Історія розвитку алгебри і математичної логіки

Вивчення властивостей композицій різного виду призвело до думки, що основне завдання алгебри — вивчення властивостей операцій незалежно від об'єктів, до яких вони застосовуються. Інакше кажучи, — алгебра стала розглядатися як загальна наука про властивості та закони композиції операцій. При цьому дві множини, в кожній з яких визначені композиції, стали вважати тотожними з погляду алгебри (ізоморфними), якщо між цими множинами можна встановити взаємно-однозначну відповідність, що переводить один закон композиції в інший. Якщо дві множини з композиціями ізоморфні, то, вивчаючи одну з них, дізнаємося алгебраїчні властивості іншої.

Оскільки сукупність різних множин з заданими в них законами композиції необмежена, було виділено типи таких множин, які хоча й  не ізоморфні, проте мають спільні  властивості композиції. Наприклад, вивчивши властивості операцій додавання  і множення над множинами раціональних, дійсних і комплексних чисел, математики створили загальне поняттяполя — множини, де визначено ці дві операції, причому виконуються їх звичайні властивості. Дослідження операції множення матриць призвело до виділення поняття групи, яке є нині одним з найважливіших не тільки в алгебрі, й в усій математиці.

 

5. Суть алгебри

Алгебра, разом з арифметикою, є наука про числа і за посередництвом чисел – про величини взагалі. Не займаючись вивченням властивостей якихось певних, конкретних величин, обидві ці науки досліджують властивості  абстрактних величин, як таких, незалежно  від того, до яких конкретних програм  вони здатні. Різниця між математикою  та алгеброю полягає в тому, що перша  наука досліджує властивості  даних, визначених величин, тим часом  як алгебра займається вивченням загальних величин, значення яких може бути довільне, а, отже, алгебра вивчає тільки ті властивості величин, які спільні всім величинам, незалежно від їх значень. Таким чином, алгебра є узагальнена арифметика. Це дало привід Ньютону назвати свій трактат про алгебри "Загальна арифметика". Гамільтон, вважаючи, що подібно тому, як геометрія вивчає властивості простору, алгебра вивчає властивості часу, назвав алгебру "Наукою чистого часу" – назва, яку Морган пропонував змінити на "Обчислення послідовності". Однак такі визначення не висловлюють ні істотних властивостей алгебри, ні історичного її розвитку. Алгебру можна визначити як "науку про кількісні співвідношеннях".

6. Розподіл алгебри

В даний час, почасти з  педагогічних міркувань, частково внаслідок  історичного розвитку цієї науки, алгебру  ділять на нижчу і вищу. До нижчої алгебрі відносять теорію найпростіших арифметичних операцій над алгебраїчними  виразами, рішення рівнянь першого  та другого ступеня, теорію ступенів і коренів, теорію логарифмів і комбінаторику. До вищої алгебри відносять теорію рівнянь довільних ступенів, теорію винятків, теорію симетричних функцій, теорію підстановки, і, нарешті, виклад різних приватних способів відділення коренів рівнянь, визначення числа  речових або уявних коренів даного рівняння з чисельними коефіцієнтами, і наближене або аналітичне (коли це можливо) рівнянь довільних ступенів.

7. Найдавніші твори з алгебри

Перше що дійшло до нас твір, що містить дослідження алгебраїчних питань, є трактат Діофанта, який жив у середині IV століття. У цьому трактаті ми зустрічаємо, наприклад, правило знаків (мінус на мінус дає плюс), дослідження ступенів чисел, і рішення безлічі невизначених питань, які в даний час відносяться до теорії чисел. З 13 книг, що складали повне твір Діофанта, до нас дійшло тільки 6, в яких вирішуються вже досить важкі алгебраїчні завдання. Нам невідомо про які б то не було інших творах про алгебри в давнину, крім загубленого твору знаменитої дочки Теона, Гіпатії.

Алгебра арабів

У Європі алгебра знову  з’являється тільки в епоху Відродження, і саме від арабів. Яким чином  араби дійшли до тих істин, які ми знаходимо в їх творах, які дійшли до нас у великій кількості, – невідомо. Вони могли бути знайомі з трактатами греків, або, як думають деякі, отримати свої знання з Індії. Самі араби приписували винахід алгебри. Магоммеду-бен-Муза, що жив близько середини ІХ-го століття в царювали халіфа Аль-Мамуна. У всякому разі, грецькі автори були відомі арабам, які збирали давні твори з усіх галузей наук. Магоммед-Абульвефа переклав і коментував твори Діофанта та інших попередніх йому математиків (в Х столітті). Але ні він, ні інші арабські математики не внесли багато нового, свого на алгебру. Вони вивчали її, але не вдосконалювали.

Відродження алгебри  в Європі

Першим твором, що з’явився в Європі після тривалого пропусків  з часів Діофанта, вважається трактат італійського купця Леонардо, який, подорожуючи по своїм комерційним справах на Сході, ознайомився там з індійськими (нині званими арабськими) цифрами, і з арифметикою і алгеброю арабів. Після повернення в Італію, він написав твір, що охоплює одночасно арифметику і алгебру і частково геометрію. Однак твір це не мало великого значення в історії науки, бо залишилося мало відомим і було відкрито знову тільки в середині 18 – го століття в одній Флорентійської бібліотеці. Між тим твори арабів стали проникати в Європу і переводитися на європейські мови. Відомо, наприклад, що найстаріше арабське твір про алгебри Магоммеда-бен-Музи було переведено на італійську мову, але переклад цей не зберігся до нашого часу. Першим відомим друкарським трактатом про алгебри є "Сума де Арифметика, Геометрії, Proportioni та ін Proportionalita", написане італійцем Лукасом де Бург. Перше видання його вийшло в 1494 р. і друге в 1523 р. Воно вказує нам, в якому стані перебувала алгебра на початку XVI століття в Європі. Тут не можна бачити великих успіхів у порівнянні з тим, що вже було відомо арабам або Діофанта. Окрім вирішення окремих приватних питань вищої арифметики, тільки рівняння першою до другого ступеня вирішуються автором, і притому внаслідок відсутності символічного позначення, всі завдання і способи їх вирішення доводиться викладати словами, надзвичайно докладно. Нарешті немає спільних рішень навіть квадратного рівняння, а окремі випадки розглядаються окремо, і для кожного випадку виводиться особливий метод рішення, так що найсуттєвіша риса сучасної А. – Спільність даються нею рішень – ще зовсім відсутня на початку XVI століття.

Рішення рівнянь 3-ї та 4-го ступеня

У 1505 році Сціпіон Феррео вперше вирішив один окремий випадок кубічного рівняння. Це рішення однак не було їм опубліковано, але було повідомлено одному учневі – Флориді. Останній, перебуваючи в 1535 році у Венеції, викликав на змагання вже відомого на той час математика Тарталью з Брешії і запропонував йому кілька питань, для вирішення яких потрібно було вміти розв’язувати рівняння третього ступеня. Але Тарталья вже знайшов раніше сам рішення таких рівнянь і, мало того, не тільки одного того окремого випадку, який було вирішено Феррео, але і двох інших приватних випадків. Тарталья прийняв виклик і сам запропонував Флориді також свої завдання. Результатом змагання було повної поразки Флориді. Тарталья вирішив запропоновані йому завдання протягом двох годин, між тим як Флориді не міг вирішити жодного завдання, запропонованої йому його противником (число запропонованих з обох сторін завдань було 30). Тарталья продовжував, подібно Феррео, приховувати своє відкри ття, яке дуже цікавило Кардано, професора математики і фізики в Мілані. Останній готував до друку велике твір про арифметику, алгебри і геометрії, в якому він хотів дати також рішення рівнянь 3-го ступеня. Але Тарталья відмовлявся повідомити йому про свій спосіб. Тільки коли Кардано поклявся над Євангелієм і дав чесне слово дворянина, що він не відкриє способу Тартальї для вирішення рівнянь і запише його у вигляді незрозумілої анаграми, Тарталья погодився, після довгих коливань, розкрити свою таємницю цікавому математику і показав йому правила рішень кубічних рівнянь, зазначені у віршах, досить туманно. Дотепний Кардано не тільки зрозумів ці правила в туманному викладі Тартальї, а й знайшов докази для них. Не зважаючи, однак, на дану ним обіцянку, він опублікував спосіб Тартальї, і спосіб цей відомий до сих пір під ім’ям "формули Кардано».

Незабаром було відкрито і  рішення рівнянь четвертого ступеня. Один італійський математик запропонував завдання, для вирішення якої відомі до того часу правила були недостатні, а потрібне вміння вирішувати біквадратние рівняння. Більшість математиків вважало цю задачу нерозв’язною. Але Кардано запропонував її своєму учневі Луїджі Феррарі, який не тільки вирішив задачу, але і знайшов спосіб розв’язувати рівняння четвертого ступеня взагалі, зводячи їх до рівнянь третього ступеня. У творі Тартальї, надрукованому в 1546 році, ми також знаходимо виклад способу вирішувати не тільки рівняння першого та другого ступеня, а й кубічні рівняння, причому розповідається інцидент між автором і Кардано, описаний вище. Твір Бомбеллі, що вийшло в 1572 р., Цікаво в тому відношенні, що розглядає так званий непріводімий випадок кубічного рівняння, який приводив в збентеження Кардано, який не зумів вирішити його за допомогою свого правила, а також вказує на зв’язок цього випадку з класичної задачі про трисекции кута .

Розвиток алгебри  в країнах Європи

У Німеччині перший твір про алгебри належить Християнові  Рудольфу з Іayepa, і з’явилося вперше в 1524 р. а потім знову видано Стіфел в 1571 р. Сам Стіфел і Шейбль, незалежно від італійських математиків, розробили деякі алгебраїчні питання.

В Англії перший трактат  про алгебри належить Роберту  Рекорд, викладачеві математики та медицини в Кембріджі. Його твір про алгебри називається "Whetstone з розуму". Тут вперше вводиться знак рівності (=). У Франції в 1558 році з’явилося перше твір про алгебри, що належить Пелетаріусу; в Голландії Стевін в 1585 р. не тільки виклав дослідження, відомі вже до нього, але і ввів деякі удосконалення в алгебру. Наприклад, він вже позначав невідомі. Правда, для позначення невідомих він використовував всього лише числа, обведені в кружечок. Так перша невідома (тепер зазвичай позначається х) у нього позначалася обведеної в кружечок одиницею, друга – обведеної двійкою, і так далі. Величезні успіхи зробила алгебра після творів Вієта, який перший розглянув загальні властивості для рівнянь довільних ступенів і показав способи для приблизного знаходження коренів яких би то не було алгебраїчних рівнянь. Він же перший позначив величини, що входять в рівняння літерами, і тим надав алгебрі ту спільність, яка становить характеристичну особливість алгебраїчних досліджень нового часу. Він же підійшов дуже близько до відкриття формули бінома, знайденої згодом Ньютоном, і, нарешті, в його творах можна навіть зустріти розкладання відносини сторони квадрата вписаного в коло до дуги кола, виражене у вигляді нескінченного твори. Фламандець Албері Жирар або Жерар, трактат якого про алгебри з’явився в 1629 р. перший ввів поняття уявних величин в науку. Аглічанін Гарріот показав, що всяке рівняння може розглядатися, як добуток певної кількості множників першого порядку, і ввів у вживання знаки> та <. Його праці були опубліковані в 1631 р. Варнер.

Придбання алгеброю закінченого вигляду

Після цих порівняно незначних  успіхів алгебра раптом рухається  швидкими кроками вперед, завдяки  роботам Декарта, фермата, Валліса і особливо Ньютона, не кажучи вже про безліч математиків менш знаменитих, але все ж посунувши сукупними зусиллями алгебру протягом порівняно короткого часу на значний ступінь вище їх попередників і надали їй ту форму, яку вона зберегла до нашого часу. Немає можливості в цьому короткому нарисі оглянути успіхи, яким алгебра зобов’язана названим математикам. Ми коротко тільки згадаємо про головні пункти подальшого швидкого вдосконалення алгебри, що йшов крок за кроком за вдосконаленням інших галузей математики взагалі. З цього часу також алгебра входить у більш тісний зв’язок з геометрією, після розробки Декартом аналітичної геометрії, а також з аналізом нескінченно малих, винайденим Ньютоном і Лейбніцем. У XVIII столітті класичні праці Ейлера і Лагранжа, викладені в "Нови Commentarii" першого і в "Трактаті-де-ла-де-дозвіл рівнянь" другого, довели алгебру до високого ступеня досконалості. Пізніше роботи Гаусса, Абеля, Фур’є, Галуа, Коші, а потім Кейлі, Сильвестера, Кронекера, Ерміта та ін створили нові точки зору на найважливіші алгебраїчні питання і надали алгебрі високу ступінь витонченості і простоти.

Алгебра логіки (Булева логіка, двійкова логіка, двійкова алгебра) — розділ математичної логіки, що вивчає систему логічних операцій над висловлюваннями. Тобто, представлення логіки у вигляді алгебраїчної структури.

Визначення

Базовими елементами, якими  оперує алгебра логіки, є висловлювання. Висловлювання будуються над множиною {B,  ,  ,  , 0, 1}, де B - непорожня множина, над елементами якої визначені три операції:

 заперечення (унарна операція)

 кон'юнкція (бінарна)

 диз'юнкція (бінарна)

а також константи - логічний нуль 0 і логічна одиниця 1.

Аксіоми

 

 

Походження

Засади алгебри логіки були сформульовані британцем Джорджем Булем в 1847 році. Пізніше її розвивали Чарлз Пірс, Генрі Шеффер, П. С. Порецький, Бертран Рассел, Давид Гільбертта ін.

Відтоді ця система застосовується для вирішення широкого спектру  проблем математичної логіки та теорії множин, та особливо конструювання цифрової електроніки (початок використання алгебри логіки для синтезу перемикальних (релейних) схем був покладений в 1938 році роботами відомого американського вченого Клода Шеннона).

8. Предмет вивчення

Спочатку проблематика алгебри  логіки перетиналась з проблематикою алгебри множин (теоретико-множинні операції).

Проте з закінченням формування теорії множин (70-і роки 19 ст.), яка включила в себе алгебру множин, і подальшим розвитком математичної логіки, предмет алгебри логіки значно змінився.

Сучасна алгебра логіки розглядає  операції над висловлюваннями (див. Числення висловлень), як булеву функцію і вивчає відносно них такі питання, як:

таблиці істинності;

функціональна повнота;

замкнені  класи;

представлення у вигляді: ДНФ, КНФ, полінома Жегалкіна.

Логічні операції

Простим і найширше вживаним прикладом такої алгебраїчної системи  є множина B, що складається всього з двох елементів :

B = { Хибність(0), Істина(1) }

Як правило, в математичних виразах Хибність ототожнюється з логічним нулем, а Істина - з логічною одиницею, а операції заперечення(НІ), кон'юнкції(ТА) і диз'юнкції(АБО) визначаються в звичному нам розумінні. Легко показати, що на цій множині B можна задати чотири унарні і шістнадцять бінарних відношень і усі вони можуть бути отримані через суперпозицію трьох обраних операцій.