Теория вероятности

 

 

 

1.Введение

При изучении случайных событий  возникает необходимость количественно  сравнивать возможность их появления  в результате опыта.

Например, при последовательном извлечении из колоды пяти карт более возможна ситуация, когда появились карты  разных мастей, чем появление пяти карт одной масти; при десяти бросках  монеты более возможно чередование  гербов и цифр, нежели выпадение  подряд десяти гербов, и т.д. Поэтому  с каждым таким событием связывают  по определенному правилу некоторое  число, которое тем больше, чем  более возможно событие. Это число  называется вероятностью события и является вторым основным понятием теории вероятностей.

Отметим, что само понятие вероятности, как и понятие случайного события, является аксиоматическим и поэтому  не поддается строгому определению. То, что в дальнейшем будет называться различными определениями вероятности, представляет собой способы вычисления этой величины.

Дадим необходимые определения :

Событие – это факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Вероятность - это одно из основных понятий теории вероятности.

Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности этого события. Вероятность события А обозначается Р (А).

 

 

2.Понятие, классификация, классического определения вероятности

Достоверным называется событие В, которое в результате опыта  непременно должно произойти:                                                

 

 

 Р (В) = 1 

 

Невозможным называется событие С, которое в результате опыта не может произойти:

Р (С) = 0

Вероятность любого события А заключена между нулем и единицей:

0 ≤ Р(А) ≤ 1

 

Вероятность — степень (мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае — невероятным или маловероятным.

Перевес положительных оснований  над отрицательными, и наоборот, может быть в различной степени, вследствие чего вероятность (и невероятность) бывает большей или меньшей.

Поэтому часто вероятность оценивается  на качественном уровне, особенно в  тех случаях, когда более или  менее точная количественная оценка невозможна или крайне затруднительна. Возможны различные градации «уровней»  вероятности.

Думая про наступление достоверного события, мы слово «вероятно» использовать, скорее всего, не будем. Например, если сегодня среда, то завтра четверг, это--достоверное событие. Мы в среду не станем говорить: «Вероятно, завтра четверг», мы скажем коротко и ясно: «Завтра четверг». Правда, если мы склонны к красивым фразам, то можем сказать так: «Со стопроцентной вероятностью утверждаю, что завтра четверг». Напротив, если сегодня среда, то наступление назавтра пятницы--невозможное событие. Оценивая это событие в среду, мы можем сказать так: «Уверен, что завтра не пятница». Или так: «Невероятно, что завтра пятница». Ну а если мы склонны к красивым фразам, то можем сказать так: «Вероятность того, что завтра пятница, равна нулю». Итак, достоверное событие--это событие, наступающее при данных условиях со стопроцентной вероятностью (т. е. наступающее в 10 случаях из 10, в 100 случаях из 100 и т. д.). Невозможное событие--это событие, не наступающее при данных условиях никогда, событие с нулевой вероятностью.

Но, к сожалению (а может быть, и к счастью), не все в жизни  так четко и ясно: это будет  всегда (достоверное событие), этого  не будет никогда (невозможное событие). Чаще всего мы сталкиваемся именно со случайными событиями, одни из которых  более вероятны, другие менее вероятны. Обычно люди используют слова «более вероятно» или «менее вероятно», как говорится, по наитию, опираясь на то, что называют здравым смыслом. Но очень часто такие оценки оказываются  недостаточными, поскольку бывает важно  знать, на сколько процентов вероятно случайное событие или во сколько раз одно случайное событие вероятнее другого. Иными словами, нужны точные количественные характеристики, нужно уметь охарактеризовать вероятность числом.

Первые шаги в этом направлении  мы уже сделали. Мы говорили, что  вероятность наступления достоверного события характеризуется как стопроцентная, а вероятность наступления невозможного события--как нулевая. Учитывая, что 100 % равно 1, люди договорились о следующем:

1) вероятность достоверного события считается равной 1;

2) вероятность невозможного события считается равной 0.

А как подсчитать вероятность случайного события? Ведь оно произошло случайно, значит, не подчиняется закономерностям, алгоритмам, формулам. Оказывается, и в мире случайного действуют определенные законы, позволяющие вычислять вероятности. Этим занимается раздел математики, который так и называется-теория вероятностей.

Математика имеет дело с моделью некоторого явления окружающей нас действительности. Из всех моделей, используемых в теории вероятностей, мы ограничимся самой простой.

Классическая вероятностная схема

Для нахождения вероятности события А при проведении некоторого опыта следует:

1) найти число N всех возможных  исходов данного опыта;

2) принять предположение о равновероятности (равновозможности) всех этих исходов;

3) найти количество N(А) тех исходов  опыта, в которых наступает  событие А;

4) найти частное ; оно и будет равно вероятности события А.

 

Классическое "определение" вероятности  исходит из понятия равно возможности как объективного свойства изучаемых явлений. Равно возможность является неопределяемым понятием и устанавливается из общих соображений симметрии изучаемых явлений. Например, при подбрасывании монетки исходят из того, что в силу предполагаемой симметрии монетки, однородности материала и случайности (непредвзятости) подбрасывания нет никаких оснований для предпочтения "решки" перед "орлом" или наоборот, то есть выпадение этих сторон можно считать равновозможными (равновероятными).

Наряду с понятием равно возможности в общем случае для классического определения необходимо также понятие элементарного события (исхода), благоприятствующего или нет изучаемому событию A. Речь идет об исходах, наступление которых исключает возможность наступления иных исходов. Это несовместимые элементарные события.

 К примеру при бросании игральной кости выпадение конкретного числа исключает выпадение остальных чисел.

Например, пусть подбрасываются две  кости. Общее количество равновозможных исходов (элементарных событий) равно  очевидно 36 (6 возможностей на каждой кости). Оценим вероятность выпадения 7 очков. Получение 7 очков возможно следующими способами: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. То есть всего 6 равновозможных исходов, благоприятствующих событию A - получению 7 очков. Следовательно, вероятность будет равна 6/36=1/6. Для  сравнения вероятность получения 12 очков или 2 очков равна всего 1/36 - в 6 раз меньше.

Дадим определение вероятности.

Принято вероятность события А обозначать: Р(А). Объяснение такого обозначения очень простое: слово «вероятность» по-французски – probabilite , по-английски -probability.  В обозначении используется первая буква слова.

Вероятностью случайного события A называется отношение числа n несовместимых равновероятных элементарных событий, составляющих событие A, к числу всех возможных элементарных событий N:

где m - число элементарных исходов, благоприятствующих A; n - число всех возможных элементарных исходов  испытания.

Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Свойства вероятности

Из определения вероятности  вытекают следующие ее свойства:

Свойство 1. 

Вероятность достоверного события  равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания  благоприятствует событию. В этом случае m = n, следовательно,

Р (A) = m / n = n / n = 1.

Свойство 2. 

Вероятность невозможного события  равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов  испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно,

Р (А) = m / n = 0 / n = 0.

 

Свойство 3. 

Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное  между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию  благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,

0 < Р (А) < 1

 

Итак, вероятность любого события  удовлетворяет двойному неравенству

0 <= Р (A) < 1.

Вероятность наступления хотя бы одного из двух несовместных событий равна  сумме их вероятностей.

При переводе этой теоремы на математический язык, возникает необходимость как-то назвать и обозначить событие, состоящее  в наступлении хотя бы одного из двух данных событий А и В. Такое событие называют суммой событий А и В и обозначают А+В.

Если А и В несовместны, то Р(А+В)= Р(А)+Р(В).

В самом деле,

 

Р(А+В)=

 

Несовместность событий А и В удобно иллюстрировать рисунком. Если все исходы опыта—некоторое множество точек на рисунке, то события А и В—это некоторые подмножества данного множества. Несовместность А и В означает, что эти два подмножества не пересекаются между собой. Типичный пример несовместных событий—любое событие А и противоположное событие Ā.

Разумеется, указанная теорема  верна и для трех, и для четырех, и для любого конечного числа  попарно несовместных событий. Вероятность суммы любого числа попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Это важное утверждение как раз и соответствует способу решения задач «перебором случаев».

Между событиями, происходящими в  результате некоторого опыта, и между  вероятностями этих событий могут  быть какие-то соотношения, зависимости, связи и т. п. Например, события  можно «складывать», а вероятность  суммы несовместных событий равна  сумме их вероятностей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.Заключение

В заключение обсудим следующий  принципиальный вопрос: можно ли доказать, что вероятность выпадения «решки» при одном бросании монеты равна

Ответ отрицательный. Вообще говоря, сам вопрос не корректен, неясен точный смысл слова «доказать». Ведь доказываем мы что-либо всегда в рамках некоторой модели, в которой уже известны правила, законы, аксиомы, формулы, теоремы и т. п. Если речь идет о воображаемой, «идеальной» монете, то потому-то она и считается идеальной, что, по определению, вероятность выпадения «решки» равна вероятности выпадения «орла». А, в принципе, можно рассмотреть модель, в которой вероятность выпадения «решки» в два раза больше вероятности выпадения «орла» или в три раза меньше и т. п. Тогда возникает вопрос: по какой причине из различных возможных моделей бросания монеты мы выбираем ту, в которой оба исхода бросания равновероятны между собой?

Совсем лобовой ответ таков: «А нам так проще, понятнее и естественнее!» Но есть и более содержательные аргументы. Они приходят из практики. В подавляющем большинстве учебников по теории вероятностей приводят примеры французского естествоиспытателя Ж. Бюффона (XVIII в.) и английского математика-статистика К. Пирсона (конец XIX в.), которые бросали монету, соответственно, 4040 и 24000 раз и подсчитывали число выпадений «орла» или «решки». У них «решка» выпала, соответственно, 1992 и 11998 раз. Если подсчитать частоту выпадения «решки», то получится  = =0,493069… у Бюффона и  = 0,4995 у Пирсона. Возникает естественное предположение, что при неограниченном увеличении числа бросаний монеты частота выпадения «решки», как и частота выпадения «орла», все больше и больше будет приближаться к 0,5. Именно это предположение, основанное на практических данных, является основой выбора в пользу модели с равновероятными исходами.

Сейчас можно подвести итоги. Основное понятие—вероятность случайного события, подсчет которой производится в рамках простейшей модели—классической вероятностной схемы. Важное значение и в теории, и в практике имеет понятие противоположного события и формула Р(Ā)= 1—Р(А) для нахождения вероятности такого события.

Наконец, мы познакомились с несовместными событиями и с формулами.

Р(А+В)= Р(А)+Р(В),

Р(А+В+С)= Р(А)+Р(В)+Р(С),

позволяющими находить вероятности суммы таких событий.