Теория вероятности

ВАРИАНТ №6

Контрольная работа №1

 

1. Электрический провод, соединяющий пункты А и В, порвался в неизвестном месте. Чему равна вероятность того, что разрыв произошел не далее 500 м от пункта А, если расстояние между пунктами 2 км?

Решение:

Рассмотрим  отрезок АВ

 

По условию  задачи разрыв должен выпасть на отрезок  АС

По формуле  геометрической вероятности

 

Ответ: с  вероятностью 0,25 произойдет разрыв устройства не далее чем 500 м. от пункта А.

 

2. Устройство содержит три независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,06, 0,045 и 0,08. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.

Решение:

А={Отказал 1 элемент}               

В={Отказал 2 элемент}                

С={Отказал 3 элемент}                

Р(А)=0,06;

Р(В)=0,45;

Р(С)=0,08;

D={отказ устройства}

={все три элемента исправны}

тогда, искомое событие D состоит, в том, что:

 

 

События независимые, тогда

 

Ответ: отказ  устройства может произойти с  вероятностью 0,52436

3. В первой коробке из 20 карандашей – 13 красных; во второй из 30 карандашей – 22 красных, а в третьей из 10 карандашей – 5 красных. Из наудачу выбранной коробки наудачу извлекают карандаш.

а) Найти вероятность того, что он красный.

б) Карандаш оказался красный. С какой вероятностью он принадлежал второй коробке?

Решение:

а)Вероятность того, что карандаш из 1  коробки

 

из 2 коробки:

 

из 3 коробки:

 

, значит {H₁, H₂, H₃} образуют полную группу событий

Воспользуемся формулой полной вероятности

 

 

Условные  вероятности:

 

Вероятность того, что карандаш красный равна

 

Вероятность того, что карандаш красный равна 

б) Для решения  данной задачи воспользуемся формулой Байеса

 

 

Вероятность того, что красный карандаш окажется из 2 коробки равна .

 

4. Вероятность того, что на некотором предприятии расход электроэнергии не превысит суточной нормы, равна 0,8. Найти вероятность того, что:

а) в течение пяти рабочих дней,

б) не менее  пяти рабочих дней

из семи произвольно взятых перерасхода  электроэнергии не будет.

Решение:

а) Воспользуемся  формулой Бернулли для повторяющихся  испытаний

 

n=7, k=5, p=0,8, q=0,2

 

б) Событие  заключается в том, перерасхода не будет в течении 5, 6, 7 рабочих дней

Р=Р₇(5)+Р₇(6)+ Р₇(7)

 

 

Р=0,2752512+0,3670016+0,2097152=0,0,851968

 

5. Вероятность рождения мальчика равна 0,5. Найти вероятность того, что из 1000 родившихся детей мальчиков будет:

а) ровно 550;

б) от 465 до 550.

Решение:

а) число  испытаний довольно велико, поэтому  для нахождения искомой вероятности  воспользуемся формулой Лапласа

, где 

n=1000, p=0,5, q=0,5,k=550

 

 

 

б) Воспользуемся  интегральной теоремой Лапласа

, где 

 

 

 

 

6. Испытывается устройство, состоящее из трёх независимо работающих приборов. Вероятности отказа каждого из приборов равны соответственно р₁=0,3; p₂=0,4; p₃=0,5. Составить закон распределения случайной величины X – числа отказавших приборов. Найти математическое ожидание и дисперсию.

Составим  закон распределения дискретной случайной величины Х:

все устройства работают

р₁=0,7∙0,6∙0,5=0,21

отказало 1 устройство:

;

отказало 2 устройства:

р₃=0,3∙0,4∙0,5+0,3∙0,6∙0,5+0,7∙0,4∙0,5=0,29;

отказало 3 устройства:

р₄=0,3∙0,4∙0,5=0,06

 

Закон распределения  имеет вид:

xi	0	1	2	3
pi	0,21	0,44	0,29	0,06

 

Найдем  числовые характеристики дискретной случайной  величины

Математическое  ожидание

 

 

Дисперсия

 

 

среднеквадратичное  отклонение

 

 

 

 

7. Случайная величина задана интегральной функцией F(x). Найти дифференциальную функцию f(x) (функцию плотности), математическое ожидание, дисперсию, построить графики.

Решение:

Найдем дифференциальную функцию

 

Математическое ожидание непрерывной  случайной величины:

 

 

Дисперсия непрерывной случайной  величины:

 

 

График плотности

График интегральной функции

 

8. Дневной план перевозки бетона для одного самосвала представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону. Средняя выработка равна 22 м³, дисперсия – 2,2. Какой дневной план перевозки бетона для одного самосвала можно гарантировать с вероятностью, равной 0,95?

Решение:

Величина Х  распределена по нормальному закону, тогда необходимо найти такое положительное число ε, для которого

 

 

т.е. задача сводится к нахождению такого числа  ε, для которого выполняется неравенство:

 

по таблице  находим

 

 

С точностью 0,95 можно гарантировать дневную  выработку бетона в пределах

 

 

Контрольная работа №2

 

1. Путем опроса получено значений признака X.

 

8	2	5	2	2	8	9	6	3	6	9	8	1	1	3
6	9	2	7	6	7	4	4	2	5	9	6	9	6	9

 

Требуется:

1. построить интервальный и дискретный вариационные ряды распределения частот и относительных частот наблюдаемых значений X;
2. построить гистограмму и полигон относительных частот X;
3. найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;
4. вычислить числовые характеристики выборки: выборочное среднее ; выборочную и исправленную дисперсию ; выборочное среднее квадратическое отклонение .

 

Решение:

1) Составим  дискретный вариационный ряд

варианты	1	2	3	4	5	6	7	8	9	сумма
частоты	2	5	2	2	2	6	2	3	6	30
относительные частоты	1/15	1/6	1/15	1/15	1/15	1/5	1/15	1/10	1/5	1

Разобьем  ряд на 4 интервала. Определим длину  интервала

 

Интервальный  ряд:

№ интервала	границы интервала	сумма частот вариант частичного интервала, ni	сумма относительных частот, ni/n
1	1-3	7	7/30
2	3-5	4	2/15
3	5-7	8	4/15
4	7-9	11	11/30
итого:		30	1

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Построим  гистограмму относительных частот

Полигон относительных частот

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) Эмпирическая функция распределения

    

График эмпирической функции

 

4) выборочная средняя:

 

выборочная дисперсия:

 

 

 

Исправленная дисперсия

 

 

 

2. Выборочным путем обследовано 225 электрических лампочек на повышенное напряжение. По данным выборки средний срок службы (в часах) электроламп оказался равным 200 час. Предполагая, что срок службы ламп распределен нормально, найти с надежностью 0,99 доверительный интервал для среднего срока службы электроламп, выпущенных заводом, зная, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения ламп = 30 час.

Решение:

Интервальной оценкой (с надежностью  γ) математического ожидания а нормально распределенного количества признака X по выборочной средней при известном среднеквадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал

, где  решение уравнения

 

Тогда доверительный интервал

 

 

 

3. По данным 100 проб получены следующие данные о процентном содержании в руде свинца X и серебра Y:

 

Y X	2	6	10	14	18	22	26	Итого
3	40	2	-	-	-	-	-	42
8	3	20	3	-	-	-	-	26
13	-	2	10	4	-	-	-	16
18	-	-	3	5	1	-	-	9
23	-	-	-	1	2	-	-	3
28	-	-	-	-	-	2	-	2
33	-	-	-	-	-	1	1	2
Итого	43	24	16	10	3	3	1	100

 

Предполагая, что между X и Y существует линейная корреляционная зависимость, требуется:

1. вычислить коэффициент корреляции,
2. составить уравнение прямых регрессий,
3. используя соответствующие уравнение регрессии, оценить среднее содержание серебра в руде, содержащей 20% свинца.

Решение:

Заданную  корреляционную таблицу соответствующими значениями u и v, полагая, что x₀=18; y₀=14

	v	-3	-2	-1	0	1	2	3	nx
u	Y X	2	6	10	14	18	22	26
-3	3	40	2	-	-	-	-	-	42
-2	8	3	20	3	-	-	-	-	26
-1	13	-	2	10	4	-	-	-	16
0	18	-	-	3	5	1	-	-	9
1	23	-	-	-	1	2	-	-	3
2	28	-	-	-	-	-	2	-	2
3	33	-	-	-	-	-	1	1	2
ny		43	24	16	10	3	3	1	100