Теория поля

Теория поля.

Полем называется область пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины.

Если в  каждой точке  соответствует определенное число U зависящее от M, то в области задано скалярное поле.

Скалярное поле – это скалярная функция .

Если в  каждой точке  соответствует вектор (M), то говорят, что задано векторное поле.

Векторное поле – это вектор функции

Примерами скалярных полей могут быть поле температуры воздуха (тела и т.д.), атмосферного давления, плотности, электрического потенциала и т.д.

Примерами векторных полей –  поле силы тяжести, магнитное поле, поле скоростей ветра, жидкости и т.д.

Если функции U(M) и (M) не зависят от времени, то соответствующее поле называется стационарным (установившимся).

Поле, величина которого меняется с  течением времени, называется нестационарным (неустановившимся).

Если скалярная функция U(M) зависит только от двух переменных U(x,y), то поле называется плоским.

Векторное поле называется однородным, если (M) постоянный вектор.

 

Скалярное поле.

Пусть дано скалярное поле U(M) = U(x, y, z).

Поверхностью  уровня скалярного поля называется геометрического место точек, в которых функция U(M)  принимает постоянное значение: U(x, y, z) = С. Давая С различные значения получаем различные поверхности уровня, которые расслаивают поле. Через каждую точку проходит одна поверхность уровня.

 сфера 

Если скалярное поле зависит  от двух переменных U(x, y) = С, то называется линия уровня.

 

Производная по направлению

Пусть задано скалярное поле U(x, y, z) и точка M. Найдем скорость изменения функции U при движении точки M по направлению . Найдем направляющие косинусы этого вектора:

 

- углы между  и соответствующими осями координат.

 

 

Приращение функции U от точки M до точки по направлению обозначаем .

Производной по направлению  в точке M от функции U(M) называется предел:

 

 

Если функция  и возрастает по направлению .

- производная по направлению.

 

Векторное поле.

Пусть векторное поле задано . называется линия, касательная к которой в каждой ее точке M имеет направление соответствующего ей вектора (силовая линия).

Совокупность  всех векторных линий поля проходящих через некоторую замкнутую кривую называется векторной трубкой.

Условие векторных  линий:

;   или  

При решении задач на нахождение векторных линий используют свойство пропорций:

 

.

 

Добиваются, чтобы в числителе  был дифференциал знаменателя или  чтобы в знаменателе был 0, а  в числителе полный дифференциал.

 

Градиент поля.

Вектор, координатами которого является значение частных производных функций U(x, y, z) в точке M(x, y, z) называют градиентом функции.

 

Свойство градиента:

1. Градиент направлен по нормали к поверхности уровня проходящий через данную точку.
2. Градиент суммы равен сумме (разности) градиентов.

Направление градиентов совпадают с направлением , вдоль которого поле меняется быстрей всего, т.е. градиент поля указывает направление наибольшего возрастания функции.

 

Дивергенция поля.

Дивергенцией векторного поля в точке M называется скалярное поле следующего вида:

Свойства дивергенции:

1. Если постоянный вектор div от
2. , где С – число
3. Дивергенция суммы и разности:
4. Пусть , а U – скалярная функция:

С помощью определения div поля формулу Остроградского - Гауса можно записать в упрощенной форме:

Поток векторного поля через замкнутую  поверхность S равен тройному интегралу от дивергенции поля по объему этой поверхности. Если , то точка M представляет собой источник, откуда жидкость вытекает, если , то точка M – сток.

Дивергенция характеризует мощность источника или стока. Если - нет стоков и источников. Поле, в каждой точке которого называется соленоидальным.

 

Ротор поля.

Ротором или вихрем векторного поля называется вектор, вычисленный по формуле:

Свойства поля:

1. Если постоянный вектор, то = 0
4. Пусть скалярная функция, а - векторное поле.

С помощью определения ротора поля формулу Стокса можно записать в  упрощенном виде:

Ротор поля скоростей представляет собой угловую скорость вращения твердого тела. Если во всех точках = 0, то поле называется потенциальным и безвихревым.