Теория вероятностей и математическая статистика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

«Тихоокеанский государственный  университет»

Кафедра прикладной математики

Специальность 080200.62 БМЕН «Менеджмент» ПМГ

(нефтегазового комплекса)

 

Контрольная работа №3

Дисциплина «Математика  ПМ»

Тема: «Теория вероятностей и математическая статистика»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 10

Задание 1. Найти вероятность случайного события, используя формулу классической вероятности.

Партия изделий из 30 штук содержит 4 бракованных. Найти вероятность, что из 5 случайно выбранных изделий 3 бракованных.

 

Решение:

Обозначим через событие  А: из 5 случайно выбранных изделий 3 бракованных.

Тогда число всех возможных событий n равно числу способов выбора из 30 изделий по 5, которые отличаются только составом, поэтому:

 

Число исходов, благоприятствующих событию А, найдем следующим образом: 5 выбранных изделий включают 3 бракованных, и 2 не бракованных изделия. 3 бракованных  изделия могут быть отобраны как  сочетания из 4 имеющихся бракованных  изделий по 3, то есть , а 2 не бракованных изделия – как сочетания из 26 (всего не бракованных изделий 30 – 4 = 26) по 2, то есть .

 

Таким образом,

Ответ: вероятность того, что из 5 случайно выбранных изделий 3 бракованных, равна 0,009.

 

 

 

 

Задание 2. Используя формулу полной вероятности, найти вероятность события.

В лаборатории имеются 5 новых  станков и 4 старых. Вероятность того, что в течение года новый станок не потребует ремонта, - 0,9, а что старый - 0,7. Найти вероятность того, что наугад выбранный станок за год потребует ремонта.

Решение:

Обозначим через А событие, состоящее в том, что наугад выбранный станок за год потребует ремонта. Событие А может произойти совместно с одним из двух событий (гипотез):

Н₁ – станок новый;

Н₂ – станок старый.

По формуле классической вероятности:

- вероятность того, что станок новый.

- вероятность того, что станок старый.

Условные вероятности  события А при гипотезах:

;

 

Вероятность того, что наугад выбранный станок за год потребует ремонта, по формуле полной вероятности равна:

 

Ответ: вероятность того, что наугад выбранный станок за год потребует ремонта, равна 0,189.

 

 

 

 

Задание 3. Найти вероятность события, используя формулы схемы Бернулли.

Имеется 50 тестируемых приборов. Найти вероятность, что пройдут  тест хотя бы 40, если вероятность успешного  тестирования - 0,8.

Решение:

Событие А- тест пройдут хотя бы 40 из 50 тестируемых приборов (т.е. или 40, или 41, …, или все 50).

По условию число независимых  испытаний , вероятность успешного тестирования ; .

Для данной задачи ; , поэтому применим интегральную теорему Лапласа.

 

Найдем аргументы функции  Лапласа:

 

 

По таблице находим  значения функции Лапласа:

 

 

Окончательно получаем:

 

Ответ: вероятность, что пройдут  тест хотя бы 40, равна 0,4997.

 

 

 

 

 

Задание 4. Составить закон распределения случайной дискретной величины Х. Построить функцию распределения F(x). Найти М(Х), D(Х), , .

Вероятность попадания из орудия – 0,6. Найти закон распределения  случайной величины Х – числа  попаданий при 4 независимых выстрелах.

Решение:

Случайная величина Х – число попаданий при 4 независимых выстрелах – имеет следующие возможные значения:

х₁ = 0; х₂ = 1; х₃ = 2; х₄ = 3; х₅ = 4.

Найдем вероятности возможных  значений Х по формуле Бернулли:

По условию: n = 4, p = 0,6; q = 1 – p = 0,4 .

Получим:

(нет ни одного попадания);

(одно попадание и три  промаха);

(два попадания и два  промаха);

(три попадания и один  промах);

(четыре попадания);

Получим закон распределения  дискретной случайной величины Х:

хi	0	1	2	3	4
pi	0,0256	0,1536	0,3456	0,3456	0,1296

Проверка: .

Построим функцию распределения  случайной величины Х.

Если , то .

Если , то .

Если , то .

Если , то .

Если , то .

Если , то .

 

Найдем числовые характеристики случайной величины Х.

Математическое ожидание находим по формуле: .

 

Дисперсию находим по формуле: .

 

Среднее квадратичное отклонение:

.

Событие () состоит из хотя бы одного из событий: , .

 

Ответ: М[Х] = 2,4, D[X] = 0,96, ,

 

 

 

 

 

 

Задание 5.Используя нормальный закон, найти вероятность события.

Стрельба ведется из точки  О вдоль прямой ОХ. Средняя дальность  полета снаряда – 1500 м. Дальность  полета распределяется по нормальному  закону с м. Определить вероятность того, что из 3 выстрелов 1 даст перелет (по сравнению со средней дальностью) более 120 м.

Решение:

Найдем вероятность попадания  нормально распределенной случайной величины Х в интервал .

 

По формуле Бернулли найдем вероятность,  что из 3 выстрелов 1 даст перелет более 120 м.

 

 

Ответ: 0,206.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 6. Выдвинуть гипотезу о виде закона распределения и проверить ее с помощью критерия хи-квадрата Пирсона.

В таблице приведены результаты измерений отклонения от стандарта  у 100 деталей.

Границы отклонений (мкм)	От -20 до -10	От -10 до 0	От 0 до 10	От 10 до 20	От 20 до 30
Число деталей	13	20	29	22	16

_{Решение:}

_{Построим  гистограмму: над  каждым интервалом построим прямоугольник, площадь  которого равна относительной  частоте попадания  в интервал.}

-длина интервала.

 

Границы отклонений (мкм)	Число деталей	Относительная частота	Высота столбца гистограммы	Середина интервала
От -20 до -10	13	0,13	0,013	-15	-195	5624,32
От -10 до 0	20	0,2	0,02	-5	-100	2332,8
От 0 до 10	29	0,29	0,029	5	145	18,56
От 10 до 20	22	0,22	0,022	15	330	1862,08
От 20 до 30	16	0,16	0,016	25	400	5898,24
Сумма	100	1	-	-	580	15736

 

По виду гистограммы можно  предположить, что наблюдалась случайная  величина, имеющая нормальный закон  распределения - . Возьмем значения параметров равными их оценкам на основе опытных данных. В качестве «преставления» каждого интервала берем его середину.

(мкм)

Выдвигаем гипотезу о том, что изучаемая случайная величина имеет функцию плотности 

 

Зададим уровень значимости равным .

Критическое значение критерия найдём по таблице хи - квадрат распределения  математической статистики. У нас 5 интервалов Определяем критическое  значение χ²_кр(α,ν) для числа степеней свободы ν=k-3=5-3=2   и заданного уровня значимости α=0,05.  

χ²_кр(α=0,05;ν=2) = 5,991.  

Рассчитаем наблюдаемое  значение статистики Пирсона . Для вычисления вероятностей (в предположении, что гипотеза H₀ справедлива) применим формулу:

,

где Ф(х) – функция Лапласа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Составим расчетную таблицу, из которой найдем наблюдаемое значение критерия:

№ интервала	Наблюдаемая частота,	Вероятность попадания в i-й интервал	Ожидаемая частота,	Слагаемые статистики Пирсона
1	13	0,0854	8,5	2,33
2	20	0,2172	21,7	0,14
3	29	0,3065	30,7	0,09
4	22	0,2415	24,2	0,19
5	16	0,1018	10,2	3,33
Сумма	100	-	-	6,07

 

Из расчетной таблицы  находим наблюдаемое значение критерия Пирсона: .

Так как , то гипотезу о распределении случайной величины Х по нормальному закону отвергаем. Вероятность ошибки меньше 0,05.

Ответ: гипотеза о нормальном законе отвергается.