Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика

Вариант – 7

Задание 1

7. Технолог вызывает мастера по  внутрисистемной рации. Вероятность  того, что мастер примет первый  вызов равна 0,2, второй – 0,4 и третий – 0,8. Условия приёма  таковы, что событие, состоящее  в том, что i-ый по счету вызов услышан, независимы, i= 1, 2, 3. Найти вероятность того, что мастер вообще услышит технолога.

Решение.

Введем  в рассмотрение события, вероятности  которых заданы:

А₁– мастер примет первый вызов, Р(А₁) =0,2, Р(Ā₁) = 1 – 0,2 = 0,8;

А₂ – мастер примет второй вызов, Р(А₂) = 0,4, Р(Ā₂) = 0,6;

А₃ – мастер примет третий вызов, Р(А₃) = 0,8, Р(Ā₃) = 0,2;

С – вероятность того, что мастер вообще услышит технолога;

В₀ – ни один из вызовов не будет услышан.

Р(В₀) = Р(Ā₁Ā₂Ā₃) = 0,8 * 0,6 * 0,2 = 0,096;

С = 1 - 0,096 = 0,904.

Ответ: вероятность того, что мастер вообще услышит технолога, равна 0,904.

 

Задание 2

17. Контролер  ОТК проверяет однотипный вид  продукции, поступающий из трех  цехов, производительности которых  относятся как 1:2:3. Брак составляет в среднем: для первого цеха – 2%, для второго – 1,5%, для третьего – 2,5%. Взятая наудачу деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она поступила из третьего цеха.

Решение.

Пусть событие А – деталь бракованная. Возможны три гипотезы. Рассмотрим каждую и вычислим её вероятность.

Н₁ – деталь изготовлена в первом цехе.  Р(Н₁) = ;

Н₂ – деталь изготовлена во втором  цехе.  Р(Н₁) = = ;

Н₃ – деталь изготовлена в третьем цехе.  Р(Н₁) = .

Рассмотрим  условные вероятности события А:

Р_Н1 = 0,02;

Р_Н2 = 0,015;

Р_Н3 = 0,025;

Полная  вероятность события А равна:

Р(А) =  * 0,02 + * 0,015 + * 0, 025 = = = .

Вычислим  вероятность того, что бракованная  деталь  поступила из третьего цеха:

Р_А(Н₃) = = = 0,6.

Ответ: вероятность того, что бракованная деталь  поступила из третьего цеха, равна 0,6.

 

Задание 3.

Гормолзавод снабжает молочной продукцией n магазинов. Вероятность того, что в течении дня поступит заявка на товар, равна р для каждого магазина. Найти вероятность того, что в течении дня: а) поступит к заявок; б) не менее к₁ и не более к₂ заявок; в) поступит хотя бы одна заявка. Каково наивероятнейшее число поступающих в течении дня заявок и чему  равна соответствующая ему вероятность?

27.    р = 0,7;     n = 21;     k = 12;     k₁ = 10;      k₂ = 15;

Решение.

а) вероятность того, что в течении дня поступит 12 заявок:

Р_n(k) = С_n^k · р^k· q ^n-k = · р^k· q ^n-k, где q = 1 – р;

q = 1 – 0,7 = 0,3;

Р_n(12) = * = 293930*0,7¹²*0,3⁹ =0,080077718 ≈ 0,08;

вероятность того, что в течении дня поступит 12 заявок равна 0,08.

б)  Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит не менее k раз и не более m раз, находится по формуле:

Р_n(k) + Р_n(k+1) + Р_n(k+2) + … + Р_n(m)

Р_n(10) + Р_n(11) + Р_n(12) + Р_n(13) + Р_n(14) + Р_n(15);

Р_n(10) = * = 0,017649783 ≈ 0,02;

Р_n(11) = * = 0,041182826 ≈ 0,04;

Р_n(12) = * = 0,080077718 ≈ 0,08;

Р_n(13) = * = 0,129356313 ≈ 0,13;

Р_n(14) = * = 0,172475084 ≈ 0,17;

Р_n(15) = * = 0,187806203 ≈ 0,19;

0,02 + 0,04 + 0,08 + 0,13 + 0,17 + 0,19 = 0,63.

Вероятность того, что в течении дня поступит не менее 10 и не более 15 заявок равна 0,63.

в) поступит хотя бы одна заявка, k = 1.

Найдём  вероятность противоположного события,  ни одна заявка не поступит.

Р_n(0) = * = *= 0,00000000001046035320

≈ 0,00000000001;

Р = 1 - 0,00000000001 = 0,9999999999.

Вероятность того, что в течении дня поступит хотя бы одна заявка равна 0,9999999999.

Наивероятнейшее число поступающих в течении  дня заявок и соответствующая  ему вероятность.

n*p – q k₀ n*p + p;

21*0,7 – 0,3 ≤  k₀≤ 21*0,7 + 0,3;

14,4 ≤ k₀≤ 15.

Наивероятнейшее число поступающих в течении  дня заявок 15.

Р_n(15) = * = 0,187806203 ≈ 0,19.

Ответ:

а) Вероятность того, что в течении дня поступит 12 заявок равна 0,08.

б) Вероятность  того, что в течении дня поступит не менее 10 и не более 15 заявок равна 0,63.

в) Вероятность того, что в течении дня поступит хотя бы одна заявка равна 0,9999999999.

Наивероятнейшее число поступающих в течении  дня заявок 15; Р_n(15) = 0,19.

 

Задание 4.

37. Случайная величина Х задана  функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины, если:  _.

Решение.

F(x) =

Плотность распределения f(x):

f(x) = F’(x) =

Математическое ожидание:

М(Х) = .

M(X) = = = (6* x³ + 2* x² ) =  2*()³ +()² =

= 2* + = + = ≈ 0,185.

Дисперсия случайной  величины:

D(X) = - (M(X))².

D(X) =  - (M(X))² = - (M(X))² =

= (6 * x⁴ + 2 * x³) - (M(X))² =  ()⁴ + ()³ - (M(X))² =

=  * + * – 0,185² = - 0,185² = 0,04321 – 0,034225 = 0,008985.

Ответ:

плотность распределения  вероятностей  f(x) = F’(x) =

Математическое  ожидание M(X) = 0,185.

Дисперсия случайной  величины D(X) = 0,008985.

 

Задание 5.

Заданы  математическое ожидание «а» и среднее квадратическое отклонение «σ» нормально распределенной случайной величины Х. Требуется найти: а) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (α, β), б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения «Х - а» окажется меньше δ.

47. а = 9,   σ = 5,   α = 5,   β = 15,   δ = 8.

 

Решение.

а) Найдем вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (5, 15) по формуле:

Р(<х<) = Ф - Ф,

Р(5<х<15) = Ф - Ф = Ф - Ф = Ф(1,2) – Ф(-0,8) =

= Ф(1,2) + Ф(0,8) = 0,3849 + 0,2881 = 0,673.

Искомая величина попадания нормально распределенной случайной величины в интервал (5; 15) равна: Р(5<х<15) = 0,673.

б) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения «Х - а» окажется меньше δ.

Р(|х - a|<) = 2*Ф(/),

Р(|x – 9|< 8) = 2*Ф(8/5) = 2*Ф(1,6) = 2*0,4452 = 0,8904.

Ответ: а) Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (5, 15) равна Р(5<х<15) = 0,673.

б) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения «Х - а» окажется меньше δ, равна Р(|x – 9|< 8) = 0,8904.

 

Задание 6.

Используя данные для своего варианта из приложения 3: 1) рассчитайте уравнение  регрессии, характеризующее линейную зависимость между величинами Х  и У; 2) постройте корреляционное поле и теоретическую линию регрессии; 3) определите тесноту связи между  изучаемыми признаками.

57. Х – постоянные издержки производства, У -  численность рабочих;

Постоянные издержки млн.руб.	48,8	32,4	22,1	37,5	34,8	21,1	22,3	9,8	39,7	11,7	40,1	13,6	21,6	9,2
Численность рабочих, чел	105	57	100	112	106	62	60	34	109	38	115	40	50	30

 

Решение.

х	у	х2	ху	у2
48,8	105	2381,44	5124	11025
32,4	57	1049,76	1846,8	3249
22,1	100	488,41	2210	10000
37,5	112	1406,25	4200	12544
34,8	106	1211,04	3688,8	11236
21,1	62	445,21	1308,2	3844
22,3	60	497,29	1338	3600
9,8	34	96,04	333,2	1156
39,7	109	1576,09	4327,3	11881
11,7	38	136,89	444,6	1444
40,1	115	1608,01	4611,5	13225
13,6	40	184,96	544	1600
21,6	50	466,56	1080	2500
9,2	30	84,64	276	900
364,7	1018	11632,59	31332,4	88204

 

n = 14

система уравнений  примет вид:

 

a_a= 1,34;       a₁ = 2,74;

Уравнение регрессии  y = 1,34 + 2,74x

 
Тесноту связи между изучаемыми признаками определим при помощи коэффициента корреляции:

, где 

= = 26,05;       = = 72,7;       = = 2238,03;      

σ_x = = = 26,05;

σ_y = = = 31,86

 r = = = = 0,41; 

r>0  теснота линейной связи умеренная, связь прямая, большему значению одного признака соответствует большее значение другого.

Ответ: уравнение регрессии  y = 1,34 + 2,74x;

коэффициента  корреляции r = 0,41.

Задание 7.

По данным корреляционной таблицы  найти условные средние  и . Оценить тесноту линейной связи между признаками Х и У и составить уравнения линейной регрессии У по Х и Х по У. Сделать чертёж, нанеся на него условные средние и найденные прямые регрессии. Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.

67.

У/Х	15	20	25	30	35	40	ny
32	1	5					6
42		3	5				8
52			9	40	2		51
62			4	11	6		21
72				4	7	3	14
nx	1	8	18	55	15	3	n=100

 

Решение.

В таблице каждому значению Х соответствует  статистическое распределение признака У.

Х = 15

У	32	42	52	62	72
nху	1	-	-	-	-

 

Отсюда  находим среднее значение У при  условии, что Х = 15, или условную среднюю:

_Х=15 = = 32

Х = 20

У	32	42	52	62	72
nху	5	3	-	-	-

 

_Х=20 = = 35,75

Х = 25

У	32	42	52	62	72
nху	-	5	9	4	-

 

_Х=25 = = 51,44;

 

Х = 30

У	32	42	52	62	72
nху	-	-	40	11	4

 

_Х=30 = = 55,45;

Х = 35

У	32	42	52	62	72
nху	-	-	2	6	7

 

_Х=35 = = 65,33;

Х = 40

У	32	42	52	62	72
nху	-	-	-	-	3

 

_Х=40 = = 72.

 

 

Каждому значению У соответствует статистическое распределение  Х.

У = 32

Х	15	20	25	30	35	40
nху	1	5	-	-	-	-