Теорема Піфагора та її невідомі способи доведення

Теорема Піфагора та її невідомі способи доведення

 
«Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на його катетах» – це одна з найвідоміших геометричних теорем давнини, звана теоремою Піфагора. Її і зараз знають практично всі, хто коли-небудь вивчав планіметрію. Нам здається, що якщо ми хочемо дати знати позаземним цивілізаціям про існування розумного життя на Землі, то слід посилати в космос зображення Піфагора фігури. Думається, що якщо цю інформацію зможуть взяти мислячі істоти, то вони без складної дешифрування сигналу зрозуміють, що на Землі існує досить розвинена цивілізація.

Піфагор Самоський

Сьогодні прийнято вважати, що Піфагор дав перший доказ носить його ім'я теореми. На жаль, від цього докази також не збереглося ніяких слідів. Тому нам нічого не залишається, як розглянути деякі класичні докази теореми Піфагора, відомі з давніх трактатів. Зробити це корисно ще й тому, що в сучасних шкільних підручниках дається алгебраїчне доказ теореми. При цьому безслідно зникає первозданна геометрична аура теореми, втрачається та нитка Аріадни, яка вела древніх мудреців до істини, а шлях цей майже завжди опинявся найкоротшим і завжди красивим ». 
 
Теорема Піфагора говорить: «Квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на його катетах». Найпростіше доведення теореми виходить в найпростішому випадку рівнобедреного прямокутного трикутника. Ймовірно, з нього і починалася теорема. У насправді, досить просто подивитися на мозаїку рівнобедрених прямокутних трикутників, щоб переконатися в справедливості теореми.

 

 

Доведення методом розкладу

Існує цілий ряд доказів теореми Піфагора, в яких квадрати, побудовані на катетах і на гіпотенузі, розрізають так, що кожної частини квадрата, побудованого на гіпотенузі, відповідає частина одного з квадратів, побудованих на катетах. У всіх цих випадках для розуміння докази достатньо одного погляду на креслення; міркування тут може бути обмежене єдиним словом: "Дивись!", Як це робилося в творах стародавніх індуських математиків. Слід, однак, зауважити, що насправді доказ можна вважати повним, поки ми не довели рівності всіх відповідних один одному частин. Це майже завжди досить важко зробити, однак може (особливо при великій кількості частин) зажадати досить тривалої роботи.

Доведення Епштейна

Почнемо з докази Епштейна (рис.1); його перевагою є те, що тут в якості складових частин розкладання фігурують виключно трикутники. Щоб розібратися в кресленні, зауважимо, що пряма CD проведена перпендикулярно прямий EF. 
Розкладання на трикутники можна зробити і більш наочним, ніж на малюнку.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Доведення Нільсена

На малюнку допоміжні лінії змінені за пропозицією Нільсена.

 

 
 
 
Доведення Бетхера

На малюнку дано досить наочне розкладання Бетхер.

 

 

 
Доведення Перігаля

У підручниках нерідко зустрічається розкладання зазначене на малюнку (так зване "колесо з лопатями"; це доказ знайшов Перігаль). Через центр O квадрата, побудованого на більшій катета, проводимо прямі, паралельну і перпендикулярну гіпотенузі. Відповідність частин фігури добре видно з креслення. 
 
 
 
 
 
 
 

 
Доведення Гутхейля

Зображене на малюнку розкладання належить Гутхейль; для нього характерне наочне розташування окремих частин, що дозволяє відразу побачити, які спрощення спричинить за собою випадок рівнобедреного прямокутного трикутника.

 

 
 
 
 
 
 
 
Доведення 9 століття н.е.

 

 

Раніше були представлені тільки такі докази, в яких квадрат, побудований на гіпотенузі, з одного боку, і квадрати, побудовані на катетах, з іншого, складалися з рівних частин. Такі докази називаються доказами за допомогою додавання ("адитивними доказами") або, частіше, доказами методом розкладання. До цих пір ми виходили з звичайного розташування квадратів, побудованих на відповідних сторонах трикутника, тобто поза трикутника. Однак у багатьох випадках більш вигідно інше розташування квадратів.

На малюнку квадрати, побудовані на катетах, розміщені ступенями один поруч з іншим. Цю фігуру, яка зустрічається в доказах, що датуються не пізніше, ніж 9 століттям н. е.., індуси називали "стільцем нареченої". Спосіб побудови квадрата зі стороною, рівною гіпотенузі, ясний з креслення. Загальна частина двох квадратів, побудованих на катетах, і квадрата, побудованого на гіпотенузі, - неправильний заштрихований п'ятикутник 5. 
Приєднавши до нього трикутники 1 і 2, отримаємо обидва квадрата, побудовані на катетах; якщо ж замінити трикутники 1 і 2 рівними їм трикутниками 3 і 4, то отримаємо квадрат, побудований на гіпотенузі. На малюнках нижче зображено два різних розташування близьких до того, яке дається на першому малюнку.

Доведення методом доповнення

Поряд з доказами методом складання можна навести приклади доказів при допомозі віднімання, званих також доказами методом доповнення. Загальна ідея таких доказів полягає в наступному. 
Від двох рівних площ потрібно відняти рівновеликі частини так, щоб в одному випадку залишилися два квадрати, побудовані на катетах, а в іншому-квадрат, побудований на гіпотенузі. Адже якщо в рівностях 
В-А = С і В1-А1 = С1 
частина А рівновелика частини А1, а частина В рівновелика В1, то частини С і С1 також рівновеликі. 
 
Пояснимо цей метод на прикладі. На рис. до звичайної Піфагора фігурі приставлені зверху і знизу трикутники 2 і 3, рівні вихідного трикутника 1. Пряма DG обов'язково пройде через C. Зауважимо тепер (далі ми це доведемо), що шестикутники DABGFE і CAJKHB рівновеликі. Якщо ми від першого з них віднімемо трикутники 1 і 2, то залишаться квадрати, побудовані на катетах, а якщо від другого шестикутника віднімемо рівні трикутники 1 і 3, то залишиться квадрат, побудований на гіпотенузі. Звідси випливає, що квадрат, побудований на гіпотенузі, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на катетах. 
Залишається довести, що наші шестикутники рівновеликі. Зауважимо, що пряма DG ділить верхній шестикутник на рівновеликі частини; те саме можна сказати про прямий CK і нижньому шестикутнику. Повернемо чотирикутник DABG, що становить половину шестикутника DABGFE, навколо точки А за годинниковою стрілкою на кут 90; тоді він співпаде з чотирикутником CAJK, складовим половину шестикутника CAJKHB. Тому шестикутники DABGFE і CAJKHB рівновеликі.

Доведення методом віднімання

Познайомимося з іншим доказом методом віднімання. Знайомий нам креслення теореми Піфагора укладемо в прямокутну рамку, напрямки сторін якої збігаються з напрямками катетів трикутника. Продовжимо деякі з відрізків фігури так, як вказано на малюнку, при цьому прямокутник розпадається на кілька трикутників, прямокутників і квадратів. Викинемо з прямокутника спочатку кілька частин так щоб залишився лише квадрат, побудований на гіпотенузі. Ці частини наступні: 
 
трикутники 1, 2, 3, 4; 
прямокутник 5; 
прямокутник 6 і квадрат 8; 
прямокутник 7 і квадрат 9; 
Потім викинемо з прямокутника частини так, щоб залишилися тільки квадрати, побудовані на катетах. Цими частинами будуть: 
прямокутники 6 і 7; 
прямокутник 5; 
прямокутник 1 (заштрихований); 
прямокутник 2 (заштрихований); 
Нам залишилося лише показати, що відібрані частини рівновеликі. Це легко бачити в силу розташування фігур. З малюнка ясно, що: 
прямокутник 5 рівновеликий самому собі; 
чотири трикутника 1,2,3,4 рівновеликі двом прямокутникам 6 і 7; 
прямокутник 6 і квадрат 8, взяті разом, рівновеликі прямокутнику 1 (заштрихований);; 
прямокутник 7 разом з квадратом 9 рівновеликі прямокутнику 2 (заштрихований); 
доказ закінчено

Спрощене доведення Евкліда

Як в доказах методом розкладання, так і при доказі евклідової типу можна виходити з будь-якого розташування квадратів. Іноді при цьому вдається досягти спрощень. 
Нехай квадрат, побудований на одному з катетів (на малюнку це квадрат, побудований на більшій катета), розташований з тієї ж сторони катета, що і сам трикутник. Тоді продовження протилежної катету сторони цього квадрата проходить через вершину квадрата, побудованого на гіпотенузі. Доказ в цьому випадку виявляється зовсім простим, тому що тут досить порівняти площі цікавлять нас фігур з площею одного трикутника (він заштрихований) - площа цього трикутника дорівнює половині площі квадрата і одночасно половині площі прямокутника

 

Доведення Хоукінса

Наведемо ще один доказ, яке має обчислювальний характер, проте сильно відрізняється від всіх попередніх. Воно опубліковане англійцем Хоукінсом у 1909 році; чи було воно відомо до цього-важко сказати.

Прямокутний трикутник ABC з прямим кутом C повернемо на 90 ° так, щоб він зайняв положення A'CB '. Продовжимо гіпотенузу A'В 'за точку A' до перетину з лінією АВ в точці D. Відрізок В'D буде висотою трикутника В'АВ. Розглянемо тепер заштрихований чотирикутник A'АВ'В. Його можна розкласти на два рівнобедрених трикутника САA 'і СВВ' (або на два трикутники A'В'А і A'В'В).

SCAA '= b ² / 2

 

SCBB '= a ² / 2

 

SA'AB'B = (a ² + b ²) / 2

 

Трикутники A'В'А і A'В'В мають загальну підставу з і висоти DA і DB, тому:

SA'AB'B = c * DA / 2 + c * DB / 2 = c (DA + DB) / 2 = c ² / 2

Порівнюючи два отриманих вирази для площі, отримаємо:

a ² + b ² = c ²

Теорема доведена.

 

Основне доведення методом подібності

У прямокутному трикутника АВС проведемо з вершини прямого кута висоту CD; тоді трикутник розіб'ється на два трикутники, які також є прямокутними. Отримані трикутники будуть подібні один одному і вихідного трикутника. Це легко довести, користуючись першою ознакою подібності (по двох кутах). У самому справі, відразу видно що, крім прямого кута, трикутники АВС і ACD мають загальний кут a, трикутники CBD і АВС - загальний кут b. Те, що малі трикутники також подібні один одному, випливає з того, що кожен з них подібний до великого трикутника. Втім, це можна встановити і безпосередньо.

 

Інші доведення теореми Піфагора

Докази, засновані на використанні поняття равновеликости фігур.

Адитивні докази.

Доведення методом добудованих

Алгебраїчний метод докази.

Доказ Вальдхейма.

 

Існує багато доказів теореми Піфагора, проведених як кожним з описаних методів, так і за допомогою поєднання різних методів. Завершуючи огляд прикладів різних доказів, наведемо ще малюнки, що ілюструють вісім способів, на які є посилання в «Початках» Евкліда (рис. 16 - 23). На цих малюнках пифагорову фігура зображена суцільною лінією, а додаткові побудови - пунктирною.