Уравнения математической физики и их решение

.

Курсовая работа

«Уравнения математической физики»

ВАРИАНТ № 2

Автор КР _________________________ студент гр.                                                           

                            (подпись, дата)

Руководитель КР _______________________ 

                                      (подпись, дата)               (должность)

КР  защищена__________________  оценка _________________________

 (дата)

Члены комиссии ____________________________________________________________

                                                    (подпись, дата)                                (инициалы, фамилия)

 

___________________________________________________________________________

                                                    (подпись, дата)                                 (инициалы, фамилия)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

Задание 1…………………………………………………………………………..4

Задание 2………………………………………………………………………..…5

Задание 3…………………………………………………………………………6

Задание 4…………………………………………………………………………7

Задание 5…………………………………………………………………………8

Задание 6…………………………………………………………………………9

Задание 7………………………………………………………………………...10

Задание 8………………………………………………………………………....11

Задание 9………………………………………………………………………....12

Задание 10………………………………………………………………………..14

Задание 11………………………………………………………………………..15

Задание 12………………………………………………………………………..17

Задание 13………………………………………………………………………..18

Задание 14………………………………………………………………………..19

Задание 15………………………………………………………………………..20

Задание 16………………………………………………………………………..21

Задание 17………………………………………………………………………..22

Задание 18………………………………………………………………………..23

Задание 19………………………………………………………………………..25

Задание 20………………………………………………………………………...

Задание 21………………………………………………………………………...

Задание 22………………………………………………………………………...

Задание 23………………………………………………………………………...

Задание 24………………………………………………………………………...

Задание 25………………………………………………………………………...

Задание 26………………………………………………………………………...

Задание 27………………………………………………………………………...

Задание 28………………………………………………………………………...

Задание 29………………………………………………………………………...

Задание 30………………………………………………………………………...

Задание 31………………………………………………………………………...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1

Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду:

 

Решение:

 

Определим тип уравнения: то уравнение параболического типа.

Корнем характеристического многочлена является число , тогда:

,

 тогда

 

 

 

 

 

 тогда

 

 

 

, где - некоторая дифференцируемая функция;

, где - некоторая дифференцируемая функция;

.

Ответ: .

 

Задание 2

Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду:

 

Решение:

 

Определим тип уравнения: то уравнение гиперболического типа.

Корнями характеристического многочлена являются числа ,, тогда:

, ,

 тогда

 

 

 

 

 

 тогда

 

 

 

, где - некоторая дифференцируемая функция;

, где - некоторая дифференцируемая функция;

.

Ответ: .

Задание 3

Найти в указанной области отличные от тождественного нуля решения дифференциального уравнения, удовлетворяющим заданным краевым условиям (задача Штурма-Лиувилля):

 

Решение:

.

Если , то рассматриваем случай, когда . Пусть , то

 ; – характеристическое уравнение, тогда решение дифференциального уравнения будет выглядеть следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: .

 

 

Задание 4

Решить смешанную задачу:

 

Решение:

, , тогда , то

 

 

, то 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

Задание 5

Решить смешанную задачу:

 

Решение:

, , тогда , то

 

 

, то 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

Задание 6

Решить смешанную задачу:

 

Решение:

, , тогда , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

Задание 7

Решить смешанную задачу:

 

Решение:

, , тогда , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

Задание 8

Решить смешанную задачу:

 

Решение:

 

 

, , тогда , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

Ответ:

Задание 9

Решить смешанную задачу для неоднородного волнового уравнения с нулевыми начальными и граничными условиями:

 

Решение:

 

, , тогда , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 10

Решить смешанную задачу для волнового уравнения на отрезке:

 

Решение:

, , тогда , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

Задание 11

Решить смешанную задачу для волнового уравнения в прямоугольнике:

 

Решение:

, , тогда

, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 12

Решить смешанную задачу:

 

Решение:

, , тогда , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

Задание 13

Решить смешанную задачу:

 

Решение:

, , тогда , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

Задание 14

Решить смешанную задачу:

 

Решение:

, , тогда , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

Задание 15

Решить смешанную задачу:

 

Решение:

 

 

, , тогда , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

Задание 16

Решить смешанную задачу для неоднородного уравнения теплопроводности с нулевыми начальными и граничными условиями:

 

Решение:

 

, , тогда , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

Задание 17

Решить смешанную задачу:

 

Решение:

 

, , тогда , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

Задание 18

Решить смешанную задачу:

 

Решение:

 

 

 

, , тогда , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 19

Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке:

 

Решение:

, , тогда , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 20

Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге

 ( – полярные координаты), на границе которого искомая функция имеет следующие значения:

 

 

Решение:

 

 

тогда

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 21

Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге

 

Решение:

 

 

тогда

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 22

Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круговом секторе ( – полярные координаты, ), на границе которого искомая функция имеет следующие значения:

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

Задание 23

Решить задачу Пуассона в кольце.

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 24

Найти функцию, удовлетворяющую внутри круга уравнению Гельмгольца и принимающую на границе круга заданные значения.

 

Решение:

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 25

Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения в круге.

 

Решение:

Так как функции, задающие начальные и граничные условия, не зависят от полярного угла φ, целесообразно искать решение, не зависящее от этого угла.