Теория вероятности

 Пусть случайная ؏ величина определена плотностью распределения

f(؏) = 0, ؏<1

          A(f-1), 1≤؏<4

          0, ؏≥4

Определим коэффициент А:

ʃ_-^+∞_∞ f(x)dx=1, то есть

ʃ_-∞^+∞f(؏)d؏=ʃ_-∞¹ 0 d؏+ʃ₁⁴ А(؏-1)d؏+ʃ₄^+∞ 0 d؏=А│⁴₁= (3²-0²)=

Имеем ,=1=>А=

Тогда f(؏)=   0,  ؏<1                                                                                                                                    

                        А(؏-1), 1≤   ؏<4

                         0,  ؏ ≥ 4

Найдем функцию распределения  F(х)= ʃ_-∞^х f(х)dx

При  ؏  < 1: f(؏)= ʃ_-∞^؏ 0 d؏=0

При 1≤  ؏ < 4: f(؏)=ʃ_-∞¹0 dх+ʃ₁^؏ (؏-1)d؏=*-0=.

При ؏≥4: f(؏)=ʃ_-∞¹ 0dх+ʃ₁⁴ (؏-1)d؏+ʃ₄^؏ 0d؏=*  ₁⁴=-0==1

 

 

Имеем, F(х)=      0,؏<1

                             , 1≤؏<4

                              1,؏≥4

Найдем вероятность того, что случайная величина будет  принадлежать отрезку [3,7]:

Р(3<؏<7 )= ʃ₃⁷ f(؏) d؏=ʃ⁴₃2/9(؏-1)d؏+ʃ⁷₄0d؏=*    ⁴₃=    ⁴₃=   -   =1- 4/9=5/9

Найдём:

M(؏)=ʃ^-₊^∞_∞؏ * f(؏) d؏= ʃ¹_-∞0 ؏d ؏+ ʃ⁴₁ ؏ 2/9 (؏-1) d؏ + ʃ^+∞₄ 0؏ d؏= 2/9ʃ⁴₁ (؏²-؏) d؏= 2/9 (-)   ⁴₁= 2/9(4³/3 -؏- ⅓ + ½) = 2/9 (64/3 -8 – ⅓ + ½) =2/9 (13 + ½ ) = 2/9*27/2 =3

Д(؏)=ʃ_-∞^+∞؏²*f(؏)d؏-М²=ʃ_-8¹؏²*0d؏-М²(؏)+ʃ⁴₁؏² 2/9(؏-1)d؏+ʃ^+∞₄0؏d؏=

=2/9ʃ⁴₁(؏-1)d؏+ʃ^+∞₄0؏d؏=2/9ʃ⁴₁(؏³-؏²)d؏-9=2/9(؏⁴/4-؏³/3)  ₁⁴-9=2/9(4³-      -4³/3-⅓+⅓)-9=2/9(4³*2/3-⅓+⅓)-9=2/9(128/3-⅓+⅓)-9=2/9*513/12-9=-     -9==3/6=1/2.

ϐ (؏)=√Д(؏)=√1/2≈0,707.

11. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,035 А.

                                                Решение: 

Ошибку округления отчета можно рассматривать как случайную  величину х, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями. Плотность равномерного распределения f(x)=, где (в-а)-длина интервала, в котором заключены возможные  значения x; вне этого интервала f(x)= 0. В данной задаче длина интервала , в котором заключены значения X = 0.1 , поэтому f(x) ==10.

Ошибка отсчета превысим 0.035, если она будет заключена в интервале  (0,035; 0,08). Тогда

p (a<x<b)= ʃ^b_a f (x)dx => p(0,035<x<0,08) =ʃ^0,08_0,035 10dx= 10x   ^0,08_0,035 = 10(0,08- 0,035)= 0,45

12. математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 20 и 3. Найти вероятность того, чот в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (17, 20).

                                                   Решение:

Воспользуемся формулой:

Р(ɑ<х<β)= φ()- φ(), где φ(x)=  ʃ^x₀ e- t²/2 dt – функция Лапласа

По условию: ɑ=17, β=20, a=20, ϭ=3/

Имеем, p(17<x<20)= φ()- φ() = φ(0) –φ(-1) = φ(0)+φ(1)

По таблице φ(0)=0; φ(1)=0,3413

Имеем P(17<x<20)=0,3413

13. Устройство состоит из 8ми независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равно 0,05. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом(математическое ожидание) отказов за время Т окажется а) меньше 4х; б) не меньше 4х.

                                               Решение:

Обозначим через х дискретную случайную величину число отказавших элементов за время Т. Тогда

М(х)= пр= 8* 0,05= 0,4

Д(х)= прд =8 * 0,05 * 0,95= 0,38

Воспользуемся неравенством Чебышева:

Р ( х- м(х) <E) ≥ 1 -

Подставить сюда М(х)= 0,4, Д(х)=0,38, Е=4, получаем

Р(   х- 0,4  <4)≥ 1- =0,9763.

б) События х-0,4 <4 и  х- 0,4 ≥4 противоположны, поэтому сумма их вероятностей равна  единицы.

Следовательно; Р(   х- 0,4  ≥ 4) =1 -0,9763= 0,0237.

14. Задав закон распределения некоторой последовательности независемых случайных величин Х1, Х2, ...., Хn,..., определить применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева.

                                                   Решение:

Зададим последовательность независимых случайных величин  х₁,….,х_n законом распределения

хn	-nɑ	0	nɑ
р		1-

     

 

 

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

Для того чтобы к последовательности случайных величин была применима  теорема Чебышева, достаточно, чтобы  эти величины были попарно независимы, имели конечные математические ожидания и равномерно ограниченные дисперсии.

Поскольку случайные величины независимы, то они  подавно попарно независимы, то есть первое требование теоремы Чебышева выполняется.

Проверим, выполняется ли требования конечности математических ожиданий:

М(х_n)=- nɑ()+0 *(1- ) + nɑ ()=0

Таким образом, каждая случайная  величина имеет конечное математическое ожидание, то есть второе требование теоремы выполняется.

Проверим, выполняется ли требование равномерной ограниченности дисперсий.

Напишем закон распределения  х_n²:

Хn2	n 2ɑ2	0	n 2ɑ2
р		1-

 

или, сложив вероятности  одинаковых возможных значений :

Xn2	n 2ɑ2	0
p

 

Найдем математическое ожидание М(х_n²):

М(х_n²)=n²ɑ²*=ɑ²

Найдем дисперсию Д(х_n), учитывая что Д(х_n)=М(х_n²)-[М(х_n )] =ɑ²

Таким образом, дисперсии  заданных случайных величин равномерно ограничены числом ɑ², то есть третье требование выполняется.

Итак поскольку все требования выполняются, к рассматриваемой последовательности случайных величин теорема Чебышева применима.