Теория вероятности

1. Перестановка, размещение, сочетание. Выборка- мн-во случаев с помощью опред процедуры выбранных из генерал совокупности для исследования.  Выборка без повтор- если любые 2 эл выборки различны, в противном случае – с повторениями. Перестановкой из n-элементов назыв упорядоченная выборка без повторений из n-элементов по n ==n!. Размещением без повторений из n-эл по K назыв упорядоч выборка без повторений из n-эл =n(n-1)(n-2)*…*(n-k+1). Сочетание – неупорядоченная выборка без повторений из n-эл размерности K. =. Свойства сочет: 1. ==1; 2. =n; 3. =.

 

2. Основные  правила комбинаторики. 1. правила суммы (пусть выборку вида А можно осуществить m способом, а выборку вида В можно осущ n способами, тогда или можно осущ m+n способами). 2. Правило произведения (пусть при сост выборки необход выбрать пару эл a и b, причем а может быть выбран m способами, а b n способами, тогда выбор пары ab может быть осущ m*n).

 

3. пространство  элементарных событий. Про-во элементар событий Ω назыв мн-во, содерж все возможные результаты данного случ эксперим, из кот в эксп происх ровно 1 раз. Элементы этого мн-ва назыв элемент исходами и обохнач W.

 

4. классификация  событий. Событием будем называть любое подмножество про-ва элементар событий А с Ω. Достоверное событие – которое обяз произойдет в экспер, т.е. это событие включ все элементар исходы Ω- достав события. Невозм события – не может произойти в рез эксперим, т.е. это событие кот не содержит ни одного элем исхода.

 

5. операции  над событиями. Объедин событий A и В назыв событие, сост в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо оба одновременно, т.е. мн-во содержит элемент исходы принадлеж как А, так и В. такой же смысл имеет и сумма событий А+В. пересечением событий А и В назыв событие, сост в том, что оба события произошди одновременно. А объед с В содерж исходы, кот вход в пересечение А и В. Такой же смысл имеет произв событий А*В. противополож к событии А назыв событие Ā, кот дополн событие А до пространства элемент соб Ω. Ā+А= Ω.

 

6. аксиомы  теории вероятностей. События А и В несовм, если их пересеч пустое мн-во. совместные, если появление одного не исключ появл другого. Событие А благоприятствующее событию В если появл соб А влечет за собой появ соб В. 1. Каждому случайному событию А соотв опред число Р(А), назыв его вероятностью и удовлетвор условию 0<=P(A)<=1; 2. вероятность достоверного события равна единице; 3. Пусть А и В - несовместные события. Тогда вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их вероятностей Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

 

7. классическая  формула вероятности. вероятность события – число, кот хар степень возможности появл события. Если мн-во элементарных событий Ω={w1,w2,…wN}, конечны и все элементарные события равновозможны, то такая вероятн схема носит название классической. В этом случае вер Р(А) наступления соб А, сост из М элементар соб, вход в Ω, опред как отнош числа М элементар соб, благоприятств наступ соб А, к общему числу N элементар соб. Р(А)=М/N

 

8. геометрическая  вероятность, статическая вероятность. Геометрич вер – отнош меры всей области благоприят появлению события к мере всей области Р(А)=, d- благоприят событию А, Д-вся область. В кач-ве стат вероятности рассматрив относит частоту появл события – отнош числа испыт, в кот событие появилось к общему числу фатически провед испытаний. W=m/n, n-число провед опытов, m- число опытов, в кот появ соб А. относ частота при увелич опытов будет стремиться к вероятости.

 

9. теория сложения  вероятностей для совместных событий. Два события назыв совместными, если появление одного из них не исключ появление другого в одном и том же опыте. вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вер этих соб без вероятности их совместного появления Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

 

10. противоположные  события. Два события назыв совместными, если появление одного из них не исключ появление другого в одном и том же испытании. Два события назыв противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1. Если событие А может произойти с вероятностью р и опыт повторяют n раз, то вероятность, что оно наступит хотя бы один раз, есть: 1-где q=1-p.

 

11. условная  вероятность. Пусть А и В – зав события. Условной вер (В)события В, найденная в предполож, что событие А уже наступило. Теорема1: вероятность произведения двух зав соб А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вер другого, найденного в предполож, что первое соб уже наступило: Р(АВ)=Р(А). теорема2:вер суммы двух совместных событий А и В равна сумме вер этих событий минус вероятность их произведения: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

 

12. незав событий. теорема умножения вероятностей. Если проводится нек кол-во опытов в рез кот событие А происходит или не происходит и вер появлен А не зав от рез остальных испыт, то такие опыты назыв незав. Если два соб А и В незав, и вер каждого из них известна, то вер одновременного наступления и соб А и соб В можно посчит, воспольз след теоремой: Р(АВ)=Р(А)*Р(В) – вер одновременного наступления двух незав соб равна произвед вер этих соб.

 

13. формула Байеса. пусть попарно несовместна *=Ø(1≠j) и их объед равно Ω. ()== .

 

14. схема повторных незав опытов. формулы Бернули и Пуассона. Для многократно повтор опытов справедлива формула Бернулли: =**, где m-число удачных исходов среди проводимых n опытов, p- вероятность наступления благоприятного исхода в единичном опыте, q=1-p. Если в рез n опытов событие А наступит m раз с вероятностью Р, то Ā не наступает с вероятностью q. Соб А может появ или непоявл в различ комбинациях =. если вер появления соб А дост мала, а n велико, но при этом n*p<=10, то вер того, что в рез n опытов соб появл ровно m разx можно выч: (m)=*, где Л=n*p.

 

15. локальная и интегральная теоремы Лапласса. Формула явл приближ – формула для выч в рез чего n неав опытов событие произойдет m раз. P(m)≈φ(x), где φ(x)=, x=.

Локальная формула: (m)≈. Интегральная формула: (K1,K2)≈Ф(х’’)-Ф(х’), где Ф(х)=dz.  x’=, х’’=.

 

16. случайные  величины,их классификация. Случайной назыв величина, кот в рез опыта приним то или иное знач, причем заранее неизв какое именно, но обяз одно. Дискретная CВ – кот в рез опыта приним опред знач, образ счетное мно-во оно может быть конечным и бесконечным. Не6прерыв CВ – приним любое знач из некоторого коненого или бесконечного промежутка.

 

17. функция  распред СВ и ее св-ва. Функция распред CВ Х назыв функцию F(x) опред вероятность того, что СВ Х в рез испытания примет знач меньшая х. Cвойства: 1.

Д(F(x))=R, т.е. (-;+); 2. E(F(x))€[0;1]; 3. F(x) функция неубыв; 4. Вер того, что CВ примет знач из промежутка α<x<β равна нулю.

 

18. дискретные  СВ, ряд распред, функция распред,числовые хар. Дискретная CВ – знач кот измен не плавно, а скачкаит, могут принимать только некоторые заранее опред значения. Функция распред – функция F(x) опред вероятность того, что CВ Х в рез испытания примет знач меньшая х. Функция F(x) для дискретной Случ

величины(F(x)=). разрывна и возрастает скочками через переход , также будем счит, что она непрерывна слева F(x)=. Соотнош между возможными знач случ вел и их вероятностью назыв законом распред дискретной случ вел: 1. Если закон задан таблично, он назыв ряд распред дискрет случ вел n(∞) ; 2. Графическое задание – многоугольник распред дискрет случ вел.

 

19. непрерывные  СВ, функция распред, плотность распред вероятности, числовые хар. Непрерыв- приним любое знач из некоторого конечного или бесконечного промежтка. Функция распред явл законом распред для непрерыв случ вел. График F(x) непрерыв функция. Законы распред: 1. Функция распред H(B) F(x)=P(X<x). 2. F(x) плотность распред вер. Плотность распред – производная от функции распред и обознач f(x)=F’(x). Числов хар: М(Х)=.

 

20. числовые  хар СВ: мат ожид,его св-ва,дсперсия, ее св-ва, начальные и центральн моменты. Мат ожид – сумма произв возможных знач CВ на соотв вероятности(р). M(X)=x1*p1+x2*p2+…+xn*pn+…= – конечное мн-во. Вер смысл мат ожид: мат ожид ≈среднему арифмтич возм знач СВ. мат ожид – величина постоянная. Св-ва: 1. М(С)=С; 2. М(СХ)=СМ(Х); 3. M(XY)=M(X)*M(Y) в случ, если Х и У- незав СВ(незав, если закон распред одной из них незав от того, какие возм знач приняла другая величина); 4. M(X+Y)=M(X)+M(Y). дисперсия - отклонение случ величины от мат ожид. D(X)=M()-(X). св-ва: 1. Д(С)=0; 2. Д(СХ)= 3. Д(Х+У)=Д(Х)+Д(У). нач моменты К-ого пор =M(). Центральн момент к-ого пор: (Х)=М(Х-М(х))^к.

 

21. биноминальное  распред(ряд распред, числовые хар). CВ , кот приним целое неотрицат знач n с вероятностью p = ** (p+a=1), то она имеет биномин распред или говорят распред по нарм закону. Числ хар мат ожид: M(X)=n*p; D(X)=n*p*q; b(X)=.

 

22. распред пуассона. CВ, кот приним целые не отриц знач p=, то CВ распред по закону Пуассона. Числовые хар: М(Х)=Л; Д(Х)=; в(Х)=Л.

 

23. равномерное  распред, числовые хар. НСВ Х имеет равномерное распред на отрезке ав еслий ее плотность распред есть величина постоянная на этом отрезке для любого х на отрезке, а вне этого отрезка равна 0 f(x)= функция распред F(X)==x=. M(X)=. D(X)=M()- M()=. D(X)=. (X)=.

 

24. показательное  распред. Непрерыв CВ имеет показ распред, если ее плотность распред имеет вид f(X)=. Л>0. Чил хар: M(X)=. D(X)=(Х)=. Показат распред широко исп в теории надежности. Функцией надежности R(t)=1-F(t) назыв функцию, опред вер безотказ раб устройства в теч времени. Распред имеет вид: R(t)=1-.

 

25. нормальное  распред. CB распред нормально,если ее плотность распред имеет вид: f(X)=. M(X)=a. Интграл Пуассона =. D(X)=

 

26. распред, связ с нормальн распред: распред х2, распред Стьюдента. - распред суммы квадратов  К незав стандартных нормальных случ величин. Пусть z1, …, zк –совместно стандартные нормальные случ величины, то есть: тогда случ величина х=+ …+ имеет распред хи-квадрат.

 

27. вычисление  вер заданного отклонения. Часто при реш задач будет нтересовать вопрос: «Какова вер,что CВ отключ от своего ожид на величину меньше b?» P() => P(-b<x-a<b)= P(a-b<x<). В частности, если ф=0, то P() =2Ф() соб <b и явл противоположными, тогда P()=1-2Ф().

 

28. правило  трех и двух сигм. CВ откл на величину P()= 2Ф()=2Ф(2)=0,95. P()=2Ф(3)=0.997. на пракике счит, что если для какой-нибудь случ величины выполн правило 2-х и 3-х сигм, то эта величина имеет норм распред.