Шпаргалка по "Математике"

45. Производные  показательных и логарифмических  функций.

Основные формулы:

Если z=z(x) – дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

46. Логарифмическое  дифференцирование. Вывод производной степенной ф-ции.

y=a^x - показательная ф-ция, y=xⁿ - степенная, y=x^x - показательно-степенная.

y=[f(x)]^j(x) - показательно-степенная ф-ция.

lny=xlnx - найдем производную от левой и правой части, считая у ф-цией х.

(1/y)*y`=(lny) 

(x*lnx)`=x`lnx+x*(lnx)`=lnx+1

y`=y*(lnx+1)=x^x(lnx+1)

Операция, которая заключается  в последовательном применении к  ф-ции y=f(x) сначала логарифмирование, а затем дифференцирование.

Степенная ф-ция:

1.y=xⁿ, nlnx, y`/y=n/x=n*(x)^-1

   y`=y*n*(x^-1)=n*xⁿ*x^-1=n*x^n-1

2.y=e^U, где U=sinx

   U`=cosx, y`=(e^U)`=e<sup>U</sup>*U`=e^sinx*cosx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

47. Производная  высших порядков ф-ции 1й переменной.

y=f(x)

y``=(y`)`=lim((f`(x+Dx)-f`(x))/Dx)

                x®0

y```=(y``)`= lim((f``(x+Dx)-f``(x))/Dx)

f⁽ⁿ⁾(x)=[f^(n-1)(x)]`

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48. Производные  1,2-го порядка неявных ф-ций. 

Неявной называется такая  ф-ция у аргумента х, если она  задана уравнением F(x,y)=0, не разрешенным относительно независимой переменной.

y=f(x), y=x²-1 - явные

F(x,y)=0, a²=x²+y² - неявные ф-ции.

1)a²=x²+y² - найдем производную, продифференцируем, считая у - сложной ф-цией х.

y`=2x+2y=0, т.к. а- постоянная

y*y`=-x, y`=-x/y

2) x³-3xy+y³=0

3x³-3(xy)`+3y<sup>2</sup>*y`=0 //:3

x²-(x`y+y`x)+y²*y`=0

y`y<sup>2</sup>-xy`=y-x²

y`=(y-x²)/(y²-x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

49. Дифференциал  ф-ции и его геометрический смысл. Св-ва дифференциала.

limy=A, y=A+a

limDy/Dx=y`, Dy/Dx=y`+a, Dy=y`Dx+aDx

Dx®0

Dy=y`Dx+e, где e-б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем Dx(a), и ее можно отбросить.

dy=y`Dx

Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента Dх и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем Dх.

Если y=x, то dy=dx=x`Dx=Dx, dx=Dx

Если y¹x, то dy=y`dx, y`=dy,dx

Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x₀,f(x₀)) при изменении x₀ на величину Dx

Св-ва: 
1. (U±V)`=U`±V`, то (U±V)`dx=U`dx±V`dx, d(U±V)=d(U±V)

2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV

3.d(c)=c`dx=0*dx=0

4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V².

 

 

 

51. Теорема Лагранжа.

Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и дефференцирована на (a,b), то сущест.

т. с(a,b), такая, что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

Доказательство: Теорема Лагранжа имеет простой геометрический .смысл, если записать её в виде (f(b)–f(a))/(b–a)=f'(c) при (а<с<b). Левая часть этого равенства есть тангенс угла наклона к оси х хорды, стягивающей точки (a,f(a)) и (b,f(b)) графика функции y=f(x), а правая часть есть тангенс угла наклона касательной к графику в некоторой промежуточной точке с абсциссой сÎ(а,b). Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая (рис) есть график непрерывной на [а,b] функции, имеющей производную на (а,b), то на этой кривой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе с(а<с<b) такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой (a,f(a)) и (b,f(b)). Равенство {1} наз. формулой (Лагранжа) конечных приращений. Промежуточное значение с удобно записывать в виде c=a+q(b–a), где q есть  некоторое число, удовлетворяющее неравенствам 0<q<1. Тогда формула Лагранжа примет видf(b)–f(a)=(b-a)f'(a+q(b–a)) (0<q<1). {2} Она верна, очевидно, не только для a<b, но и для a³b.

 

 

 

 

 

 

 

 

52. Теорема  Коши.

Если f(x), g(x) удовл. трем условиям:

1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a,b]

2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a,b)

3). g’(x)¹0 на интер. (a,b), то сущ. т. с

g(b)¹g(a) (неравны по теореме Ролля).

1). F(x) – непрерывна на [a,b]

2). F(x) – деффиренцирована на (a,b)

3). F(a)=0 ; F(b)=0

по теореме Ролля сущ. сÎ(a,b); F’(с)=0

 

 

 

53. Необходимые  и достаточные признаки монотонности  ф-ции:

Если x₂>x₁, f(x₂)>f(x₁), то ф-ция монотонно возрастает

Если x₂>x₁, f(x₂)<f(x₁), то ф-ция монотонно убывает

Монотонность - постоянство

Необходимые признаки:1)если ф-ция f(x) всюду в интервале возрастает, то ее производная в этом интервале неотрицательна (f`(x)>=0)

2)если ф-ция f(x) всюду в интервале убывает, то ее производная в этом интервале неположительная (f`(x)<=0)

3)если ф-ция f(x) всюду в интервале постоянна, то ее производная в этом интервале =0 (f`(x)=0)

Достаточные признаки монотонности: 1)если f`(x) в интервале положительна, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.

2)если f`(x)<0, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.

3)если f`(x)=0, то ф-ция f(x)=const на интервале.

x₁<a<x₂, x₂-x₁>0, x₂>x₁

1. если f`(a)>0, то f(x₂)>f(x₁)

2. если f`(a)<0, то f(x₂)<f(x₁)

3. если f`(a)=0, то f(x₂)=f(x₁)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

54. Экстремумы ф-ций. Признаки  существования экстремума. Наибольшее  и наименьшее значение ф-ции 1й переменной.

Точка х называется точкой max ф-ции, если значение ф-ции в этой точке - наименьшее в некоторой ее окрестности.

1- локальный max

2- локальный min

3- глобальный max

4- глобальный min

если tga>0, то f`(x)>0

если tga<0, то f`(x)<0

Необходимый признак  экстремума: ф-ия f(x) может иметь max и min только в тех точках, в которых f`(x)=0 или не существует.

(В них можно построить ¥ касательных).

Достаточный признак: точка  х₀ является точкой экстремума, если ее производная в этой точке меняет знак:

- если с “+” на  “-”, то х₀- т. max

- если с “-” на  “+”, то х₀- т. min

 

 

 

 

 

 

 

 

55. Выпуклость  и вогнутость линий точки перегиба.

Линия называется выпуклой, если она пересекается с любой  своей секущей не более чем  в 2х точках.

Линия наз-ся вогнутой, если она целиком лежит по 1 сторону  от касательной, проведенной в любой  ее точке.

Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.

Необходимый признак  выпуклости и вогнутости: если линия  на интервале выпуклая, то ее 2я производная <=0; если линия на интервале вогнутая, то ее f``(x)>=0

Достаточный признак: если f``(x) всюду в интервале “-”, то линия в интервале выпуклая; если f``(x)>0, то линия вогнутая

Признаки точки перегиба: чтобы X₀ была т. перегиба, <=> чтобы у`` в этой точке = 0 и меняла знак при переходе х через х₀.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

56. Асимптота  графика ф-ции.

Асимптота - прямая, к  которой график ф-ции стремится, но никогда ее не пересекает.

1) прямая х=х₀ назыв-ся вертикальной асимптотой графика ф-ции f(x)=y, если при х®х₀ |f(x)|®+¥ (вида x=b)

2) y=kx+b, ,y=f(x) - общее ур-е наклонной асимптоты

lim[f(x)-(kx+b)]=0, f(x)=kx+b+a(б.м.в.) по св-ву x®¥                                                      пределов.

разделим левую и  правую части на х. Возьмем предел при х®¥

f(x)/x=k+b/x+a/x, lim(f(x)/x)=limk+lim(b/x)+lim(a/x)

    x®¥

, то

k=lim(f(x)/x)

b=lim[f(x)-kx]

Если эти пределы  существуют, то существует и наклонная  ассимптота вида kx+b=y

3)k=lim(f(x)/x)=0, y=b - горизонтальная асимптота.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

57. Предел и непрерывность ф-ции нескольких переменных.

Величина U наз-ся ф-цией переменных (x₁,x₂...x_n), если каждой, рассматриваемой в совокупности этих величин соотв-ет 1 определенное значение величины U.

Пусть f(M)=M₀(x₁⁰, x₂⁰,... x_n⁰), M(x₁, x₂,... x_n)

Ф-ция f(M)=f(x₁, x₂,... x_n) имеет предел А при М₀®М, если каждому значению как угодно малого числа d(дельта) соотв-ет, как угодно малое заданное число e>0, если |M₀M|=d, то |f(M)-A|<e

Ф-ция f(M) наз-ся непрерывной в точке М₀, если б.м. приращению любого аргумента соответствует б.м. приращение ф-ции.

limf(x₁⁰, x₂⁰,... x_n⁰)=limf(x₁, x₂,... x_n)

x₁⁰ ® x₁

x₂⁰ ® x₂

x_n⁰ ® x_n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

58. а) Частная  производная ф-ции нескольких  переменных. б) Частный и полный  дифференциалы.

а) рассмотрим на примере  ф-ции 2х переменных

x=f(x,y), точка A(x₀,y₀)

Dz=f(x₀+Dx, y₀+Dy)-f(x₀,y₀) - полное приращение.

Частное приращение по х (по у):

DxZ=f(x₀+Dx, y)-f(x₀, y₀)

DyZ=f(y₀+Dy, x)-f(x₀, y₀)

Частная производная  ф-ция: 

б) dxZ=Z_x`*Dx=¶Z/¶x*dx; dxZ=Z<sub>y</sub>`*Dy=¶Z/¶y*dy

Полный дифференциал dZ=d_xZ+d_yZ=Z`<sub>x</sub>dx +Z`_ydy

dZ=¶Z/¶x*dx+=¶Z/¶y*dy

Чтобы найти полный дифференциал ф-ции надо найти частные производные  от этой ф-ции по всем независимым  переменным, умножить их на дифференциал этих переменных, рез-ты сложить.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

59. Производная  2го порядка ф-ции нескольких  переменных. Дифференцирование сложной  ф-ции 2х переменных.

Частное производной 2го порядка от ф-ции Z явл. частная производная от 1й производной:

Z``<sub>XX</sub>=(Z`<sub>x</sub>)`<sub>x</sub> ; Z``_yy=(Z`<sub>y</sub>)`_y

Z``_Xy=(Z`<sub>x</sub>)`_y=(Z`<sub>y</sub>)`_x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

60. Экстремумы  ф-ции нескольких переменных. Необходимые  и достаточные признаки экстремума  ф-ции 2х переменных.

Z=f(x,y), M₀(x₀,y₀), M(x,y)

Max ф-ции Z называется такое ее значение f(x₀,y₀), которое является наибольшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M₀

Min ф-ции Z называется такое ее значение f(x₀,y₀), которое является наименьшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M₀

Экстремум сущ. в тех  точках, в которых частная производная  ф-ции Z=0 или не существует:

Если Z=f(x₁,x₂,...x_n), то ¶Z/¶x_i=0, i=1,2,...n - необходимое условие.

Достаточный признак:

где A= Z``<sub>XX</sub>(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>), C= Z``_yy(x₀,y₀), B= Z``_yx (x₀,y₀),

1) если D>0, то М₀ - точка экстремума;

    если А<0 или  С<0, то М₀ - точка max;

    если А>0 или С>0, то М₀ - точка min.

2) если D<0, то экстремума нет

3) если D=0, то вопрос о существовании экстремума остается открытым.

 

61. Общая схема  исследования ф-ции необходима  для построения графика.

Найти: 
-обл. определения ф-ции

-точки разрыва и  интервалы, где ф-ция явл-ся непрерывной

-поведение ф-ции в  окрестностях точки разрыва, вертикальной  асимптоты

-т. пересечения графика  с осями координат

-симметрия графика  (чет./нечет):

f(-x)=x симметрична относительно осей

f(-x)=-x симметрична относительно О(0,0)

-периодичность

-интервалы монотонности

-точки экстремума

-наибольшее и наименьшее  значение

-выпуклость, вогнутость

-точки перегиба

-поведение ф-ции в  безконечности, наклонная    и горизонтальные асимптоты

-нанесение на график.