Статистическая обработка результатов испытаний одномерных и двумерных случайных величин

Подставив rв в =(х – ): = rв.                                                              [22]

Отсюда = rв                                                                                                          [23]

то уравнение регрессии Y по Х имеет вид = rв(х – )                                [24]

Аналогично уравнение регрессии Х по Y:  = rв(y–                               [25]

Выборочный коэффициент корреляции определяется равенством:

rв=, где и – варианты признаков Х и Y; частота пары вариант (х, у); n – объем выборки; , – выборочные средние квадратические отклонения; – выборочные средние.

Если величины Y и Х независимы, то r=0; если r=1 и r= –1, то У и Х связаны линейной функциональной зависимостью. Коэффициент корреляции измеряет силу (тесноту) линейной связи между Y и Х. Выборочный коэффициент корреляции является оценкой коэффициента корреляции генеральной совокупности и поэтому также служит для измерения линейной связи между величинами – количественными признаками Y и Х.

Если выборка имеет достаточно большой объем и хорошо представляет генеральную совокупность, то заключение о тесноте линейной зависимости между признаками, полученные по данным выборки, может быть распространено и на генеральную совокупность. Рассмотрим 2 вспомогательные таблицы:

Табл.№6 Умножение частоты nij на условную варианту U:

	U
V	-2	-1	0	1	2	3	U	v*U
-2	-4	-4	0	0	0	0	-8	16
-1	0	-6	0	0	0	0	-6	6
0	0	0	0	45	8	0	53	0
1	0	0	0	8	12	0	20	20
2	0	0	0	4	14	9	27	54
							сумма	96

 

Табл.№7 Умножение частоты на условную варианту V:

	U
V	-2	-1	0	1	2	3
-2	-4	-8	0	0	0	0
-1	0	-6	-3	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	2	8	6	0
2	0	0	0	8	14	6
V	-4	-14	-1	16	20	6	сумма
u*V	8	14	0	16	40	18	96

 

Вычислим выборочные характеристики случайных величин Х, переходя к условным вариантам

Табл.№8

Ui	Ni	Ui*ni	Ui^2*ni
-2	2	-4	8
-1	10	-10	10
0	11	0	0
1	57	57	57
2	17	34	68
3	3	9	27
сумма	100	86	170

 

По таблице находим =0,86, =1,7, тогда 0,98

Табл.№9

Vi	Ni	Vi*ni	Vi^2*ni
-2	6	-12	24
-1	9	-9	9
0	55	0	0
1	16	16	16
2	14	28	56
Сумма	100	23	105

 

 

По таблице находим = 0,23, = 1,05, тогда 0,998549

Тогда выборочный коэффициент корреляции по формуле [21] rв=0,778885

 

Выборочное корреляционное отношение

Выборочным корреляционным отношением Y к Х называют отношение межгруппового среднего квадратического отклонения к общему среднему квадрати-ческому отклонению признака Y:

= или *ух=                                                                                 [26]

Здесь

, где n – объем выборки; частота значения х признака Х; частота значения у признака Y; общая средняя признака Y; условная средняя признака У.

Аналогично определяется выборочное корреляционное отношение Х к Y:

=                                                                                                                      [27]

Составим две расчетных таблицы для вычисления выборочного корреляционного отношения:

Табл.№10

)	25
)	31
)	44,0909
)	47,807
)	56,7647
)	65
	47,3
	0,79007
	9,98549

 

 

 

Табл.№11

	15,3333
	18,6667
	26,8182
	28,25
	31,6429
	26,3
	0,41488
	4,9

 

Выборочное корреляционное отношение для 0,07912, а для 0,08467

По формуле [23] 1,587255; 0,43308;

Коэффициенты 5,555185, 5,815316; тогда уравнение прямой линии среднеквадратичной регрессии Y на Х имеет вид – =1,5873х+5,5552,  а уравнение прямой линии среднеквадратичной регрессии Х на Y имеет вид  –  =0,3822у+8,2215

Вывод: т.к. rв=0,778885, то связь между переменными Х и Y прямая (r>0) и сильная. При увеличении x на единицу, у в среднем увеличится на 1,5873. При увеличении y на 1, x в среднем увеличиться на 0,4331.

Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии.

Проверка значимости выборочного коэффициента корреляции:

Пусть имеется двумерная генеральная совокупность (Х, У) с нормальным распределением. Из нее извлечена выборка объема n и найден выборочный коэффициент rв≠0. Требуется проверить гипотезу Но: rг=0 о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе Н1: rг≠0.

Если Но отвергается, т.е. rв значимо отличается от нуля, то Х и У коррелированны, т.е. между ними существует линейная зависимость. Если Но подтверждается, т.е. rв не значимо отличается от нуля, тогда Х и У не коррелированны и между ними отсутствует линейная связь.

Для проверки Но используется случайная величина =rв ,                       [28]

имеющая распределение Стьюдента с k=n-2 степенями свободы. Критическое значение =t(α, к), находится из таблицы приложения №6 по заданным α и к для двухсторонней критической области.

Если |Т|<, то нет оснований отвергнуть гипотезу Но.

Если ||>, то Но отвергают.

Если rв значим, то для генеральных коэффициентов регрессии и справедливы доверительные интервалы.

1. Регрессия Y по Х

                                                    [29]

Где и – исправленные выборочные средние квадратические отклонения, *ух – выборочный коэффициент регрессии Y по Х.

2. Регрессия Х по Y

                                                     [30]

По данным задачи по формуле [28] =12,2943, (0,05;98)=1,99, то Но отвергают, так как ||>, тогда rв значимо отличается от нуля и Х и У коррелированны, т.е. между ними существует линейная зависимость.

Следовательно, справедливы доверительные интервалы для регрессии Y по Х:

1,3303361,844174, а для регрессии Х по Y: 0,3712140,494946

 

Заключение

В первой задаче по проведенному статистическому  исследованию мы можем сделать вывод о контрольных размерах валиков во всей контролируемой партии валиков, т.е. в генеральной совокупности. Мы проверили гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона. По данным задачи вычислили 2,8141 и =9,5. Так как (2,8141<9,5), то критерий Пирсона выполняется. Следовательно, доказали что, контрольные обмеры валиков имеют нормальное распределение, вычислили их числовые характеристики.

Во второй задаче вычислили корреляционную зависимость распределения 100 предприятий по капиталовложениям Х (млн. руб.) и выпуску продукции Y (млн. руб.). Вычислили коэффициент регрессии rв=0,778885 и проверили его значимость. Доказали, что rв значимо отличается от нуля, тогда Х и Y коррелированны, т.е. между ними существует линейная зависимость. Нашли уравнение прямой линии среднеквадратичной регрессии Y на Х, имеющий вид – =1,5873х+5,5552, и уравнение прямой линии среднеквадратичной регрессии Х на Y: =0,4331у+5,8153. Статистическая обработка данных показала, что связь между переменными Х и Y прямая и сильная.

 

Список использованной литературы

1. В.Е. Гмурман «Теория вероятностей и математическая статистика» 1998 г.
2. В.Е. Гмурман «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике» 2001 г.
3. Н.Ш. Кремер «Теория вероятностей и математическая статистика» 2009 г.