Транспортная задача . виды задач

Автономное учреждение Чувашской Республики

среднего профессионального образования

«Канашский педагогический колледж»

Министерства образования и молодежной политики Чувашской Республики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

  по дисциплине «Математические  методы»

 

Транспортная задача. Виды задач

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:  студент  402 гр.

Марков Д.В.

Руководитель: преподаватель высшей квалификационной категории

Фомина Т.А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г. Канаш -  2014

Содержание

 

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . .. . .  . . . . . . . . . .  . . . . . . . .3

1 Транспортная задача. Общая постановка, цели, задачи. Основные типы, виды  моделей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  5

2 Методы составления начального  опорного плана . . . . . . . . . . . . .11

3 Методы решения транспортной  задачи

3.1Диагональный метод, или метод северо-западного угла . . . . . . 12

3.2 Метод наименьшей стоимости . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Метод потенциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

4.  Транспортная задача с избытком заявок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5. Пример решения транспортной  задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

Список использованных источников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

Введение

 

Очень часто мы решаем проблемы: как получить наибольший эффект, обладая ограниченными средствами. Наши средства и ресурсы всегда ограничены. Чтобы достичь наибольшего эффекта, имея ограниченные средства, надо составить план, или программу действий @@@.

Все эти ситуации сводится к проблемах используем транспортные задачи .

Под названием транспортная задача объединяет широкий круг задач с единой математической моделью. Данные задачи относятся к задачам линейного программирования и могут быть решены симплексным методом. Однако матрица системы ограничений транспортной задачи настолько своеобразна, что для ее решения разработаны специальные методы. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют найти начальное опорное решение, а затем, улучшая его, получить оптимальное решение.

Целью курсовой работы является изучение  транспортной задачи. В ходе выполнения работы будет показано  для каких целей они используются,рассмотрены различные виды траспортных задач.

 

Огромное количество возможных вариантов перевозок затрудняет получение достаточно экономного плана эмпирическим или экспертным путем. Применение математических методов и вычислительных в планировании перевозок дает большой экономический эффект. @@найти место для этого обза@

 

1. сменить заголовок
2. название , виды задач
3. всё по разрешению

1 Транспортная задача. Общая  постановка, цели, задачи

Под названием “транспортная задача” объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Данные задачи относятся к задачам линейного программирования и могут быть решены симплексным методом. Однако матрица системы ограничений транспортной задачи настолько своеобразна, что для ее решения разработаны специальные методы. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют найти начальное опорное решение, а затем, улучшая его, получить оптимальное решение.

В общей постановке транспортная задача состоит в отыскании оптимального плана перевозок некоторого однородного груза с m баз A1,A2,…,Am n потребителям B1,B2,…,Bn.

Различают два типа транспортных задач: но критерию стоимости (план перевозок оптимален, если достигнут минимум затрат на его реализацию) и по критерию времени (план оптимален, если на его реализацию затрачивается минимум времени).

Обозначим количество груза, имеющегося на каждой из m баз (запасы), соответственно a1,a2,…am, а общее количество имеющегося в наличии груза – a:

;                                         (1.1)

заказы каждого из потребителей (потребности) обозначим соответственно b1,b2,…,bn, а общее количество потребностей – b:

,                                                 (1.2)

Тогда при условии

                                                            (1.3)

мы имеем закрытую модель, а при условии

                                                            (1.4)

– открытую модель транспортной задачи.

Очевидно, в случае закрытой модели весь имеющийся в наличии груз развозится полностью, и все потребности заказчиков полностью удовлетворены; в случае же открытой модели либо все заказчики удовлетворены и при этом на некоторых базах остаются излишки груза (a > b), либо весь груз оказывается израсходованным, хотя потребности полностью не удовлетворены (a < b).

Так же существуют одноэтапные модели задач, где перевозка осуществляется напрямую от, например, базы или завода изготовителя к потребителю, и двухэтапные, где между ними имеется “перевалочный пункт”, например – склад.

План перевозок с указанием запасов и потребностей удобно записывать в виде следующей таблицы, называемой таблицей перевозок:

 

Пункты Отправления	Пункты назначения				Запасы
			…
			…
			…
…	…	…	…	…	…
			…
Потребности			…		или

 

Условие a=b или a≠b означает, с какой задачей мы имеем дело, с закрытой моделью или открытой моделью транспортной задачи. Переменное xij означает количество груза, перевозимого с базы Ai потребителю Bj: совокупность этих величин образует матрицу (матрицу перевозок).

Очевидно, переменные xij должны удовлетворять условиям: 

            

Система (2.1) содержит m+n уравнений с mn неизвестными. Её особенность состоит в том, что коэффициенты при неизвестных всюду равны единице. Кроме того, все уравнения системы (2.1) могут быть разделены на две группы: первая группа из т первых уравнений (“горизонтальные” уравнения) и вторая группа из п остальных уравнений (“вертикальные” уравнения). В каждом из горизонтальных уравнений содержатся неизвестные с одним и тем же первым индексом (они образуют одну строку матрицы перевозок), в каждом из вертикальных уравнений содержатся неизвестные с одним и тем же вторым индексом (они образуют один столбец матрицы перевозок). Таким образом, каждая неизвестная встречается в системе (2.1) дважды: в одном и только одном горизонтальном и в одном и только одном вертикальном уравнениях.

Такая структура системы (2.1) позволяет легко установить ее ранг. Действительно, покажем, что совокупность неизвестных, образующих первую строку и первый столбец матрицы перевозок, можно принять в качестве базиса. При таком выборе базиса, по крайней мере, один из двух их индексов равен единице, а, следовательно, свободные неизвестные определяются условием        i ≥ 2, j≥ 2.Перепишем систему (2.1) в виде

где символы и означают суммирование по соответствующему индексу. Так, например,

При этом легко заметить, что под символами такого суммирования объединяются только свободные неизвестные (здесь i ≥ 2,j ≥ 2).

В рассматриваемой нами системе только два уравнения, а именно первое горизонтальное и первое вертикальное, содержат более одного неизвестного из числа выбранных нами для построения базиса. Исключив из первого горизонтального уравнения базисные неизвестные x12,x13,…,x1n с помощью вертикальных уравнений, мы получаем уравнение

или короче

                                                     (2.2)

где символ означает сумму всех свободных неизвестных. Аналогично, исключив из первого вертикального уравнения базисные неизвестные x21,x31,…xm1 с помощью горизонтальных уравнений, мы получаем уравнение

                                          (2.2’)

Так как для закрытой модели транспортной задачи a=b, то полученные нами уравнения (2.2) и (2.2’) одинаковы и, исключив из одного из них неизвестное x11, мы получим уравнение-тождество 0=0, которое из системы вычеркивается.

Итак, преобразование системы (2.1) свелось к замене двух уравнений (первого горизонтального и первого вертикального) уравнением (2.2). Остальные уравнения остаются неизменными. Система приняла вид

 

 

В системе (2.3) выделен указанный выше базис: базисные неизвестные из первых т уравнений образуют первый столбец матрицы перевозок, а базисные неизвестные остальных уравнений образуют первую строку матрицы перевозок без первого неизвестного x11 [она входит в первое уравнение системы (2.3)]. В системе (2.3) имеется m+n-1 уравнений, выделенный базис содержит m+n-1 неизвестных, а, следовательно, и ранг системы (2.1) r=m+n-1.

Для решения транспортной задачи необходимо кроме запасов и потребностей знать также и тарифы cij, т. е. стоимость перевозки единицы груза с базы Ai потребителю Bj.

Совокупность тарифов cij также образует матрицу, которую можно объединить с матрицей перевозок и данными о запасах и потребностях в одну таблицу:

 

 

Пункты Отправления	Пункты назначения									Запасы
						…
						…
						…
…	…			…		…	…			…
						…
Потребности						…				или

 

Сумма всех затрат, т. е. стоимость реализации данного плана перевозок, является линейной функцией переменных xij:

                                     (2.4)

Требуется в области допустимых решений системы уравнений (2.1) и (2.1.1) найти решение, минимизирующее линейную функцию (2.4).

Таким образом, мы видим, что транспортная задача является задачей линейного программирования. Для ее решения применяют также симплекс-метод, но в силу специфики задачи здесь можно обойтись без симплекс-таблиц. Решение можно получить путем некоторых преобразований таблицы перевозок. Эти преобразования соответствуют переходу от одного плана перевозок к другому. Но, как и в общем случае, оптимальное решение ищется среди базисных решений. Следовательно, мы будем иметь дело только с базисными (или опорными) планами. Так как в данном случае ранг системы ограничений-уравнений равен m+n-1 то среди всех mn неизвестных xij выделяется m+n-1 базисных неизвестных, а остальные (m-1)*(n-1) неизвестных являются свободными. В базисном решении свободные неизвестные равны нулю. Обычно эти нули в таблицу не вписывают, оставляя соответствующие клетки пустыми. Таким образом, в таблице перевозок, представляющей опорный план, мы имеем m+n-1 заполненных и (m-1)*(n-1) пустых клеток.