Теорія систем лінійних рівнянь

Теорія систем лінійних рівнянь

 

 Припустимо задана система  лінійних рівнянь з дійсними  коефіцієнтами 

 

Під розв’язком системи  будемо розуміти упорядкований     набір з  дійсних чисел ,  які задовольняють рівняння системи. Розв’язок можна подати у вигляді - вимірного вектора і вивчати елементом дійсного простору - вимірних векторів .

Система рівнянь  називається сумісною, якщо вона має  принаймні один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має розв’язків.

Системі (1) відповідають дві матриці.

Основною матрицею системи (1) називаються матриці порядку  .

,

яка складається з коефіцієнтів при невідомих в рівняннях. Ранг основної матриці системи  називається рангом самої системи рівнянь (1).

Розміреною матрицею системи рівнянь (1) називається матриця порядку  .

 

.

 

Отже, розширена матриця одержується  з основної матриці системи приєднанням  стовпчика вільних членів.

 

Теорема Кронекера – Капелі (критерій сумісної системи лінійних рівнянь).

Теорема (Кронекера – Капелі). Система  лінійних рівнянь сумісна тоді і  тільки тоді, коли ранг її основної матриці  дорівнює рангу розширеної матриці.

Доведення. Будемо розглядати систему  лінійних рівнянь.

 

 

 

Цю систему можна переписати так.

 

.

Позначимо вектор-стовпчик:

 

   ,   ,    .

 

Тоді система переписується  у векторному вигляді.

.

Доведемо необхідність. Припустимо, що система сумісна і числа утворюють розв’язок системи. Тоді виконується рівність

 

.

Звідси випливає, що вектор лінійно виражається через систему векторів      . Вертикальний ранг основної матриці системи дорівнює рангу системи векторів , вертикальний ранг розширеної матриці співпадає з рангом системи векторів . Оскільки вектор лінійно виражається через , за теоремою 2 (про ранг), ранги системи векторів і співпадають. Отже, ранги основної і розширеної матриці системи лінійних рівнянь рівні.

Доведемо достатність. Припустимо, що ранги основної і розширеної матриці системи лінійних рівнянь рівні. Це означає, що співпадають ранги системи векторів і . Припустимо, що ці ранги дорівнюють s, і нехай, для визначеності, вектори  утворюють базис системи векторів . Розглянемо систему векторів . Ця система є підсистемою системи векторів , яка складається з векторів. Оскільки, за припущенням, ранг системи векторів дорівнює s, то система лінійно залежна. Отже, існує нетривіальна лінійна комбінація θ.

Якщо в цій системі комбінації , одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію системи , рівну θ. Це суперечить тому, що вектори утворюють базис системи векторів, тобто лінійно незалежні. Отже, . Тоді вектор лінійно виражається через :

.

Розглянемо цю рівність в координатній формі:

----------------------------------------------

 

Таким чином, одержуємо, що вектор

утворює розв’язок системи лінійних рівнянь, отже, система сумісна.

Теорему доведено.

 

Розв’язки системи лінійних рівнянь

Припустимо, дана сумісна система  лінійних рівнянь

 

 

----------------------------

 

В основній матриці системи

 

ми одержуємо дописуванням до матриці  одного стовпчика. Оскільки система сумісна, ранги матриці і рівні і дорівнюють . Мінор є також мінором розширеної матриці і, оскільки , мінор є більшим мінором розширеної матриці .

За теоремою про базисний мінор рядки матриці  , на яких базується базисний мінор , лінійно незалежні, а решта рядків лінійно виражається через них. Для визначеності припустимо, що мінор будується на рядках з номерами 1, 2,..., . Отже, перші рядків матриці утворюють базис в системі її рядків. Кожному рядку розширеної матриці системи відповідає рівнянням. Таким чином, в системі лінійних рівнянь перші рівнянь лінійно незалежні. Решта рівнянь лінійно виражається через них, тобто є їх наслідками. Рівняння – наслідки можна відкинути.

Стовпчики основної матриці системи , на яких будується базисний мінор , також лінійно незалежні і утворюють базиси в системі стовпчиків матриці. Для визначеності припустимо, що базисний мінор базується на стовпиках з номерами 1, 2,..., . Тоді ці стовпчики утворюють базиси в системі стовпчиків розширеної матриці . Кожному стовпчику основної матриці системи відповідає деяка змінна.

Змінні, що відповідають стовпчикам базисного мінора основної матриці системи , будемо називати базисними. Решту змінних будемо називати вільними.

У кожному випадку  базисними є змінні , вільними – змінні  .

В кожному з  лінійно незалежних рівнянь що залишаються, в лівій частині лише базисні змінні, а вільні переносимо в праву частину.

Система переписується  таким чином:

----------------------------------------------

Всі розв’язки системи можна  одержати таким чином. Замість вільних  змінних підставляється будь-який набір  чисел  . Одержується система лінійних рівнянь відносно базисних змінних . Ця система рівнянь квадратна, її головний визначник співпадає з мінором , тобто не дорівнює нулю. За теоремою Крамера, система має єдиний розв’язок . Розв’язуючи цю систему відносно базисних змінних, одержуємо розв’язок початкової системи.

Сумісна система лінійних рівнянь називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок.  Сумісна система лінійних рівнянь називається невизначеною, якщо число її   розв’язків більше одиниці.

  Теорема. Сумісна система  лінійних рівнянь невизначена  тоді і тільки тоді, коли її ранг менше числа змінних.

Доведення. Нехай дана сумісна система  лінійних рівнянь рангу    з змінними. За означенням, ранг системи є рангом її основної матриці. Отже, цей ранг не може перевищувати число стовпчиків основної матриці, тобто число змінних. Таким чином, ≤ . Припустимо, . Тоді всі змінні системи базисні, вільних змінних немає. В цьому випадку, за теоремою Крамера, система має єдиний розв’язок, що суперечить умові. Отже,  < .

Навпаки, якщо для сумісної системи  виконується  < , то не всі змінні системи базисні, а є принаймні одна вільна змінна. Вільним Змінним можна надавати будь-які значення і розв’язати відповідну систему відносно базисних змінних. Таким чином, система має нескінчену кількість розв’язків і є невизначеною.

Наслідок. Сумісна система лінійних рівнянь має єдиний розв’язок тоді і тільки тоді, коли її ранг  дорівнює числу змінних.

Таким чином, для системи лінійних рівнянь з дійсними коефіцієнтами  і дійсними змінними існує три  можливості:

1. система не має розв’язків (несумісна);
2. система має єдиний розв’язок (сумісна і визначена);
3. система має нескінчену кількість розв’язків (сумісна і невизначена).

 

Еквівалентні системи  лінійних рівнянь.

Дві системи лінійних рівнянь  з однаковим числом змінних називаються  еквівалентними, якщо множники їх розв’язків співпадають.

Зокрема, дві несумісні системи з однаковим числом змінних еквівалентні. Наприклад, несумісною є система, до якої входить рівняння вигляду:

,

причому .

Еквівалентними  перетвореннями системи лінійних рівнянь  називаються перетворення, які зводять систему до еквівалентних систем.

До еквівалентних  перетворень належать:

1. перестановка рівнянь в системі;
2. перестановка змінних в рівняннях;
3. викреслення з системи нульового рівняння, тобто рівняння, в якому всі коефіцієнти і вільний член дорівнюють нулю;
4. домноження деякого рівняння в системі на нульове число;
5. додавання до деякого рівняння іншого рівняння системи, домноженого на число.