Случайная величина. Закон распределения. Операции над случайными величинами

Случайная величина. Закон распределения. Операции над случайными величинами

Определение: Случайная  величина это числовая функция, аргументом которой является множество случайных  событий, т.е. каждому случайному событию  ставится в соответствие некоторое  число, которое является значением случайной величины.

X, Y – случайные величины.

x, y – их значения.

Определение: Вероятностью того или иного значения случайной  величины называют вероятность соответствующего события.

Пример:

бросание игральной  кости

Х – число выпавших очков – случайная величина

 Определение: Случайная величина называется дискретной если ее значения являются дискретными. В противном случае, т.е. если значения случайной величины занимают некоторый промежуток, то случайная величина не является дискретной.

 

 

Пример:

Х – число очков  на кубике – дискретная случайная  величина.

Y – уровень воды в реке занимает некоторый промежуток от 6 до 10 метров, не является дискретной случайной величиной.

Закон распределения  случайной величины.

Закон распределения случайной величины – закон, связывающий ее значение с соответствующей вероятностью.

Для дискретной случайной  величины закон распределения может  быть задан функцией распределения.

Ряд распределения дискретной случайной величины – таблица, в  которой расположены ее значения в порядке возрастания с соответствующими вероятностями.

Замечание:

Так как все значения дискретной случайной величины составляют полную группу, то для любого ряда распределения  сумма вероятностей равна 1.

Пример №1:

Стрелок два раза стреляет по мишени. Вероятность попадания равна 0,8. составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа попаданий при двух выстрелах.

	0	1	2

Пример №2:

Стрелок имеет три  патрона и стреляет до первого  попадания или до израсходования все патронов. Вероятность попадания  при каждом выстреле равна 0,6. составить  закон распределения случайной  величины Х – числа произведенных  выстрелов.

	1	2	3
	Попал	Не попал и попал	Не попал и не попал и попал или не попал и не попал и не попал
	0,6

Операции над случайными величинами.

Пусть даны две случайные независимые величины Х и Y. Две случайные величины являются независимыми, если независимыми являются события, составляющие любой порядок их событий.

1. умножение на число – значения случайных величин умножаются на это число, а их вероятности не изменяются;
2. возведение в натуральную степень (квадрат, куб и т.д) – значения возводятся в степень, а вероятности не изменяются;
3. сложение, вычитание, умножение независимых случайных величин – значения попарно складываются, а соответствующие вероятности перемножаются;

Пример:

Даны две независимые  случайные величины Х и Y. Составить закон распределения случайной величины Z = 2X + Y.

	-1	0	1
	0,3	0,2	0,5

	0	2
	0,2	0,8

 

					-2		0		2
					-1		0		1
						0,3		0,2		0,5
0	0,2							0
2	0,8

		-2	0		2	4
	0,06				0,4