Способы взятия производных и интегралов

МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИРОСТОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ КОНЕРВАТОРИЯ ИМ. С.В. РАХМАНИНОВА.

 

 

Кафедра: «Музыкальная звукорежиссура»

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2

По дисциплине: «Математика»

На тему: «Способы взятия производных и интегралов»

 

                                                                                                        Выполнила 

Студентка I курса

Юрасова Н.С.

Проверил:

Богосов Б.А.

 

 

г.Ростов-на-Дону

2014г.

Способы взятия производных и интегралов

Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций — процедура более сложная, чем дифференцирование, то есть нахождение производной. Зачастую выразить интеграл в элементарных функциях невозможно.

Непосредственное интегрирование

Метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

Подведение под знак дифференциала

Данный метод эквивалентен методу замены переменной (см. далее):

Метод замены переменной (метод подстановки

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличнымили к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл.  Сделаем подстановку где  — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда  и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

Интегрирование выражений вида 

Примеры

Вычислить:   
Пусть   тогда   и 

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:

Или:

В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл

где   — многочлен  -й степени.

Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Всякую правильную рациональную дробь  , знаменатель которой разложен на множители

можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

где   — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.

Примеры

Вычислить: 

Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:

Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями:

       

       

Следовательно 

Тогда

Теперь легко вычислить исходный интеграл

 

 

 

 

 

Понятие определенного интеграла

 Площадь криволинейной трапеции.

Пусть функция  f(x)  непрерывна на отрезке  [a, b ]  и неотрицательна, т.е.  f(x) ≥ 0  при всех  x О   [ a, b]. Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком функции  y = f(x )  и прямыми  x = a,  x = b, 
 y = 0  (рис. 1).

Такую фигуру называют криволинейной трапецией.

 

 

 

 

Наша задача — дать определение и указать способ вычисления площади криволинейной трапеции. Для этого произвольно разобьем отрезок  [a, b ]  на n отрезков точками

Проведем через эти точки прямые, параллельные оси OY.

Тогда криволинейная трапеция разобьется на n частей, каждая из которых является криволинейной трапецией.

Введем обозначения

На каждом отрезке  [x k − 1, x k ]  выберем произвольным образом точку  ξk  (k = 1, …,n).

Рассмотрим фигуру, состоящую из прямоугольников с основаниями  Δxk  и высотами   f(ξk).  (рис. 2)

Очевидно, что при достаточно малых отрезках  Δxk  эта фигура будет мало отличаться от исходной криволинейной трапеции. Поэтому за площадь S криволинейной трапеции естественно принять предел площадей таких фигур при стремлении к нулю длин всех отрезков разбиения (при условии, что указанный предел существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка  [a, b]  на части, ни от выбора точек  ξk).

Нахождение определённого интеграла.

 

Определённый интеграл в наиболее простом определении - площадь под графиком функции на интервале от x = a до x = b. По формуле Ньютона-Лейбница, это разность значений неопределённых интегралов на концах интервала.

Определённый интеграл для функции f(x) на интервале от a до b - это значение первообразной в точке b (F(b)) минус значение первообразной в точке a (F(a)).

 

Запись формулы Ньютона-Лейбница:

Если непрерывна на отрезке и   — её любая первообразная на этом отрезке,                  то имеет место равенство:

  Если заметить, что в качестве F(x) может быть использована любая первообразная F(x) + C, то формулу Ньютона-Лейбница можно будет записать и так:

     

Это, пожалуй, наиболее выразительная ее запись.

Вычисление определённых интегралов.

 

Чтобы найти определённый интеграл,  необходимо найти первообразную, т.е. неопределённый интеграл в двух точках  b и, a, и взять разность полученных значений. Для случая криволинейеой трапеции, найденный определенный интеграл даст значение площади этой плоской фигуры.

 

Для вычисления неопределенных интегралов пользуются таблицей простейших интегралов, а более сложные, путём преобразований, сводят к простым. Используются свойства неопределенного интеграла и методы интегрирования.

 

Приведем несколько примеров:     

1)      

2)      

3)

Есть некоторые особенности применения формул неопределённых интегралов к определённым. Например, формула интегрирования по частям для определенных интегралов несколько проще, чем для неопределённых:

 

     

Формула прямоугольников

Пусть на отрезке [а; b], а < b, задана непрерывная функция ƒ(х). Требуется вычислить

 

интеграл численно равный площади соответствующей криволинейной трапеции. Разобьем основание этой трапеции, т. е. отрезок [а; b], на n равных частей (отрезков) длины (шаг разбиения) с помощью точек х0 = а, x1, х2,..., хn = b. Можно записать, что хi= х0+h• i, где i = 1,2,..., n (см. рис. 200).

В середине каждого такого отрезка построим ординату ŷi =ƒ(сi) графика функции у = ƒ(х). Приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью h • ŷi.

Тогда сумма площадей всех n прямо угольников дает площадь ступенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение искомого определенного интеграла

Формула (42.1) называется формулой средних прямоугольников.

Абсолютная погрешность приближенного равенства (42.1) оценивается с помощью следующей формулы:

где М2 — наибольшее значение |ƒ"(х)| на отрезке [а; b],

Отметим, что для линейной функции (ƒ(х)=kх+b) формула (42.1) дает точный ответ, поскольку в этом случае ƒ"(х)=0.

14.4.2.  Формула трапеций

Формулу трапеций получают аналогично формуле прямоугольников: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной.

Разобьем отрезок [а; b] на n равных частей длины Абсциссы точек деления а = х0, x1,х2,...,b = хn (рис. 201). Пусть у0,у1...,уn —

соответствующие им ординаты графика функции. Тогда расчетные формулы для этих значений примут вид хi = a+h*i, уi=ƒ(xi), i= 0,1,2,..., n;

Заменим кривую у=ƒ(х) ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат yi и yi+1 (i = 0,1,2,.. .,n). Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями уi, yi+1 и высотой

или

Формула (42.2) называется формулой трапеций.

Абсолютная погрешность Rn приближения, полученного по формуле трапеций, оценивается с помощью формулы • М2, где Снова для линейной функции у=kх +b формула (42.2) — точная.

14.4.3. Формула парабол (Симпсона)

Если заменить график функции у=ƒ(х) на каждом отрезке [xi-1;xi] разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и прямоугольников, а дугами парабол, то

получим более точную формулу приближенного вычисления интеграла

Предварительно найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком параболы у = ах2 + bх + с, сбоку — прямыми х = —h, х = h и снизу — Отрезком [-h; h].

Пусть парабола проходит через три точки M1(-h;у0), М2(0; y1), М3(h; у2), где у0 = ah2 -bh + c — ордината параболы в точке х = -h; y1 = с — ордината параболы в точке х = 0; у2 = аh2 + bh+c — ордината параболы в точке х = h  (см.рис 202). Площадь S равна

Выразим эту площадь через h, у0, y1, у2. Из равенств для ординат у (находим, что с=y1,

Подставляя эти значения с и а в равенство (42.3), получаем

Получим теперь формулу парабол для вычисления интеграла

Для этого отрезок [а; b] разобьем на 2n равных частей (отрезков) длиной точками xi=х0 + ih (i= 0,1,2,..., 2n). В точках деления а = х0, x1, x2,..., x2n-2 ,x2n-1, x2n = b вычисляем значения подынтегральной функции ƒ(х): у0, у1,у2,..., у2n-2, у2n-1, у2n, где уi=ƒ(хi) (см. рис. 203).

 

Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равными h, одной элементарной параболической трапецией с основанием, равным 2h. На отрезке [х0;х2] парабола проходит через три точки (х0;у0), (x1;y1), (x2;y2). Используя формулу (42.4), находим

Аналогично находим

Сложив полученные равенства, имеем

или

Формула (42.5) называется формулой парабол (или Симпсона).

Абсолютная погрешность вычисления по формуле (42.5) оценивается соотношением

Отметим, что формула (42.5) дает точное значение интеграла во всех случаях, когда ƒ(х) — многочлен, степень которого меньше или равна трем (тогда fIV = 0). 

 

Пример 42.1. Вычислить, разбив отрезок интегрирования [0; 2] на 4 части.

Решение: Имеем: ƒ(х) = х3,

(см.рис. 204)

а) по формуле прямоугольников:

б) по формуле трапеции:

 

 

 

в) по формуле парабол:

Точное значение интеграла

 

Абсолютные погрешности соответствующих формул таковы: а) 0,125; б) 0,25; в) 0.