Уравнения с частными производными первого порядка

Уравнения с частными производными первого порядка

 

До настоящего времени рассматривались дифференциальные уравнения относительно неизвестной функции (или вектор-функции), которая зависит от одной переменной. Предположим теперь, что неизвестная функция зависит от двух и ли более переменных: . Соотношение между переменными , неизвестной функцией и ее частными производными  называется уравнением с частными производными первого порядка. Таким образом, уравнение с частными производными первого порядка имеет вид

                                .                                          (1)

Ниже будет показано, что интегрирование уравнений вида (1) сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

 

Задачи, приводящие к уравнениям с частыми производными первого порядка 

К  уравнению вида (1) мы пришли ранее, рассматривая задачу о существовании первых интегралов автономной системы  обыкновенных дифференциальных уравнений. Вспомним, что функция является первым интегралом автономной системы

                                                                               (2) тогда и только тогда, когда выполнено условие

                            ,                       (3) 
означающее, что вектор в точке фазового пространства системы (2) ортогонален вектору поля этой системы в данной точке.

Для большей наглядности рассмотрим теперь одну задачу в . Пусть в задано поле направлений, определенное функциями . Требуется найти поверхность , заданную уравнением , в каждой точке которой вектор лежит в касательной плоскости к этой поверхности в указанной точке. Иными словами, вектор нормали к поверхности должен быть ортогонален вектору поля направлений . Последнее условие можно записать в виде

   .                                                             (4)

Мы пришли к уравнению с частными производными первого порядка, решением которого будет функция . Задаваемую уравнением поверхность будем называть интегральной поверхностью уравнения (4).

Отметим, что интегральные кривые в пространстве , соответствующие полю направлений , определяются системой обыкновенных дифференциальных уравнений

                         .                                               (5) 
Эти кривые называются характеристическими кривыми или характеристиками уравнения (4). Если ввести параметр , меняющийся вдоль характеристической кривой, то уравнения (5) примут вид

             .                                  (6)

Из приведенных рассуждений становится очевидной связь между характеристиками уравнения (4) и интегральной поверхностью, определяемой этим уравнением: если – некоторая интегральная поверхность уравнения (4), то она может быть целиком покрыта характеристиками этого уравнения. Так как решение системы (6) дифференциальных уравнений при достаточно общих предположениях относительно свойств функций однозначно определяется начальными значениями  при , то мы получаем следующий результат: любая характеристик, имеющая общую точку с интегральной поверхностью, целиком лежит на этой поверхности.

Вспомним, что система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет бесконечно много решений зависящих от параметров, количество которых совпадает с порядком этой системы. Обратимся к простому примеру, позволяющему понять структуру всех решений уравнения с частными производными (4). Рассмотрим уравнение

                                .                                                                   (7) 
Соответствующая ему система (6) имеет вид

                     .                                                           (8) 
Решения системы (8) легко находятся и имеют вид . Для этих решений справедливо соотношение . Иными словами, характеристики уравнения (7) представляют собой окружности, расположенные в плоскости перпендикулярной оси . Радиусы этих окружностей определяются начальными условиями . Поскольку характеристики располагаются на интегральной поверхности, то интуитивно ясно, что интегральная поверхность должна быть поверхностью вращения вокруг оси . Уравнение любой поверхности вращения вокруг оси имеет вид

                                             .                                                       (9) 
Предполагая функцию достаточно гладкой, убедимся в том, что любая функция вида (9) является решением уравнения (7). Действительно,

.

Итак, мы увидели, что уравнение (7) с частными производными первого порядка имеет бесконечно много решений, и все они определяются с точностью до функции .

Классификация уравнений с частными производными 1-го порядка

Уравнение называется  линейным, если неизвестная функция и все ее частные производные входят в уравнение линейно. Общий вид линейного уравнения с частными производными первого порядка следующий:

                    .                           (10)             
Уравнения (3) и (7) линейные. Уравнение называется квазилинейным, если частные производные функции входят в уравнение линейно. Общий вид квазилинейного уравнения следующий:

                               .                               (11) 
Уравнение (4) квазилинейное. Оно будет линейным, если функции и не зависят от , а функция является линейной по переменной .

Уравнение, не являющееся квазилинейным, называется нелинейным.

 

Задача Коши для уравнения с частными производными

Мы сформулируем задачу Коши для квазилинейного уравнения (11), ограничившись для простоты и наглядности случаем трех переменных, то есть уравнением (4). Для линейного уравнения (10), которое может рассматривать как частный случай квазилинейного уравнения (11), задача Коши формулируется точно также.

Пусть пространственная кривая задана параметрическими уравнениями . Обозначим через проекцию этой кривой  на плоскость . Задача Коши для уравнения (4) ставится так: в окрестности кривой найти интегральную поверхность уравнения (4), проходящую через заданную кривую , т.е. найти такое решение уравнения (4), которое принимает заданные значения в точках кривой .

Задача Коши имеет единственное решение, если кривая не является характеристикой уравнения (4), то есть не является интегральной системы (6). Если же – характеристика, то задача Коши имеет бесконечно много решений.

 

 

 

 

 

 

Общее решение линейного и квазилинейного уравнения

 

Как уже было сказано выше, линейное уравнение с частными производными может рассматриваться как частный случай квазилинейного уравнения. Поэтому мы сначала рассмотрим метод решения квазилинейного уравнения,  из которого очевидным образом выводится метод решения линейного уравнения.

Покажем, что интегрирование квазилинейного уравнения (11) сводится к отысканию первых интегралов системы уравнений характеристик

                                                                                  (12) 
Будем искать функцию такую, что для решения уравнения (11) есть первый интеграл системы (12), то есть, например, вдоль траекторий системы (12). Из последнего тождества находим

                 . 
Подставляя эти соотношения в уравнение (11), получим

                                        
                 .                                            (13) 
Уравнение (13) имеет тот же вид, что и уравнение (3) (уравнение (1.4.5)). Согласно теореме 1.4.2 всякое решение уравнения (11) есть функция от независимых первых интегралов   системы (12), то есть имеет вид . Поэтому решение уравнения (11) в неявном виде записывается так:

                  .                               (14)

Замечание 1. Если функция входит только в один из первых интегралов , например в , то решение уравнения (11) может быть записано в виде , где – произвольная дифференцируемая функция. Разрешив последнее уравнение относительно , получим общее решение в явном виде.                                                                                   

Замечание 2. В случае линейного однородного уравнения (3) из теоремы 1.4.2 сразу следует, что общее решение этого уравнения имеет вид

  ,                       (15) 
где – независимые первые интегралы системы характеристик

                                                                                   (16) 
а – произвольная дифференцируемая функция переменных.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Решение. Это линейное уравнение. Составим систему характеристик (16)

 
Для нахождения первого интеграла исключим из этой системы . Приходим к соотношению

. 
Получили уравнение в полных дифференциалах. Его общее решение легко находится и имеет вид . Левая часть последнего равенства является первым интегралом системы, поэтому, согласно замечанию 2, общее решение исходного уравнения  имеет вид , где – произвольная дифференцируемая функция.

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Решение. Данное уравнение имеет вид (11), поэтому система характеристик для него имеет вид

 

 

Из уравнения находим один первый интеграл . Учитывая, что из уравнения  находим еще один первый интеграл . Согласно формуле (14), общий интеграл уравнения имеет вид . Пользуясь замечанием 1, общее решение уравнения можем записать в виде .

Пример 3. Решить уравнение

                      

Решение. Уравнение является квазилинейным. Запишем уравнение для характеристик (см. (5))

                                      . 
Из этих уравнений находим три независимых первых интеграла

                  . 
Так как функция входит только в последний интеграл, то согласно замечанию 1, общее решение уравнения может быть записано в виде

   
где – некоторая непрерывно дифференцируемая функция своих переменных.

 

Решение задачи Коши

Изложим без доказательства метод решения задачи Коши для квазилинейного уравнения (4). В силу приведенных выше рассуждений, этот метод применим и для решения линейного уравнения, то есть в случае, когда функции не зависят от переменной .

Итак, пусть требуется найти интегральную поверхность уравнения (4), проходящую через кривую , заданную параметрическими уравнениями

                               .                                                   (17)  
Пусть найдены два независимых первых интеграла системы

                             :

                                 .                                          (18) 
Выразив  через параметр из соотношений (17) и подставив эти выражения в (18), получим два соотношения вида . Исключив из последних соотношений, получим выражение вида . Подставив в это выражение вместо и левые части первых интегралов (18), получим искомое уравнение интегральной поверхности, которое и будет решением поставленной задачи Коши.

Замечание 3. Часто кривая задается соотношениями . В этом случае в качестве параметра на кривой можно выбрать или . Иначе говоря, для получения соотношения нужно исключить переменные из системы уравнений

.                                                                                              (19)

Пример 4. Найти решение задачи Коши . при  .

Решение. Запишем систему уравнений характеристик

                                            .

Найдем независимые первые интегралы этой системы:

                    , , 
(здесь мы пишем , а не , поскольку решение ищется в окрестности плоскости ). Исключив переменные из соотношений , ,  , , получим . Подставив в последнее равенства вместо левые части выражение для первых интегралов, окончательно будем иметь .

Пример 5. Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению и проходящую через данную линию.

.

Решение. Запишем систему уравнений характеристик

                            .                                                     (20)  
Из соотношения легко находится первый интеграл . Чтобы найти еще один первый интеграл, воспользуемся известным свойством пропорций: если , то при любых справедливо равенство .  Пользуясь приведенным свойством, из соотношений (20) получим

.

Теперь запишем систему (19) для данной задачи и исключим из нее переменные :

   .

Подставив вместо и левые части выражений для первых интегралов, после элементарных преобразований окончательно получим искомое уравнение поверхности: .