Свойства правильных многогранников

Еще два многогранника  называются усеченный кубооктаэдр (рис.8) и усеченный икосододекаэдр (рис.9), хотя их нельзя получить усечением кубооктаэдра и икосододекаэдра. Отсечение углов этих многогранников дает  не квадраты, а прямоугольники.

Мы рассмотрели 9 из 13 описанных Архимедом полуправильных многогранников. Четыре оставшихся – многогранники более сложного типа.

На рисунке 10 мы видим ромбокубооктаэдр. Его поверхность состоит из граней куба и октаэдра, к которым добавлены еще 12 квадратов.

На рисунке 11 изображен  ромбоикосододекаэдр, поверхность которого состоит из граней икосаэдра, додекаэдра и еще 30 квадратов. На рисунках 12, 13 представлены так называемые плосконосый (курносый) куб и плосконосый (курносый) додекаэдр, поверхности которых состоят из граней куба или додекаэдра, окруженных правильными треугольниками.

Кроме этих тринадцати тел  Архимеда в число полуправильных многогранников включается  14-й  многогранник, называемый псевдоархимедовым (рис.14).  Он получается из ромбокубооктаэдра  поворотом нижней чаши на 45º.

Конечно, еcли в определении полуправильного многогранника ослабить второе условие, то можно найти и другие многогранники удовлетворяющие этому определению. По крайней мере, есть еще пять многогранников, получаемых поворотом их частей.

Так, если повернуть нижнюю или верхнюю чашу икосододекаэдра  на 36°, то получим новый многогранник, гранями которого являются правильные пятиугольники и треугольники и в каждой вершине сходится четыре ребра.

Поворачивая чаши ромбоикосододекаэдра можно получить еще четыре многогранника, гранями которых являются квадраты и правильные пятиугольники и треугольники, а в каждой вершине сходится четыре ребра.

Какое же определение  полуправильного многогранника  правильное? Какое определение имел в виду Архимед, описавший тринадцать полуправильных многогранников? Знал ли он  о псевдоархимедовом теле или не догадался, что можно повернуть чашу кубооктаэдра? К сожалению, определение полуправильного многогранника, которым пользовался Архимед, не дошло до нас. По-видимому, Архимед не считал псевдоархимедов многогранник полуправильным многогранником.

Действительно, по внешнему виду псевдоархимедов многогранник не такой «правильный», как многогранники  Архимеда. Но чем же определяется «правильность»?

Представим полуправильный многогранник, сделанный из прозрачного  материала, и посмотрим сквозь одну n-угольную грань. Мы увидим остальные грани, расположенные в определенном порядке. Точно такую же картину мы увидим, если посмотрим сквозь другую  n-угольную грань этого многогранника. Этим свойством обладают все полуправильные многогранники, а псевдоархимедов многогранник – нет. Если посмотреть сквозь верхнюю квадратную грань и сквозь боковую квадратную грань, то мы увидим разные расположения остальных граней.

С математической точки  зрения правильность определяется наличием симметрий, то есть движений, переводящих многогранник сам в себя.Для тел Архимеда выполняется следующее свойство: для любых двух вершин существует симметрия, при которой одна вершина переходит в другую. Это означает, что не только все многогранные углы равно, но что для любых двух многогранных углов существует движение многогранника, переводящее один из них в другой. Конечно, это более сильное условие, чем просто равенство многогранных углов. Этому условию не удовлетворяет псевдоархимедов многогранник.

Таким образом, имеется  три варианта определения полуправильного многогранника.

Определение 1. Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, поверхность которого состоит из правильных многоугольников, - возможно, с разным числом сторон – и в каждой вершине одинаковое число ребер. В этом случае, помимо двух бесконечных серий призм и антипризм, имеется по крайней мере 19 таких многогранников.

Определение 2. полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, поверхность которого состоит из правильных многоугольников, - возможно, с разным числом сторон, - и все эти многогранные углы равны. В этом случае, помимо двух бесконечных серий призм и антипризм, имеется 14 таких многогранников – 13 тел Архимеда и псевдоархимедов многогранник.

Определение 3. Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, поверхность которого состоит из правильных многоугольников, - возможно с разным числом сторон, - и для любых двух вершин существует симметрия многогранника, переводящая одну из них в другую. В этом случае, помимо двух бесконечных серий, имеется 13 таких многогранников – многогранников Архимеда.

Можно предположить, что  Архимед пользовался именно третьим определением.

Заключение

Теория многочленов -  одна   из увлекательных и ярких  разделов  математики.Из  правильных  многогранников- платоновых тел- можно получить так называемые полуправильные  многогранники или архимедовы тела (их 13),гранями которых являются  также правильные, но разноименные многоугольники, а также звездные  правильные  тела (их 4).

Греческая математика,  в которой  впервые  появилась теория многогранников,  развивалась под   большим влиянием знаменитого мыслителя Платона. Одной из существенных   черт  его учения являлось рассмотрение  «идеальных» объектов – абстракций. Математика, взяв на вооружение идеи Платона,  со времен Евклида изучает именно  абстрактные, «идеальные»  объекты. Однако и сам Платон, и многие древние математики вкладывали в термин «идеальный» не только смысл  «абстрактный» , но и смысл    «наилучший». Самая  идеальная линия   для греков- прямая  или правильная окружность. Самый  идеальный  многоугольник- правильный многоугольник, у  которого все стороны  и все углы равны.

В  рамках  работы по исследованию  правильных  многогранников была  изучена  литература по данной  теме, выявлены  особенности правильных  многогранников  и их  свойства.

Данная работа  заставила  понять, что мир, окружающий нас ,  подчиняется законам геометрии.  И  это действительно так!  Некоторые из правильных  и полуправильных тел встречаются в природе  в виде кристаллов, другие –в виде вирусов,  простейших  микроорганизмов. Замечено,  что наша  Земля последовательно проходит  эволюцию     правильных объемных  фигур. Существует гипотеза, по  которой  ядро земли  имеет форму и свойства  растущего  кристалла.

Правильные  многогранники  –необыкновенные фигуры,  их  изучением занимались  еще  до  нашей эры и занимаются   в наши  дни, значит  интерес  к  многогранникам  не пропадет никогда.

Список используемой  литературы.

1.Литвиненко   В.Н.  Многогранники . Задачи и  решения: -М.:  «Вита – Пресс»,1998.

2.Смирнова  И.М.  в  мире многогранников: Книга  для  учащихся.-М.:просвещение,1995.

3.Смирнова И.М.,  Смирнов  В.Н.  Что такое «Полуправильные  многогранники»//Учебно-методическая  газета  «Математика».-2007.-№16-с.23-26.

4.Шарыгин Н.Ф., Ерганжиева  Л.Н. Наглядная геометрия. Учебное  пособие  для  V-VI  классов.-М.:Мирос.1992.

5.Шашкин Ю.А.   Эйлерова  характеристика.М.:  Наука,1984.-с.96.

6.Энциклопедия для  детей. Т.11.  Математика.-М.:Аванта-плюс,2002.

7.Энциклопедия  для   детей.  Я познаю мир. Математика.-М.:издательство  АСТ,1999.