степенная,логарифм. и т..д.) при помощи алгебраических действий или при помощи конечного числа операций образования сложной ф-ции.

Алгебраической наз-ся ф-ция, в кот. над аргументом производится конеч.ч-ло алгебраич.действий. К ч-лу алг.ф.относят:1)целая рациональная ф-ция: у=а₀хⁿ + а₁х^n-1 + … + а_n-1х + а_n; 2)дробно-рациональная ф-ция – отношение 2-х многочленов; 3)иррациональная ф-ция – если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня.

Преобр-е графиков. 1.Гр.ф-ции у=f(х+а) есть гр. у=f(х), сдвинутый (при а>0 влево, при а<0 вправо) на |а| ед-ц парал-но оси Ох.

2.Гр.ф-ции у=f(х)+b есть гр. у=f(х), сдвинутый (при b>0 вверх, при b<0 вниз) на |b| ед-ц параллельно оси Оу.

3.Гр.ф-ции у=mf(х) (m не=0) есть гр. у=f(х), растянутый (при m>1) в m раз или сжатый (при 0<m<1) вдоль оси Оу. При –беск.<m<0 гр.ф-ции у=mf(х) есть зеркальное отображение гр. у=-mf(х) от оси Ох.

4.Гр.ф-ции у=f(kх) (k не=0) есть гр. у=f(х), сжатый (при k>1) в k раз или растянутый (при 0<k<1) вдоль оси Ох. При –беск.<k<0 гр.ф-ции у=f(kх) есть зеркальное отобр-е гр-ка у=-f(kх) от оси Оу.

Осн.эл.ф.:(только непериодические ф-ци!)1)Степенная ф: а) y=xⁿ (n принадл.N) Обл.опр.: (-б,+б); Обл.зн.:(-б,+б),если n-неч.,[0;б), если n-неч.; Чет/нечет: Неч,если n-неч; чет-если n – чёт.; График: Возрастает на (-б;+б), если n- неч; убывает на (-б;0], возр.на (0;б), если n – чёт.

б) у= x^-n (n принад. N). Обл.опр.: (-б;0) U (0,б); Обл.зн.: (-б,0) U (0,б), если n – неч., [0,б), если n – чёт. Чет/нечет: Неч.,если n –неч., Чёт,если n-чёт.; График: Убыв.на (-б,0) и на (0,б),если n-неч.; возр.на (-б,0) и убыв. на (0,б),если n-чёт.

в) у =ⁿкв.к.х (n принад. N, n>1). Обл.опр.: (-б,б), если n-неч., [0,б), если n-чёт. Обл.зн.: (-б,б),если n-неч., [0,б), если n-чёт. Чёт/нечёт: Неч., если n-неч, общ. в., если n-чёт. График: Возр. на (-б,б), если n-неч, возр. На [0,б), если n-чёт.

2)Показательная  ф.: у=а^x (а>0, а не=1) Обл.опр.: (-б,б); Обл.зн.: (0,б); Чёт/нечёт: общ.в; График: Возр. на (-б,б), если а>1, убыв. на (-б,б), если (-б,б), если 0<а<1.

3)Логарифмическая  ф.: у=log_ax (a>0, a не=0) Обл.опр.: (0,б); Обл.зн.: (-б,б); Чёт/Нечёт: общ.в; График: Возр. на (0,б), если а>1, убыв. на (0,б), если 0<а<1.

24.Формулы  производных основных элементарных  функций (одну из формул вывести). Производная сложной функций.

Формулы производных основных элементарных функции.

1.С’ = 0

2.x’=1

3.(u+v)’=u’+v’

4.(uv)’=u’v+uv’

5.(cu)’= cu’

6.(u/v)’= u’v-uv’/v²

7.(uⁿ)’= nu^n-1*u’

8ю(√г)э=(1.2√г)*гэ

9ю(1.г) =-1.г²*гэ

10ю(у^г)э= у^г*гэ

11.(a^u)’= a^u lna*u’

12.(lnu)’=1/u*u’

13.(log_au)’ = (1/ulna)*u’

Выводим формулу y=lnx

1. Дадим аргументу х приращение ∆x≠0и найдем наращенное значение функции y+∆y=f(x+∆x)

x. ∆x≠0 y+∆y=ln(x+∆x)

2.Находим приращение функции∆y=f(x+∆x)-f(x)

∆y=ln(x+∆x)-lnx=ln(x+∆x/x)= ln (1+∆x/x)

3.Cоставляем отношение ∆y/∆x

∆y/∆x= 1/∆x*ln (1+∆x/x)

4.Находим предел этого отношения при ∆x→0

 т.е. y’=lim∆y/∆x (если этот предел существует).

y’= lim∆y/∆x= lim 1/∆xln(1+∆x/x)= (0/0)= lim ln(1+y)/xy=1/xlimln(1+y)^1/y= 1/xlimlne=1/x

      Производная  сложной функции

Пусть y=f(u) и u=φ(x) – дифференцируемые функции от своих аргументов, тогда производная сложной функции y=f (φ(x) существует и равна производной данной функции но промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х, т.е.

y’=f’(u)’*u_x’

y’=lim ∆y/∆x= lim ∆y*∆u/∆x*∆u= lim ∆y/∆u*lim∆u/∆x= lim ∆y/∆u= f’(u)*u’

(если∆x→0, то и ∆u→0, т.к.  u= φ(x)- непрерывна)

18.Бесконечно  малые величины (определение). Свойства  бесконечно малых  (одно из  них доказать). Бесконечно большие  величины, их связь с бесконечно  малыми.

Функция y=f(x) называется БМ при определенном стремлении аргумента, если рано или поздно ее значение по модулю будут меньше любого наперед выбранного полож числа Е, т.е. |f(x)|<E, то

 lim f(x)=0

 Св-ва БМ  величин

1.алгебраическая сумма конечного числа БМ величин есть величина БМ

2.произведение БМ величины на ограниченную функцию есть величина БМ

3.частное от деления БМ величины на функцию, предел который отличен от нуля, есть величины БМ.

Доказательство 1 св-ва.

Дано α(х,), β(х) – БМ

Д-ть: (α(х,)+ β(х)) – БМ при x→х₀

Док-во по усл. α(х,) есть БМ при x→х₀

Е>0

Е’= Е/2>0,    σ₁>0, х≠ х₀

|х- х₀|< σ₁   (1)

| α(х,) |<Е/2   (2)

По усл β(х) – БМ при x→х₀

Е’= Е/2>0,    σ₂>0, х≠ х₀

|х- х₀|< σ₂   (3)

| β (х,) |<Е/2   (4)

σ= min (σ₁ ;σ₂)

|х- х₀|< σ    (5)

Тогда значения х удовл (5) будут верны оба нер-ва

(2) и (4) складываем их  и получаем

| α(х,)+ | β (х,) <Е/2+Е/2

|x+y|<|x|+|y|

По свойству модулей  получим |α(х,)+ β(х) |<Е    (6)

Итак, для любого Е>0 существует такое число σ>0, что для всех х≠ х₀ удовл. усл.(5) будет верно нер-во (6)

Функция y=f(x) называется ББ при определенном стремлении аргумента, если рано или поздно ее значение по модулю будут больше любого наперед выбранного полож числа | f(x) |>M. M>0

lim f(x)= ∞

Теорема о связи между БМ и ББ величинами

1.Если функция имеет при x→х_{0 (}x→∞.), предел, равный числу А, то эту функцию можно представить в виде суммы, этого числа А и БМ α(х,) при x→х_{0 (}x→∞.),

f(x) = A+ α(х,)

2.Если функцию можно представить как сумму числа А и БМ α(х,) при x→х_{0 (}x→∞.), то число А – есть предел этой функции. lim f(x)=A

29. Понятие  асимптоты графика функции. Горизонтальные, наклонные и вертикальные асимтоты. Примеры.

Опр. Асимптотой гра-ка фун-и y=f(x) наз-ся прямая, обладающая тем свой-вом, что расстояние от точки (x, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Теорема 1. Пусть функция y=f(x) определена на некоторой окрестности точки х₀ (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из переделов функции при х-> х₀ +0 (справа) равен бесконечности, т.е. lim при х стремящимся к х₀ –(+) 0 = бесконечность. Тогда прямая х=х₀ является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x).

Теорема 2. Пусть фун-я y=f(x) определена при достаточно больших х и сущ. конечный предел фун-и lim при х стремящимся к бесконечности f(x) = b. Тогда прямая y=b есть горизонтальная асимптота графика фун-и y=f(x).

Теорема 3. Пусть фун-я y=f(x) определена при достаточно больших х и существует конечные пределы lim при х стремящ-ся к беско-ти f(x)/x = k и lim прия х стремящ-ся к беско-ти [f(x) – kx] = b. Тогда прямая y=kх+b явл-ся наклонной асимптотой графика фун-и y=f(x).

46. Признаки  сравнения и Даламбера сходимости  знакоположительных рядов. Примеры.

Признак сравнения.

1. Пусть даны 2 полож. ряда: (1) a₁+a₂+a₃+a_n ;   (2) b₁+b₂+b₃+b_n

Причем члены (1) ряда не превосходят членов (2) ряда .

Тогда, если рас-ся ряд (1), то и рас-ся ряд (2)

Если сх-я ряд (2) то и ряд (1)– сх-ся

Если a_n и  b_n – эквивалентные величины, т.е. k≠0 и k≠∞ то ряд (1) и (2) ведут себя одинаково, т.е. сх-ся или рас-ся одновременно

Признак Даламбера

Рассмотрим полож. ряд (1) a₁+a₂+a₃+a_n

Пусть существует предел

lim a_n+1/a_n = q

_n→∞,

Тогда, если q>1 то ряд рас-ся

q<1 то ряд сх-ся

q=1 то установить сх-ть по признаку невозможно

19. Второй  замечательный предел, число е. Понятие о натуральных логарифмах.

Второй замеч.предел.

Рассматривается числовая послед. {a_n}

a_n=(1+1/n)ⁿ. Данная послед-ть монотонно возрастает и ограничена. а₁=2, а₂=2,25, а₃≈2,37…, а₄≈2,44…, а₁₀₀≈2,71, а₁₀₀₀≈2,71, а₁₀₀₀₀≈2,71.

lim_n→∞(1+1/n)ⁿ≈2,71 (Эйлерово число).

Опр:Числом е (2-м замечат.пред-м)наз-ся предел числовой последовательности e=lim_n→∞(1+1/х)^х.

Опред.числа е через  предел ф-ции:

(e=lim_х→∞(1+1/х)^х.

(e=lim_х→0(1+x)^1/х.

(e=lim_{х→х0(∞)}(1+α)^1/α, lim_{х→х0(∞)}α=0.

log_ex=lnx – натуральный логарифм.(логарифм по основанию е) Обознач. ln:log_ex=lnx.

дт(0+0)=-∞

дт(+∞)=∞

дту=1

н=дтчб уЮ0

20. Непрерывность  функции в точке и на промежутке. Свойства функций. Непрерывных  на отрезке. Точки разрыва.  Примеры.

 Функция f(x) называется непрерывной в т.x₀ , если она удовлетворяет след 3 условиям:

1. определена в т. x_0.
2. имеет конечный предел функции при x→х₀
3. этот предел равен значению функции f(x₀) в т. x₀ т.е. lim f(x)= f(x)

Непрерывность функции на отрезке

Функция y=f(x) непрерывна на [a.b], если непрерывна в каждой точки этого отрезка

Свойства функции y=f(x) непрерывна на [a.b]

1. Если функция y=f(x) непрерывна на [a.b],то она ограниченна на этом отрезке.
2. Если функция y=f(x) непрерывна на [a.b],то она достигает своего max или min значения.
3. Если функция y=f(x) непрерывна на [a.b],и значения ее на концах отрезка f(a)иf(b) имеют противоположные знаки, то существует такая т. С Є[a.b], что функция f(c) = 0

Точка х₀ называется точкой разрыва функции y=f(x), если эта функция в данной точке не является непрерывной

Пример. Y=1/x f(0) – не сущ.

30. Общая  схема исследования функций и  построения их графиков. Пример.

Общая схема  исследования функций и построение их графиков. Пример.

1. область определения.  Точки разрыва.

2. если есть точки разрыва, то находим ВА

3. исследуем поведение  функций при x→∞, т.е. находим ГА

4. y’. y’=0, схема знаков производных между критическими точками, устанавливаем точки экстремума

5. точки пересечения  гр.функций с осями 0х и 0у

6. исследование на  четность/нечетность функции

Исследовать и  построить график

у = е ^2х-х2

1. d (у)= (-∞ж+∞)
2. е ^{2х - х2}= е^-х2 = е^-∞=0 d =0- ГА
3. у’= (е ^{2х - х2})’= е ^{2х - х2}*(2-2х)

у’ =0

2-2х=0

х=1

23. Основные  правила дифференцирования функций  одной переменной (одно из этих  правил доказать).

Осн.правила  диф-ния ф-ции одной переменной:

1.Производная постоянной равна нулю,т.е. с’=0.

2.Произв.арг-та равна 1,т.к. х’=1.

3.Произв-я алгебрач.суммы конечного ч-ла дифференцируемых ф-ций равна такой же сумме производных этих ф-ций, т.е. (u+ν)’=u’+ ν’.

4.Произв.произведений 2-х дифференц-х ф-ций (uν)’=u’ν+uν’.

Следствие1:Пост.множ-ль можно выносить за знак производной: (cu)’=cu’.

Следствие2: (uvw)’=u’vw+uv’w+uvw’

Доказательство: Пусть u=u(x) и ν=ν(x) – дифференцируемые ф-ции. Найдём производную ф-ции y=uν.

1º.Дадим аргументу х приращение ∆х≠0. Тогда ф-ции u и ν получат наращенные зн-я u+∆u и ν+∆ν, а ф-ция y – значение y+∆y=(u+∆u)(ν+∆ν).

2º.Найдём приращ.ф-ции

∆y=(u+∆u)(ν+∆ν)-uν = uν + ∆uν + u∆ν + ∆u∆ν-uν = ∆uν + u∆ν + ∆u∆ν.

3º.Составим отношение ∆y/∆x, кот.представим в виде

∆y/∆x=(∆y/∆x)ν + u(∆ν/∆x) + (∆u/∆x)(∆ν/∆x)∆x.

4º.Найдём предел этого  отнош-я при ∆х→0, используя теоремы  о пределах

lim_∆x→0∆y/∆x= lim_∆x→0(∆u/∆x)ν + u lim_∆x→0(∆ν/∆x) + lim_∆x→0(∆u/∆x)∙lim_∆x→0(∆ν/∆x)∙lim_∆x→0∆x.

На основании опр-я производной получили,что y’=u’ν+uν’+u’ν’∙0 или y’=u’ν+uν’.чтд.

5.Производная частного двух дифференцируемых ф-ций м.б.найдена по ф-ле:

(u/ν)’=(u’ν-uν’)/ν². (ν≠0).

25. . Теоремы Ролля и Лагранжа (без доказательства). Геометрическая интерпретация этих теорем.

Теорема Ролля. Пусть ф-ция y=f(x) удовлетворяет след-м усл-ям:

1)непрерывна на отр.[а;b];

2)дифференцируема на  инт-ле(а;b);

3)на концах отрезка  принимает равные зн-я,т.е. f(a)=f(b).

Тогда внутри отрезка  сущ-ет по крайней мере одна такая  точка ξпринал.(а,b), в кот.производная ф-ция равна нулю:f’(ξ)=0.

Геом.смысл  т.Ролля: Если выполнены усл-я теоремы, то внутри отрезка [а;b] найдётся хотя бы одна точка, в кот. касат-я к гр-ку ф-ции будет ||-на оси абсцисс;в этой точке производная и будет равна нулю.

Теорема Лагранжа.

Пусть ф-ция y=f(x) удовлетвор.след-м усл-ям:

1)непрерывна на отр. [а;b];

2)дифференцируема на  инт-ле(а;b);

Тогда внутри отрезка  сущ-ет по крайней мере одна такая  точка ξпринал.(а,b), в кот.производная равна частному от деления приращения ф-ции на приращение аргумента на этом отрезке, т.е. f’(ξ)=(f(b)-f(a))/b-a.

Геом.смысл  т.Лагранжа:внутри отр. [а;b] найдётся хотя бы одна точка ξпринад.(а,b),в кот. касательная к гр-ку ф-ции, проведённая через т.ξ будет ||-на секущей (АВ).

31. Функции  нескольких переменных. Примеры. Частные производные (определение). Экстремум функции нескольких переменных и его необходимые условия.

Опр. Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений  из некоторого множества Х соответствует дно вполне определенное значение переменной величины z. Тогда говорят, что задана фун-я нескольких переменных z=f(x₁, …, x_n).

Пример: Фун-я z=a₁x₁ + a₂x₂ +…+ a_nx_n + b, где a, b – постоянные числа, наз-ся линейной.

Опр.  Частной производной фун-и нескольких переменных по одной из этих переменных наз-ся предел отношения соответствующего частного приращения фун-и к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).

Опр. Точка M (x₀, y₀) наз-ся точкой максимума (минимума) фун-и z=f(x,y), если сущ-ет окрестность точки Mб такая, что для всех точек (x,y) из этой окрестности выполняется неравенство f (x₀, y₀) ≥ f(x, y), (f (x₀, y₀) ≤ f(x, y)).

Теорема. Пусть точка (х₀,y₀) – есть точка экстремума диф-мой фун-и z=f(x, y). Тогда, частные производные f’_x(x₀, y₀) и f’_y(x₀, y₀) в этой точке равны нулю.

Точки, в которых выполнены  необходимые условия экстремума z=f(x, y), т.е. частные производные z’_x и z’_y равны нулю, называются критическими или стационарными.

27. Определение экстремума функции одной переменной. Необходимый признак экстремума (доказать).

Опр.экстремума ф-ции одной пер-ной.

Экстремум-это максимум и минимум ф-ции.

Опр1:Точка х₀ наз-ся точкой максимума ф-ции f(x),если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x)≥f(x₀).

Опр2:Точка х₁ наз-ся точкой максимума ф-ции f(x),если в некоторой окрестности точки х₁ выполн-ся неравенство f(x)≤f(x1).

Значения ф-ции в  точках х₀ и х₁ наз-ся соотв-но максимумом и минимумом ф-ции. Максимум и минимум ф-ции объединяются под общим названием экстремума ф-ции.

На одном промежутке ф-ция может иметь несколько  экстремумов,причём может случиться, что минимум в одной т-ке больше максимума в другой f_min(x₂)>f_max(x₀),см. рис.

Необходимое усл-е  экстремума.

Для того, чтобы ф-ция y=f(x) имела экстремум в точке х₀, необходимо, чтобы её производная в этой точке равнялась 0 (f’(x₀)=0) или не существовала.

Точки, в кот.выполнено  необх.усл-е экстремума,т.е. производная  равна нулю или не сущ-ет, наз-ся критическими (или стационарными). Эти точки должны входить в обл.определения ф-ции.(Если в точке х₀ дифференцируемая функция y=f(x) имеет экстремум, то в нек-ой окрестности этой точки выполнены условия тео-мы Ферма, и, следовательно, производная фун-и в этой точке равна нулю.Т.е.f’(x₀)=0. Но фун-я может иметь экстремум и в точках, в которых она не дифференцируема.)

Первое достаточное  условие экстремума. Теорема. Если при переходе через точку х₀ производная диф-мой фун-и y=f(x) меняет свой знак с плса на минус, то точка х₀ есть точка максимума фун-и y=f(x), а если с минуса на плюс, - то точка минимума.

Доказательство. Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т.е. в некотором интервале (а, х₀) производная положительна (f’ (x) >0), а в некотором интервале (х₀, b) – отрицательна (f’ (x) < 0). Тогда в соответствии с достаточным условием монотонности функции f(x) возрастает на интервале (а, х₀) и убывает на интервале (х₀, b). По определению возрастающей функции f(x₀) > f(x) при всех х принадлежащем (а, х₀), а по определению убывающей функции f(x) < f(x₀) при всех х принадлежащем (х₀, b), т.е. f(x₀)≥f(x) при всех х принадлежащем(а, b), следовательно, х₀ – точка максимума функции y=f(x).

Второе достаточное  условие экстремума. Теорема. Если первая производная f’(x) дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке х₀, а вторая производная в этой точке f”(x₀) положительна, то х₀ есть точка минимума функции f’(x); если f”(x₀) отрицательна, то в x₀ – точка максимума.

Доказательство. Пусть f’(x₀) =0, а f” (x₀) >0. Это означает, что f” (x) = (f’(x₀))’ >0 также и в некоторой окрестности точки х₀, т.е. f’(x) возрастает на некотором интервале (a, b), содержащую точку х₀. Но f’(x₀) =0, следовательно, на интервале (а, х₀) f’ (x) >0, т.е. f’ (x) при переходе через точку х₀ меняет знак с минуса на плюс, т.е. х₀ – точка минимума.

41. Понятие  о дифференциальном уравнении.  Общее и частное решения. Задача  Коши. Задача о построении математической  модели демографического процесса.

Опр. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающие искомую функцию одной или нескольких переменный, эти переменные и производные различных порядков данной фун-и.

Общим решением диф-ного урав-я n-ого порядка называется такое решение: y=φ (x, C₁, ..., C_n), которое является фун-ей переменной x и n произвольных независимых постоянных C₁, C₂,…, C_n.

Частным решением диф-ного урав-я наз-ся решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных C₁, C₂,…, C_n.

Задачи Коши – это решения урав-я удовлетворяющих условию x₀ y₀ : y₀=f(x₀).

45. Гармонический ряд и его расходимость (доказать).

1+1/2+1/3+...+1/n+... – гармонический ряд. Док-во: lim при n стремящимся к беско-ти U_n=lim 1/n = 0; S_2n=1+1/2+1/3+…+1/n+1/n+1 +…+1/2n. S_n=1+1/2+1/3+…+1/n. S_2n-S_n=1/n+1 +…+1/2n. S_2n-S_n>1/2n+…+1/2n = n*1/2n=1/2 или S_2n-S_n>1/2. lim при n-> бескно-ти S_n=lim S_2n=S, переходя к пределу в неравенстве, получим, что S-S>1/2 или 0>1/2. След-но, гармонический ряд расходится.

32. Понятие  об эмпирических формулах и  методе наименьших квадратов.  Подбор параметров линейной функции (вывод системы нормальных уравнений).

Метод наименьших квадратов.

Дана экспериментальная  зависимость

n-экспериментальных точек

Суть метода наименьших квадратов

1. По виду экспериментальной зависимости выбираем аналитическую функцию (лин, кв, экспонентную и т.д.) y=f(x)

Формулы, служащие для  аналитического представления опытных  данных, получили название эмпирических формул.

2. Подбираем параметры, выбранной аналитической зависимости, так чтобы сумма квадратов отклонения теоретических значений функции от опытных значений была минимальной для всех экспериментальных точек.

(y₁-f(x₁))²+(y₂-f(x₂))²+(y_n-f(x_n))²→min

Пусть в качестве функции y=f(x) взята линейная функция y=ax+b и задача сводится к отысканию таких значений параметров a и b, при которых функция

S = ∑(ax_i+b-y_i)² принимает наименьшее значение

      ⁱ⁼¹

заметим, что функция S=S(a,b)есть функция 2 ух переменных a и b, а x_i ;y_{i –} постоянные числа, найденные экспериментально.

Т.о. для нахождения прямой решим систему

S’a=0

S’b=0

Или

∑2(ax_i+b-y_i) x_i=0

∑2(ax_i+b-y_i) ₌₀

После алгебраических преобразований эта система принимает вид

(∑x_i²)a+(∑x_i)b= ∑x_i y_i

(∑x_i)a+ nb=∑ y_i                                      (1)

Система называется системой нормальных уравнений

Эта система имеет единственное решение т.к. ее определитель

=׀А׀ ∑ x_i²∑x_{i     =} n∑ x_i² -(∑x_i)² ≠0

             ∑x_i   n

Найдем частные производные (1)

S”aa=2∑ x_i²=A

S”ab=2∑ x_i=B

ЫЭии=2т=С

Выражение ∆=ФИ-С² = 4 (т∑ ч_ш²-∑ ч_ш)²Ю0

49. Разложение  в ряд Маклорена функции y=ln(1+x) Вывод. Интервал сходимости полученного ряда.

Для того чтобы функция y=f(x) представляла сумму ряда.

F(0)= f(0)+f’(0)x+f”(0)/2!x² +f”’(0)/3!x³ +….+fⁿ (0)/n!xⁿ ……

Необходимо и достаточно, чтобы остаток ряда →0 для любых  х из интервала сходимости.

Разложение в ряд Маклорена функции y=ln(1+x)

y=ln(1+x)

Рассмотрим геом ряд

1/1+х = 1-x+x²-x³+…+(-1)ⁿxⁿ            (1)

(-1;1) интервал сходимости

1/1+x │q│=│-x│<1

S=a/1-q = 1/1-(-x)

Ln(1+x) = ^x⌠dx/1+x

                          ⁰

Интегрируя почленно равенство(1) получим.

^x⌠dx/1+x = ^x⌠dx - ^x⌠xdx + ^x⌠x²dx-……(-1)^{n x}⌠xⁿdx+…..= x ^x│- x²/2 ^x│+ (-1)ⁿxⁿ⁺¹/n+1 ^x│ =

^{0                           0              0                   0                                          0                                   0                  0                                          0}

= ln(1+x) = x+ x²/2 - x³/3+ (-1)ⁿxⁿ⁺¹/n+1

(-1;1] – интервал сходимости  ряда (сходящийся)

14. Уравнение линии на плоскости.  Точка пересечения двух линий.  Основные виды уравнений прямой  на плоскости (одно из них вывести).

Опр. Урав-ем линии(кривой) на плоскости Oxy наз-ся урав-е, кот.удовлетворяют координаты x и y каждой точки данной линии и не удовлет.координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Точка пересеч-я  двух линий: система двух прямых A₁x+B₁y+C₁=0;A₂x+B₂y+C₂=0 – если прямые не параллельны, т.е. А₁/А₂  НЕ РАВНО В₁/В₂, то реш-е системы дает единственную точку пересеч-я прямых.

Осн.виды урав-ий прямой на плос-ти: 1)Урав-е пря-й, проход-щей через данную точку в данном направ-и: y-y₁=k(x-x₁). 2)Если в урав-и k-производное число,то это урав-е определяет пучок прямых,проходящих через точку M₁(x₁, y₁), кроме прямой, параллельной оси Oy и не имеющей углового коэффициента.При-р:урав-е пучка прямых, проходящ-х через точку A(3;-2), имеет вид y+2=k(x-3). 3)Урав-е прямой, проходящ-й через две данные точки: угловой коэф-т прямой:k=y₂-y₁/x₂-x₁. y-y₁=y₂-y₁/x₂-x₁ * (x-x₁). 4) Урав-е прямой в отрезках наз-ся урав-е x/a +y/b=1. 5) Общее урав-е прямой и его исследование: При любых А,В(не равных одновременно нулю) и С урав-е (А_х+B_y+C=0) есть урав-е некоторой прямой линии на плоскости Oxy. А_х+B_y+C=0 наз-ся общим урав-ем прямой.

33. Дифференциал функции и его  геометрический смысл. Инвариантность  формы дифференциала 1-го порядка.

Опр. Дифференциалом фун-и наз-ся главная, линейная относительно дельта х часть приращения фун-и, равная произведению производной на приращение независимой переменной.

Геометр.смысл  диф-ла. Диф-л фун-и есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику фун-и y=f(x) в данной точке, когда х получает приращение дельта х.

Dy=f’(u) du – это сво-во диф-ла получило название инвариантности формы диф-ла.

34. Понятие первообразной функции.  Неопределенный интеграл и его  свойства (одно из свойств доказать).

Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке х, если на всех точках этого промежутка, выполняется равенство:

F’(x)=f(x)

Совокупность всех первообразных F(x)+C для функции y=f(x) называется неопределенным интегралом от функции y=f(x)

⌠f(x)dx=F(x) +C

Свойства неопределенного интеграла

1. (f(x)dx)’=f(x)

Док-во

(⌠f(x)dx)’=(F(x)+C)’=F’(x)+C’=f(x)

2. d(⌠f(x)dx)’=f(x)dx дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выр-ю
3. ⌠dF=F+C интеграл от диф-ла функции равен самой функции с точностью до константа
4. ⌠са(ч)вч=с⌠а(ч)вч
5. ⌠(а(ч)+-п(ч))вч= ⌠а(ч)вч+-⌠п(ч)вч

38. Теорема о производной определенного  интеграла по переменному верхнему  пределу. Формула Ньютона—Лейбница.

Теорема. Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции при значении верхнего предела.

Φ(x)= ^x⌠f(x)dx = ^x⌠f(t)dt

       ^{a                        a}

    Φ’(x ) =f(x)

Док-во    Φ’(x )=lim ∆φ/∆x= lim φ(x+∆x)- φ(x)/ ∆x= lim ^x+∆x ∫_а f(t)dt-^x⌠_а f(t)dt/ ∆x = lim ^x⌠ f(t)dt+

+ ^x+∆x ⌠f(t)dt- ^x⌠ f(t)dt/∆x = lim (x+∆x-x)*f(ξ)/ ∆x = lim f(ξ)= f(x)

             ^{a                    a}

Т.о. Φ(x)- это первообразная для f(x). Две первообразные для одной функции отличаются на константу..

^x⌠ f(t)dt = F(x)+C

^a

Формула Ньютона-Лейбница.

Определенный интеграл в пределах от a и b от непрерывной функции равен приращению любой ее первообразной на отрезке [a;b].

^b⌠f(x)dx = F(b)-F(a)

^a

1.при x=a ^a⌠f(t)dt=F(a)+C

                          ^a

F(a)+C→C= -F(a)

2.x=b

^b⌠f(t)dt=F(b)-F(a)

^a

39. Несобственные  интегралы с бесконечными пределами  интегрирования. Интеграл Пуассона (без доказательства).

Опр. Несобственным интегралом ^+∞∫_а f(x) dx от фун-и f(x) на полуинтервале [a;+∞] наз-ся предел фун-и Ф(t) при t, стремящимся к +∞.

^+∞∫_-∞ e^-x2/2 dx – несобственный интеграл Эйлера-Пуассона.

26. Достаточные  признаки монотонности функции  (один из них доказать).

Тео-ма (достаточное  условие возр.фун-и). Если производная диф-мой фун-и положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возр.на этом промежутке.Док-во: Рас-трим два знач-я x₁ и x₂ на данном промежутке Х. Пусть x₂>x₁, x₁,x₂ принадл-ит Х.Докажем, что f(x₂)>f(x₁). f(x₂)-f(x₁)=f’(a)(x₂-x₁),где х₁<a<x₂ => f’(a)>0. Отсюда f(x₂)-f(x₁)>0 и f(x₂)>f(x₁).

Тео-ма (достаточное  условие убыв.фун-и). Если производная диф-мой фун-и отрицательна внутри некоторого промежутка Х, то она убывает на этом промежутке.

35. Метод замены переменной в  неопределенном интеграле и особенности  применения этого метода при  вычислении определенного интеграла.

Метод замены переменной в неопределенном интеграле - ∫ f(x) dx = ∫ f(φ(t)) φ’ (t) dt;

Метод замены пер-ой в  опр.интеграле - ^b∫_a f(x) dx = ^b∫_a f(φ(t)) φ’ dt.

36. Метод интегрирования по частям  для случаев неопределенного  и определенного интегралов (вывести  формулу). Примеры.

Неопределенный  интеграл

Рассмотрим дифференцируемые функции переменной

U=U(x) и V=V(x)

Т.к. d(uv) = (uv)’dx=u’vdx+uv’dx= du*v+u*dv, то проинтегрируем по переменной х это равенство и учтем, что интеграл суммы функции – это сумма интегралов

⌠d(uv)= ⌠vdu+⌠udv

uv=⌠vdu+⌠udv

Метод интегрирования по частям применяется, когда нельзя вычесть  интеграл методом замены переменной.

Пример.

⌠lnx*x⁸dx = {u=lnx;dv= x⁸dx; du = 1/8dx; v= ⌠ x⁸dx= x⁹/9}=lnx* x⁹/9-⌠ x⁹/9-1/xdv=lnx* x⁹/9-1/9⌠ x⁸dx=lnx* x⁹/9-1/9* x⁹/9+C

 Определенный  интеграл.

^b⌠udv=(uv-⌠vdu)^b│

^{a                                        a}

u=u(x), v=v(x)

^b⌠udv=uv^b│-⌠ ^b vdu

^{a                     a        a}

37. Определенный интеграл как предел  интегральной суммы. Свойства  определенного интеграла.

Опр. Пусть предел интегральной суммы при стремлении max дельта х_i к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек. Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции y=f(x) на [a,b], обозначается ^b∫_a f(x) dx, а сама фун-я y=f(x) наз-ся интегрируемой на отрезке [a,b].

Сво-ва опр.интеграла:

1. Постоянный множитель  можно выносить за знак интеграла.

2. Интеграл от алгебраической  суммы двух фун-ий равен такой  же сумме интегралов от этих  фун-ий.

3. Если отрезок интегрирования  разбит на части, то интеграл  на всем отрезке равен сумме  интегралов для каждой из возникших  частей.

4. Обе части неравенства можно почленно интегрировать.

5. Теорема о среднем.  Если фун-я y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], (где a<b), то найдется такое значение ξ принадлежащей отрезку [a,b], что ^b∫_a f(x) dx = f(ξ)(b-a).

50.Разложение в ряд Маклорена функции y= (1+x)^m Вывод. Интервал сходимости полученного ряда.

y= (1+x)^m, где m – любое действительное число

f(x) = (1+x)^m

f’(x) = m+(1+x)^m-1

f”(x) = m(m-1)(1+x)^m-2

f”’(x) = m(m-1)(m-2)(1+x)^m-2

f⁽ⁿ⁾(x) = m(m-1)….(m-n+1)(1+x)^m-n

при x=0

f(0) = 1

f’(0) = m

f”(0)= m(m-1)

f”’(0)= m(m-1)(m-2)

f⁽ⁿ⁾ (0) = m(m-1)….(m-n+1)

(1+x)^m = 1+mx+m(m-1)/2!x² + m(m-1)(m-2)/3!x³ +…..+ m(m-1)(m-n+1)/n!xⁿ

 Интервал сх-ти  ряда (-1;1)

43. Однородные и линейные дифференциальные  уравнения 1-го порядка и их  решения. Примеры.

Дифференциальное урав-е  первого порядка наз-ся однородным, если оно может быть представлено в виде y’=g(y/x). Понятие однород-го диф-го урав-я связано с однород-ми фун-ми. Фун-я y=f(x,y) наз-ся однородной степени k (по переменным x и y), если для произвольного числа α выполняется равенство f(αx, αy)=α^k f(x,y) При-р: f(x,y)=x² – xy. f(αx, αy)=(αx)² – (αx)(αy)=α²(x² – xy)= α² f(x,y), данная фун-я однород-я степени 2.

Диф-ное урав-е первого  порядка наз-ся линейным, если оно имеет вид y’+f(x)y=g(x). В случае, когда фун-я g(x) тождественно равна нулю, урав-е наз-ся однород-м, в противном случае – неоднород-м.

44. Определение числового ряда. Сходимость  числового ряда. Необходимый признак  сходимости рядов (доказать). Примеры.

Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком сложения.

u₁+u₂+….u_n=  ∑ u_n=S сумма сходящегося ряда

Предел частной суммы Sn ряда (конечный или бесконечный) называется суммой ряда S=lim Sn

Пример 

1. 1-+1-1+1-1+1….

S₁=1; S₂=0; S3=1

Пределы частной суммы  не сущ – ряд рас-ся

Сходимость  числового ряда

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности, его частичных сумм, если конечного предела не сущ при n→∞, то ряд называется рас-ся

Необходимый признак  сходимости.

Тео-а. Если числовой ряд сх-ся, то предел его общего члена Un  при n→∞,равен 0

lim Un=0

^n→∞,

lim U_n=lim (Sn-S_n-1)= limSn-lim S_n-1= S-S=0

^n→∞,

След-е. Если lim Un≠0  то ряд рас-ся

При-ы. Исследуем сходимость ряда.

∑4n+5/3n+7

ⁿ⁼¹

lim 4n+5/3n+7= lim 4n/3n≠0 рас-ся

^n→∞,

47. Знакочередующиеся  ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Абсолютная и условная сходимость рядов.

Под знакочередующимся  рядом понимается ряд, в котором  члены попеременно то положительны, то отрицательны.

Признак Лейбница

Ряд a₁-a₂+a₃-a₄+a_n     a_n>0

Ряд сх-ся , если выполнены 2 усл

1. члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине., т.е

a_n≥a_n+1

2. lim a_n=0

        ^n→∞

Пример . исследовать  сх-ть  ряда

1-½²+⅓² +(-1)^n-1/n²

Т.к. члены убывают  по абс величине 1>½²>⅓² и предел общего члена lim 1/n²=0 по признаку ряд сх-ся.

Абсолютно и условно сходящиеся ряды

Ряд называется абсолютно сходящимся, если  сх-ся как сам данный ряд, так и ряд составленный из абсолютных величин его членов.

Ряд называется условно сходящимся, если сам данный ряд сх-ся, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов рас-ся.

Св-ва абсолютно и условно  сходящихся рядов существенно отличаются, так абс. Сходящиеся ряды напоминают конечные суммы, их можно складывать, умножать и т.д., а вот условно  сходящиеся ряды этими св-вами не обладают.

1-1/2+1/3-1/4…. Условно сх-ся.

28. Достаточные  признаки существования экстремума (доказать одну из теорем).

Первое достаточное  условие экстремума. Теорема. Если при переходе через точку х₀ производная диф-мой фун-и y=f(x) меняет свой знак с плса на минус, то точка х₀ есть точка максимума фун-и y=f(x), а если с минуса на плюс, - то точка минимума.

Доказательство. Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т.е. в некотором интервале (а, х₀) производная положительна (f’ (x) >0), а в некотором интервале (х₀, b) – отрицательна (f’ (x) < 0). Тогда в соответствии с достаточным условием монотонности функции f(x) возрастает на интервале (а, х₀) и убывает на интервале (х₀, b). По определению возрастающей функции f(x₀) > f(x) при всех х принадлежащем (а, х₀), а по определению убывающей функции f(x) < f(x₀) при всех х принадлежащем (х₀, b), т.е. f(x₀)≥f(x) при всех х принадлежащем(а, b), следовательно, х₀ – точка максимума функции y=f(x).

Второе достаточное  условие экстремума. Теорема. Если первая производная f’(x) дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке х₀, а вторая производная в этой точке f”(x₀) положительна, то х₀ есть точка минимума функции f’(x); если f”(x₀) отрицательна, то в x₀ – точка максимума.

Доказательство. Пусть f’(x₀) =0, а f” (x₀) >0. Это означает, что f” (x) = (f’(x₀))’ >0 также и в некоторой окрестности точки х₀, т.е. f’(x) возрастает на некотором интервале (a, b), содержащую точку х₀. Но f’(x₀) =0, следовательно, на интервале (а, х₀) f’ (x) >0, т.е. f’ (x) при переходе через точку х₀ меняет знак с минуса на плюс, т.е. х₀ – точка минимума.

40. Вычисление площадей плоских  фигур с помощью определенного  интеграла. Примеры.

1. Пусть фун-я y=f(x) неотрицательна и непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда по геометрич.смыслу определ.интеграла площадь S  под кривой y=f(x) на [a,b] численно равна опред.интегралу, т.е. S = ^b∫_a f(x)dx. 2. Пусть фун-я y=f(x) неположительна и непрерывна на [a,b]. Тогда S = ^b∫_a (-f(x)) dx, т.е. S = - ^b∫_a f(x)dx. 3. Пусть на отрезке задана непрерывная фун-я общего вида. Тогда, S=S₁+S₂+S₃, т.е. равна алгебраич.сумме соответствующих опред.интегралов: S = ^c∫_a f(x)dx - ^d∫_c f(x)dx + ^b∫_d f(x)dx. 4. Тео-ма. Пусть на отрезке заданы непрерывные фун-и y=f₁(x) и y=f₂(x) такие, что f₂(x)> f₁(x). Тогда площадь S фигуры, заключенной между кривыми y=f₂(x) и y=f₁(x), на отрезке вычисляется по формуле: S = ^b∫_a (f₂(x) – f₁(x)) dx. При-р: Найти пло-дь фиг-ры, огранич.линиями y=x²-2, y=x.(рис.11.18).Реш-е: система: y=x²-2 и y=x  => (-1;-1) и (2;2). На отр-ке [-1,2] x>x²-2. f₂(x)=x, f₁(x)=x²-2. S=²∫_-1 (x-(x²-2)) dx = x²/2 ²|_-1 – x³/3 ²|_-1 +2x ²|_-1 =1/2(4-(-1)²) – 1/3(2³-(-1)³) +2(2-(-1)) = 4,5 (ед.²).

48. Условия  разложения функций в степенной  ряд. Ряд Маклорена. Разложение  в ряд Маклорена функции у=е^x (вывод). Интервал сходимости полученного ряда.

Св-во степ.рядов: Пусть ф-ция f(x) явл-ся суммой степ.ряда,т.е. f(x)=^∞∑_n=0c_nxⁿ. На любом отрезке [а;b], целиком принадлежащем интервалу сх-ти (-R;R), ф-ция f(x) явл-ся непрерывной, а след-но, степ.ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке:

_а∫^b f(x)dx =  _а∫^bc₀dx + _а∫^bc₁xdx + … + _а∫^bc_nxⁿdx +…

Кроме того, в интервале  сх-ти степ.ряд можно дифференцировать:

f’(x)  = c₁ + 2c₂x + 3c₃x² + ... + nc_nx^n-1 + ...

После интегрирования или  дифференцирования ряды имеют тот  же радиус сх-ти R.

Ряд Маклорена а(х) = а(0) + f’(0)х + ((f’’(0))/2!)х² + ((f’’’(0))/3!)x³ + .. + ((f⁽ⁿ⁾(0))/n!) xn + ..

Так же для числовых рядов, сумму f(x) ряда Маклорна можно представить в виде

 f (x)=S _n (x) + r _n (х) ,где S_n(x)- n-я частичная сумма ряда; r_n(x) - n-й остаток ряда.

Разложение в ряд Маклорена ф-ции у=е^х.

1. у=е^х

Имеем а(х) = f’(х) = f’’(х) = .. = f⁽ⁿ⁾(x) = e^x

f(0) = f’(0) =f’’(0) = .. = а⁽ⁿ⁾(0) = e⁰=1.

По ф-ле е^х= 1 + х + х²/2! + х³/3! + … + хⁿ/n! + …

Область сх-ти ряда (-∞;∞).

42. Простейшие  дифференциальные уравнения 1-го  порядка (разрешенные относительно производной, с разделяющимися переменными) и их решение. Примеры.

Рассмотрим вопросы  теории диф-ных урав-й на примере  урав-й первого порядка, разрешенных  относительно производной, т.е. таких, кот.допускают представление в  виде y’=f(x,y). Тео-ма. Пусть в диф-ном урав-и фун-я f(x,y) и ее частная производная дf/дy непрерывны на открытом множестве Г координатной плоскости Oxy. Тогда: 1)Для всякой точки (x₀,y₀) множества Г найдется реш-е y=y(x) урав-я, удовл-щее условию y₀=y(x₀); 2) Если два решения y=y₁(x) и y=y₂(x) урав-я совпадают хотя бы для одного значения x=x₀, т.е. если y₁(x₀)=y₂(x₀), то эти решения совпадают для всех тех значений переменной х, для которых они определены. Прим-рЖ нэ=ню Реш-еЖ а(чбн) = нб да.дн=1ю н=Су^чю Пусть н=н(ч)ж н₀=н(ч₀)ж С=н₀у^-ч0ж н=н(ч) и н=Су^ч=н₀у^-ч0у^ч=н₀у^ч-ч0 – уравнения совпадают при ч=ч₀ю