Автор работы: Пользователь скрыл имя, 21 Октября 2014 в 18:00, доклад
Пусть в координатном пространстве заданы три точки не лежащие на одной прямой (рис.4.17). Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через заданные точки.
Пусть в координатном пространстве заданы три точки не лежащие на одной прямой (рис.4.17). Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через заданные точки.
Как показано в [url]разд. 1.6.1[/url], точка принадлежит плоскости, проходящей через точки тогда и только тогда, когда ее радиус-вектор удовлетворяет условию:
где
- некоторые действительные
числа (параметры). Это уравнение, а также
его координатную форму
будем называть аффинным уравнением
плоскости, проходящей через точки
Используя векторы
и
в качестве направляющих
векторов плоскости, составим уравнение
вида (4.18):
которое называется уравнением
плоскости. проходящей через три заданные
точки
Уравнение плоскости "в отрезках"
Пусть на координатных осях заданы точки и , причем (рис.4.18). Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через эти три точки.
Подставляя в уравнение (4.21) координаты заданных точек , получаем:
Разделив уравнение на , получаем уравнение
(4.22) |
которое называется уравнением
плоскости "в отрезках". Говорят, что
плоскость, проходящая через точки
и
,отсекает
на координатных осях "отрезки":
на оси абсцисс,
на оси ординат
и
на оси аппликат.
Разумеется, длины отрезков
и
равны
и
соответственно.
Замечания 4.5.
1. Перейти от общего уравнения плоскости (4.15) к уравнению "в отрезках" (4.22) можно при условии, что все коэффициенты общего уравнения отличны от нуля. Для этого нужно перенести свободный член в правую часть уравнения: , а затем разделить обе части уравнения на
Обозначив получим уравнение в отрезках (4.22):
2. Уравнения (4.21), (4.22), полученные в прямоугольной системе координат, имеют тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнениях остается прежним, однако величины и в общем случае не равны длинам отсекаемых отрезков и .
Пример 4.9. В координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) заданы точки
Требуется:
а) составить общее уравнение плоскости треугольника ;
б) составить уравнение в "отрезках" для плоскости треугольника ;
в) определить точки пересечения этой плоскости с координатными осями.
Решение. а) Составим уравнение (4.21):
Раскрывая определитель и приводя подобные члены, получаем
б) Переносим свободный член общего уравнения плоскости (см. пункт "а") в правую часть и делим уравнение на 12:
Получили уравнение
плоскости в "отрезках".
в) По уравнению плоскости в "отрезках" заключаем, что плоскость (см. пункт "б") проходит через точки на координатных осях.
Требуется найти расстояние от точки до плоскости , определяемой уравнением
Для этого приведем уравнение к нормальному виду:
Здесь - радиус-вектор текущей точки плоскости , - длина перпендикуляра к , выпущенного из нулевой точки, и - единичный вектор, направленный как . Из рис. 22 видно, что разность радиус-вектора произвольной точки плоскости и радиус-вектора точки есть такой вектор, что абсолютная величине его проекции на равна искомому расстоянию от до :
но
Следовательно,
Мы видим, что, для того чтобы вычислить расстояние от точки до плоскости , надо записать уравнение плоскости в нормальном виде, перенести в левую часть и подставить в последнюю вместо .
Абсолютная величина полученного выражения и есть искомое число .
На языке параметров плоскости, очевидно,
Легко видеть, что если точка и начало координат находятся по разные стороны от плоскости (как на рис. 22), то вектор образует с тупой угол, и поэтому
Если же точка и начало координат находятся по одну сторону от , то указанный угол острый, и тогда
Следовательно, в первом случае , а во втором .
Пример 2. Расстояние от точки (1, 1, 1) до плоскости
равно
В данном случае точка (1, 1, 1) и начало координат находятся по разные стороны от плоскости , так как и
Реферат