Теория вероятности

Теория Вероятности

Задача 1: Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её наугад. Определить вероятность того, что ему придётся звонить не более чем в 3 места.

 

Решение: Вероятность набрать верную цифру из десяти равна по условию 1/10. Рассмотрим следующие случаи:

1. первый звонок оказался верным, вероятность равна 1/10 (сразу набрана  нужная цифра).

2. первый звонок оказался неверным, а второй - верным, вероятность равна  9/10*1/9=1/10 (первый раз набрана неверная  цифра, а второй раз верная из оставшихся девяти цифр).

3. первый и второй звонки  оказались неверными, а третий - верным, вероятность равна 9/10*8/9*1/8=1/10 (аналогично пункту 2).

 

 Всего получаем P=1/10+1/10+1/10=3/10=0,3 - вероятность того, что ему придется  звонить не более чем в три места.

 

Ответ: 0,3

 

Задача 2: Абонент забыл последние 2 цифры телефонного номера, но помнит, что они различны и образуют двузначное число, меньшее 30. С учетом этого он набирает наугад 2 цифры. Найти вероятность того, что это будут нужные цифры.

 

Решение: Используем классическое определение  вероятности: P=m/n, где n - число всех возможных  элементарных исходов, m - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению  события.

m = 1, так как только одно число  правильное. Подсчитаем количество всех возможных двузначных чисел с разными цифрами, меньшее 30, которые может набрать абонент: 10   12   13   14   15   16   17   18   19

20   21   23   24   25   26   27   28   29

 

 Таких чисел n = 18 штук. Тогда  искомая вероятность P=1/18.

 

Ответ: 1/18.

 

Задача 3. Шесть шаров случайным образом раскладывают в три ящика. Найти вероятность того, что во всех ящиках окажется разное число шаров, при условии, что все ящики не пустые.

 

Решение: Используем классическое определение  вероятности: P=m/n, где m - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех возможных исходов.

 

m = 6, так как есть только три  случая расположения 6 шаров по 3 ящикам, чтобы во всех ящиках  оказалось разное число шаров: (1, 2, 3), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (3, 1, 2). Всего случаев расположения 6 шаров по 3 ящикам, чтобы ни один ящик не остался пустым равно

 

 Тогда искомая вероятность  P=6/10.

 

Ответ: 0,6.

 

Задача 4: На шахматную доску случайным образом поставлены две ладьи. Какова вероятность, что они не будут бить одна другую?

 

Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где m - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число  всех возможных исходов.

 

 Число  всех способов расставить ладьи равно n = 64*63 (первую ладью ставим на любую из 64 клеток, а вторую - на любую из оставшихся 63 клеток). Число способов расставить ладьи так, что они не будут бить одна другую равно m = 64*(64-15) = 64*49.

 

 Тогда  искомая вероятность P=(64*49)/(64*63)=49/63.

 

Ответ: 49/63.

 

Задача 5. Шесть рукописей случайно раскладывают по пяти папкам. Какова вероятность того, что ровно одна папка останется пустой?

 

Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где m - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех возможных исходов.

 

 Подсчитаем  - число различных  способов разложить 6 рукописей  по 5 папкам, причем в каждой папке  может быть любое количество рукописей. Теперь подсчитаем  - число способов разложить 6 рукописей по 4 папкам, причем в каждой папке должно быть не менее одной рукописи. При этом нужно полученное число сочетаний умножить на 5, так как папку, которая останется пустой, можно выбрать 5 способами. Искомая вероятность Р=50/210=5/21.

 

Ответ: 5/21.

 

Задача 6. Цифры 1, 2, 3, …, 9, выписанные на отдельные карточки складывают в ящик и тщательно перемешивают. Наугад вынимают одну карточку. Найти вероятность того, что число, написанное на этой карточке: а) четное; б) двузначное.

 

Решение: Используем классическое определение  вероятности: P=m/n, где n - число всех возможных  элементарных исходов, m - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению  события.

 

 Случай а). n = 9, так как всего 9 различных карточек. m = 4, так как всего на 4 карточках написаны четные числа (2, 4, 6, 8). Тогда P=4/9.

 

 Случай б). n = 9, так как всего  9 различных карточек. m = 0, так как  на всех карточках написаны  однозначные числа. Тогда P=0/9=0.

 

Ответ: 4/9, 0.

 

Задача 7. На полке в случайном порядке расставлено 40 книг, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом.

 

Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где n - число всех возможных элементарных исходов, m - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению события (Тома стоят в порядке возвозрастания номера слева направо, но не обязательно рядом).

 

n = 40*39*38, так как первый том можно поставить на любое из 40 мест, второй - на любое из 39 мест и третий - на любое из оставшихся 38 мест.

 

 Тогда искомая вероятность  

 

Ответ: 1/6.

 

Задача 8. На каждой из пяти одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: "а", "м", "р", "т", "ю". Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех вынутых по одной карточке можно прочесть слово "юрта".

 

Решение: Используем классическое определение  вероятности: P=m/n, где m - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех возможных исходов.

 

n = 5*4*3*2 = 120 способов, так как первую  карточку (букву) можно вытянуть (выбрать) 5 способами (так как  всего карточек пять), вторую - 4 (осталось  к этому шагу четыре), третью  - 3 и четвертую - 2 способами. m = 1, так как искомая последовательность карточек "ю", потом "р", потом "т", потом "а" только одна.

 

 Получаем P = 1/120.

 

Ответ: 1/120.

 

Задача 9. Ребенок имеет на руках 5 кубиков с буквами: А, К, К, Л, У. Какова вероятность того, что ребенок соберет из кубиков слово "кукла"?

 

Решение: Используем классическое определение  вероятности: P=m/n, где n - число всех возможных  элементарных исходов, m - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению  события.

 

 Число различных перестановок из букв А, К, К, Л, У равно , из них только одна соответствует слову "кукла" (m=1), поэтому по классическому определению вероятности вероятность того, что ребенок соберет из кубиков слово "кукла" равна P=1/60.

 

Ответ: 1/60.