Шпаргалка по "Математике"

Векторы. 9.Вектор – направленный отрезок имеющий определенную длинну и направление. Два вектора считаются равными если равны их длины, они параллельны и направлены в одну сторону. Что бы найти длину вектора необходимо из координат конца вычести координаты начала. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Три вектора a,b,c комплонарны, если их смешанное произведение  равно нулю. 
10. Для нахождения суммы нескольких векторов можно построить ломаную из равных им векторов. Тогда замыкающий вектор, соединяющий начало первого вектора ломаной с концом последнего ее вектора, равен сумме всех векторов ломаной. Разностью векторов   и   называется сумма вектора   с вектором  , противоположным вектору  :    Произведением ненулевого вектора   на действительное число   называется вектор  , удовлетворяющий условиям:1) длина вектора   равна  , т.е.  2)векторы   и   коллинеарные  ; 3) векторы   и   одинаково направлены, если  , и противоположно направлены, если  .Произведение нулевого вектора на любое число   считается (по определению) нулевым вектором:  ; произведение любого вектора на число нуль также считается нулевым вектором:  . Из определения произведения следует, что: а) при умножении на единицу   вектор не изменяется:  ; б) при умножении вектора на   получается противоположный вектор:  ; в) деление вектора на отличное от нуля число   сводится к его умножению на число  , обратное  . г) при делении ненулевого вектора   на его длину, т.е. при умножении   на число   получаем единичный вектор, одинаково направленный с вектором . Действительно, длина вектора   равна единице:  Вектор   коллинеарен и одинаково направлен с вектором  , так как  ; д) при умножении единичного вектора на число   получаем коллинеарный ему вектор длина которого равна 

11. Проекцией вектора а на координатную ось называют длину отрезка между проекциПроекция вектора на ось есть скалярная величина, равная произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между положительными направлениями оси и вектораями начала и конца вектора а (перпендикулярами, опущенными из этих точек на ось) на эту координатную ось. Модуль вектора через его проекции на оси прямоугольной системы координат вычисляется по формуле  
12.Выберем произвольный вектора пространства и совместим его начало с началом координат: а=ОМ.Найдем проекции вектора ана координатные оси. Проведем через конец вектораОМ плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через М₁ , М₂ и Мз.Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является векторОМ. Тогда пр _ха=|OM ₁|, np_ya = |ОМ₂|, пр_zа=|ОМз|

13. Направляющие косинусы вектора (в пространстве) – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат. Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора. Если вектор имеет длину 1, то его направляющие косинусы равны его координатам. В общем случае для вектора с координатами (a; b; c) направляющие косинусы равны по формуле где a, b, g – углы, составляемые вектором с осями x, y, z соответственно. Сумма квадратов направляющих косинусов равна 1. 
14. Пусть векторы а=(a_x; a_y; a_z) и b=( b_x; b_y; b_z) заданы своими проекциями на оси координат Ox,Oy,Oz или, что то же самое 
а = а_х •i + а_у • j +а_z • k,    b =b_х • i + b_у • j + b_z • k. 
16. Векторное произведение — это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве. Произведение не является ни коммутативным, ни ассоциативным (оно является антикоммутативным) и отличается от скалярного произведения векторов 
17. Смешанное произведение определяется для трех векторов, заданных в трехмерном пространстве. Смешанным произведением трех векторов   и   называется действительное число, равное скалярному произведению векторов   и  , где   - векторное произведение векторов   и  .