Удивительная симметрия

Министерство  общего и профессионального образования

Свердловской  области

МБОУ СОШ  № 68 с углубленным изучением

Отдельных предметов

 

 

 

 

 

удивительная симметрия

 

 

 

 

 

Исполнитель: Кургашов Павел Алексеевич

Ученик 6 «А»  класса

МБОУ СОШ  № 68

Руководитель: Филиппова Наталья Викторовна

Учитель математики первой категории

МБОУ СОШ  школы № 68

 

 

 

 

 

 

Г. Екатеринбург

2012

Оглавление

 

Введение……………………………………………………………..3-4

1. Что такое симметрия?.....................................................................5-10

1.1 Виды симметрии…………………………………………….7

1.2 Симметрия в природе……………………………………….8-10

2.Применение законов симметрии человеком……………………11-12

Заключение………………………………………………………….13

Литература…………………………………………………………..14

Приложение…………………………………………………………15-17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Симметрия является одной из наиболее фундаментальных и одной из наиболее общих закономерностей мироздания: неживой, живой природы и общества. С симметрией мы встречаемся всюду. Издавна человек использовал симметрию только в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков она придавал гармоничность, законченность.

В современном мире симметрия используется практически везде: в архитектуре, в транспорте, в создании различных орнаментов, в изображениях и т.д. 

Особенно далеко в  изучении симметрии продвинулись минералоги. Изучая форму и строение кристаллов сперва невооруженным глазом, а затем – с помощью линзового и электронного микроскопов, А. В. Шубников, О. Браве, Е. Федоров, Н. Белов все глубже проникали в тайны неживой природы. Все богатство мира минералов - это комбинация 32 видов конечной и 230 групп бесконечной симметрии. Если симметрия кристаллов не согласуется с симметрией среды, возникают асимметричные фигуры. Не менее ярко законы симметрии проявляются и в живой природе - от простейших, имеющих шаровую форму, до позвоночных, где законы симметрии «замаскированы» зеркальной асимметрией, киральностью (правое – левое) и винтовыми осями вращения.

Симметрия является фундаментальным  свойством природы, представление  о котором, как отмечал академик В. И. Вернадский (1863—1945), «слагалось в течение десятков, сотен, тысяч поколений»[2].

Цель проекта: изучение явления симметрии.

Задачи: сбор информации по теме, изучить виды симметрии.

Объект изучения: симметрия в мире

Актуальность: среди бесконечного разнообразия форм живой и неживой природы в изобилии встречаются такие совершенные образцы, чей вид неизменно привлекает наше внимание и ласкает наш взгляд. Мы постоянно любуемся прелестью каждого отдельного цветка, мотылька или раковины и всегда пытаемся проникнуть в тайну их красоты. Внимательное наблюдение обнаруживает, что основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия, точнее, все ее виды – от простейших до самых сложных.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Что такое симметрия?

 

В толковом словаре С.И. Ожегова симметрия истолковывается, как «соразмерность, одинаковость в расположении частей чего-нибудь по противоположным сторонам от точки, прямой или плоскости». В древности слово «симметрия» употреблялось как «гармония», «красота». Из этого же словаря узнал, что слово гармония означает «согласованность, стройность в сочетании чего-нибудь». Значит, оно употребляется в различных смыслах, во-первых, как слово обиходной речи, во-вторых, как точное понятие ряда наук, прежде всего о геометрии .

Как обиходное слово симметрия означает известную правильность формы тел, одинаковость его размеров. Подавляющее большинство тел, искусственно создаваемых человеком (машины, дома, одежда, мебель), обладает симметрией. Симметричны планеты, орбиты планет, живые организмы, звёздочки снежинок, (приложение рисунок 1).

«Симметрия, как бы широко или узко мы ни понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек в течение веков пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство» - Герман Вейль[2].

К симметрии в своём творчестве обращаются художники, скульпторы, архитекторы. Например, фантазия голландского художника Морица Эшера (1898 - 1972) создала множество самых причудливых мозаик. И все они иллюстрируют законы симметрии (приложение рисунок 2).

В таком широком понимании симметрия не имеет математического содержания. Математики вкладывают в это понятие точный математический смысл, рассматривают некоторые специальные виды симметрии (приложение рисунок 3).

Точки А и А1  называются симметричными относительно точки О (центр симметрии), если О – середина отрезка АА1 Точка О считается симметричной самой себе (приложение рисунок 3 а).

Точки А и А1  называются симметричными относительно прямой а (ось симметрии), если прямая а проходит через середину отрезка АА1  и перпендикулярна к этому отрезку (рисунок 3. б). Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.

Точки А и А1 называются симметричными относительно плоскости   (плоскость симметрии), если плоскость   проходит через середину отрезка АА1    и перпендикулярна к этому отрезку (рисунок 3 в). Каждая точка плоскости считается симметричной самой себе.

Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка  фигуры симметрична относительно неё  некоторой точке той же фигуры. Если фигура имеет центр (ось, плоскость симметрии), то говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.  Виды симметрии

 

Центральная симметрия.

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией. (приложение рисунок 3 в).

Осевая симметрия.

Фигура называется симметричной относительно прямой р, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой р, также принадлежит этой фигуре. Прямая р называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

Зеркальная симметрия.

Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей относительно этой плоскости точку М1.(пример зеркальной симметрии рисунок 3 г)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2.Симметрия в природе.

 

Дальше поговорим о симметрии в неживой природе. Камни лежащие у подножия горы весьма беспорядочны: однако каждый камень является огромной колонией кристаллов. Именно они вносят в мир неживой природы очарование симметрии. Почти все кристаллы, встречающие в природе, имеют центр, ось или плоскость симметрии. Почему же так красивы и привлекательны кристаллы? Их физические и химические свойства определяются их геометрическим строением. В кристаллографии (науке о кристаллах) существует даже раздел, который называется «Геометрическая кристаллография». В 1867 году генерал от артиллерии, профессор Михайловской академии в Петербурге А.В. Гадолин строго математически вывел все сочетания элементов симметрии, характеризующие кристаллические многогранники. Например, гранат попадает в первую, так называемую кубическую систему, все кристаллы которой имеют те же элементы симметрии, что и куб (форму куба имеют, например, кристаллы поваренной соли). Всего существует 32 вида симметрий идеальных форм кристалла.

А какая прелесть снежинки! Каждая из них – это маленький кристалл замерзшей воды.

На выявление симметрии в живой природе обратили внимание в Древней Греции пифагорейцы в связи с развитием ими учения о гармонии.

В 1961 году результат многовековых исследований, посвященных поиску красоты и гармонии окружающей нас природы, появилась наука биосимметрика. Примеры симметрии в ботанике: осевой симметрией обладает лист винограда. Доказательство: проведем из вершины листа вертикально вниз прямую, проходящую через стебель. На резных концах отметим точки А и А1, В и В1 С и С1. Если провести перпендикуляр через заданную прямую и точку А, то получим отрезки ОА и ОА1.Они будут равны. Значит точка А1 – есть образ точки А. Рассмотрим теперь точки В и В1. Точка В также отображается на В1, так как отмеченное на перпендикуляре, расстояние ВО1 = О1В. То же самое можно сказать о перпендикуляре, проведенном через точку С, перпендикулярно нашей прямой. Расстояние от С до прямой СО2 = О2С1.Значит , если взять любую точку на плоскости листа слева , то такую же точку на таком же расстоянии от выбранной оси можно найти справа на листе винограда.

Осевой симметрией обладает так же колос пшеницы. Среди цветов наблюдается поворотная симметрия. Поворотной симметрией обладает цветок подсолнуха.  Многие цветы можно повернуть так, что каждый лепесток займет положение соседнего, цветок совместится с самим с собой. Минимальный угол такого поворота для различных цветов не одинаков. Для ириса он равен 120° ,для колокольчика 72°, для нарцисса 60° (цветы незабудки, гвоздики, колокольчика, вишни, яблони и т.д.

В расположении листьев на стеблях растений наблюдается винтовая симметрия. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются в разные стороны и не заслоняют друг друга от света.

Рассматривая общий план строения какого-либо животного, мы замечаем обычно известную правильность в расположении частей тела или органов, которые повторяются вокруг некоторой оси или занимают одно и то же положение по отношению к некоторой плоскости. Эту правильность называют симметрией тела. У большинства, например у майского жука, речного рака, лягушки, волка, лисы, имеются одинаковые парные органы на правой левой сторонах, тела. Через тело таких животных можно мысленно провести только одну плоскость, делящую животное на две зеркально одинаковые половины. Животные с симметрично расположенными парными органами называются двустороннесимметричными, а симметрия их тела – двусторонней. Двустороннюю симметрию тела имеют все активно передвигающиеся животные.

Животные, ведущие малоподвижный образ жизни, имеют иную симметрию тела и внешне похожи на цветки растений, шары, зонтики, например губки и кишечнополостные. Через их тело можно провести несколько воображаемых плоскостей, каждая из которых делит животное на две зеркально подобные половины. Линии пересечения этих плоскостей расходятся от центра пересечения лучами. Такую симметрию называют лучевой. Такое строение позволяет малоподвижным или прикрепленным животным ловить добычу или чувствовать приближения опасности с любой стороны.

Явления симметрии столь широко распространены в животном мире, что весьма трудно указать группу, в которой никакой симметрии тела подметить нельзя. Симметрией обладают и маленькие насекомые, и крупные животные. Это своеобразный защитный механизм живой природы против кристаллизации, против окаменения, за сохранение живой индивидуальности. Морская звезда — пример живого организма с поворотной симметрией. Этот тип симметрии наиболее распространен в живой природе (приложение рисунок 4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Применение законов симметрии человеком

 

Симметрия – мощное средство математических исследований, она помогает решать трудные задачи. А для того, чтобы освоить «метод симметрии» надо помнить основные свойства симметрии:

1. Для любой точки плоскости всегда можно построить симметричную ей точку относительно прямой
2. Отрезок, соединяющий симметричные точки, перпендикулярен оси симметрии и делится ею пополам
3. Если отрезок симметричен отрезку относительно прямой, то их длины равны.

 

 Симметрию можно обнаружить почти везде, если знать, как ее искать. Многие народы с древнейших времен владели представлением о симметрии в широком смысле — как об уравновешенности и гармонии. Творчество людей во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии.

Нельзя не увидеть симметрию и в ограненных драгоценных камнях.

Одним из самых наглядных использований законов симметрии в жизни служат строения архитектуры. Это то, что чаще всего мы можем увидеть. В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла. Плоскость симметрии в произведениях архитектуры, как правило, вертикальна. На ортогональных чертежах — фасаде, плане, разрезе — плоскость симметрии изображается линией — ее называют осью симметрии (приложение рисунок 5 ).

Применение симметрии в одежде: вышивкой с симметричными узорами. Такая вышивка называется орнаментом. Орнамент – своеобразная знаковая система, сопровождающая каждого человека на его жизненном пути. Искусство орнамента содержит в неясном виде наиболее важную часть высшей математики. Каждый орнамент несет в себе вид симметрии. Он состоит в том, что части целой формы организованны таким образом, что каждая следующая повторяет предыдущую и отстоит от неё на определённый интервал в определённом направлении. Этот интервал называется шагом симметрии (приложение рисунок 6).