Уравнения в начальных классах

   Понятно, что под аналитической записью  и понимается запись равенства, левая или правая части которого содержат неизвестную (неизвестные) букву (или число). Именно буквенное выражение определяет функцию от входящих в него букв, заданную на допустимых числовых значениях.

   Введение  записи задачи (о нахождении неизвестной  величины) с помощью уравнения  начинается с конкретной задача. Способы составления и решения уравнений опираются на отношение целого и его частей, а не на 6 правил нахождения неизвестных при сложении, вычитании, умножении, делении.

  Для того  чтобы найти способ решения уравнение, достаточно определить сначала по схеме, а позже и сразу по формуле, чем является неизвестная величина: частью или целым. Если известная величина является целым, то для ее нахождения нужно сложить, а если она часть, то из целого нужно вычесть известные части. Таким образом, ребенку ненужно запоминать правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого.

       Успешность ребенка, его навык при решении уравнений будут зависеть от того, может ли ребенок переходить от описания отношения между величинами с помощью схемы к описанию с помощью формулы и наоборот.  Именно этот переход oт решаем как одного из вида формул к схеме и определения с помощью схемы характера (часть или целое) неизвестной величины являются темы основными умениями, которые дают возможность решать любые уравнения, содержащие действия сложения и вычитания.

     Другими словами, дети должны понять, что для правильного выбора способа решения уравнения, а значит и  задачи нужно уметь видеть отношение целого и частей, а чем и поможет схема. Схема здесь выступает в качества средства решения уравнения, а уравнение, в свою очередь, как средство решения задачи. Поэтому большинство заданий ориентировано на составление уравнений по заданной схеме и на решение текстовых задач путем составления схемы и с ее помощью составления уравнения, позволяющего найти решения задачи.

 

  Изучение  уравнений в начальных классах  происходит в несколько этапов. Программой школы предусмотрено  знакомство детей с уравнениями  первой степени с одной неизвестной. Большое значение в плане подготовки к введению уравнений имеют упражнения на подбор пропущенного числа в равенствах, деформированных примерах, вида

4+     =5,        4-      =2,          -7=3   и т.п.

В процессе выполнения таких упражнений дети привыкают к мысли, что неизвестным может быть не только сумма или разность, но и одно из  слагаемых (уменьшаемое или вычитаемое).

 

До 2 класса неизвестное число обозначается, как правило, так :  ,   ?, *. Теперь же для обозначения неизвестного числа используют буквы латинского алфавита. Равенство    4+х=5    с называют уравнением. Равенство, где есть буквы называют уравнением (Приложение А)

 

   На первом  этапе уравнения решают на основе состава числа. Учитель знакомит с понятием неизвестного, понятием уравнение, показывает разные формы чтения, учит записывать уравнения по диктовку, разбирает понятия «решить уравнения» «что называется корнем», « что есть решение уравнения», учит проверять решенные уравнения.

На втором этапе решения уравнения происходит с использованием зависимости между компонентами. В этом случае при нахождении неизвестного числа можно пользоваться приемом замены данного уравнения равнозначным ему уравнением. Опорой перехода может быть граф (Истомина 2008:161).

Приведу примеры уравнений в замены их равнозначными уравнениями с опорой на графы.

а)Х * 4= 16

Х=16 :4

Х=4

4 * 4= 16

 

Б) х : 5=7

Х= 7 * 5

Х=35

35:5=7

После того как учащиеся научатся решать простейшие уравнения, включаются более сложные уравнения видов:

48 - х = 16 + 9

а - (6о -14) = 27

51-(х +15) = 20,

 

решение, которых выполняется также на основе взаимосвязи между результатами и компонентами арифметических действий, ведется подготовка к решению задач способом составления уравнений

 

Для решения таких уравнений необходимы знания порядка действий в выражении, а также умения выполнять простейшие преобразования выражений. Уравнения указанных видов вводятся постепенно. Сначала простейшие уравнения усложняются тем, что их правая часть задается не числом, а выражением.

Далее включаются уравнения, в которых известный компонент задан выражением. Полезно учить читать эти уравнения с названием компонентов. Наконец, приступают к решению таких уравнений, где один из компонентов является выражением, включающим неизвестное число, например:

6o-(x-7) = 25

(12-х) + 10 = 18.

При решении уравнений такого вида приходится использовать дважды правила нахождения неизвестных компонентов. Рассмотрим:

Обучение решению таким уравнений требует длительных упражнений в анализе выражений и хорошего знания правил нахождения неизвестных компонентов. На первых порах полезны упражнения в пояснении решенных  уравнений.

Кроме того, следует чаще решать такие уравнения с предварительным выяснением, что неизвестно и какие правила надо вспомнить, чтобы решить данное уравнение.

Такая работа предупреждает ошибки и способствует овладению умением решать уравнения.

 

Особое  внимание следует  удалять проверке решения уравнения. Учащиеся должны четко знать, усвоить последовательность и смысл  действий, выполняемых при проверке: найденное число представляют вместо буквы в выражение, затем вычисляют значение этого выражения и, наконец, сравнивают его с заданным значением или с вычисленным значением выражения, стоящего в другой части уравнения.

Если получается равные числа, значит, уравнение решено, верно.

Дети могут  выполнять проверку устно или письменно, но при этом всегда должны быть четко

выделены основные ее звенья: подставляем..., вычисляем..., сравниваем...

Уравнения используются также для решения задач. Существует правило составления уравнения:

1.Выясняется, что  известно, что неизвестно.

2.Обозиачепе  неизвестного за х.

3.Составление  уравнения.

     4.Решение  уравнения

5.Полученное  число истолковывается в соответствии  с требованием задачи (Бантова  МЛ, Бельтюкова П.В.2006:222).

Необходимым требованием для формирования умения решать задачи с помощью уравнений является умение составлять выражения  по их  условиям.

Поэтому вводится запись решения задач в виде  выражения. Учащиеся упражняются в объяснения смысла выражений, составленных по условию задачи; сами составляют выражения по заданному условию задачи, а также составляют задачи по их решению, записанному в виде выражений.

 

Одним из самых трудных моментов является запись задачи в виде уравнения, поэтому, вначале при составлении уравнения широко используются средства наглядности: рисунки, схемы, чертежи.

 

Для формирования у учащихся умения решать задачи алгебраическим способом необходимо, чтобы они могли решать уравнения, составлять выражения по задаче и осознавать сущность процесса «уравнивания неравенств», т е преобразования неравенства  в  уравнение.

 

Уже на первых уроках дети, сравнивая два множества, устанавливают, в каком из них содержится больше элементов и что нужно сделать, чтобы в  обоих множествах было одинаковое их количество.

                    Вместе с тем возможности использования  алгебраического метода решения текстовых задач в начальных классах ограничены, поэтому арифметический способ остается школа основным.

 

Таким образом, можно сделать вывод о том, что изучение уравнений продолжается и на протяжении всех трех лет начального обучения в школе.

 

3.2.Методика работы над уравнением.

 

Нужны и уравнения маленьким детям? Легко ля понять пример, когда ответ прячется я таинственным «х», который и прочесть-то не все могут правильно, то ли «яке», то ли «ха». Решение задач с помощью уравнений таинственно и интересно, а сокрытие тайн для любознательного человека вредно. Поэтому знакомство с уравнениями надо начинать с первого класса. И провести его можно следующим образом.

Начнем с фигурок, которые дети умеют складывать и строить из них. На доске нарисованы две фигуры. Что получится при их сложение?

0 +D=

Дети получают дом, в котором квадрат и треугольник превратились в стену и  крышу. Дом - целое, а крыша и стены - его части. Из частей складывается целое (Бантова М.А., Бельтюкова 2006:229).

Ч1  +  Ч2 =Ц

 

Теперь разберем дом. Можно снять крышу и останется стена, а можно убрать стену и останется крыша. Если от целого отнять часть, то получится другая его часть Ц – Ч1 = Ч2. Зная это, ребенок может теперь сам определить неизвестную  часть, имея целое и известную часть. Это уже уравнение. В нем появляется мистер Икс. - х=

 

Что же случилось е карандашом? Что спрятал мистер Икс? Ну, конечно, у него сломался грифель, х=

Когда работают с уравнением, то пишут три строчки.  В каждой из них обязательно есть х и один  знак равенства.

Строчка 1 - уравнение; в нем х спрятался.

Строчка 2 - решение уравнения, х в одной стороне равенства, а остальное - а другой.

Строчка 3 - корень уравнения, в нем открывается всем, что спрятал х

А теперь дети сами сочиняют и  решают уравнения. Зная целое  и части, можно легко действовать с числами.

х-2=7       5-х=3           6+х=9

Начинают с того, что определяют, где целое, и подчеркивают его. Ведь отнимать от целого

 

Х-2=7     5-х=3

 

Из этих уравнений только в первым мы ищем целое. В двух других – части.

Х=7+2                       х=5-3            х=9-6

 

Х=9                            х=2         х=3

 

Уравнение помогает узнать,верно ли произведены вычисления, если вместо х под находку - число

 

Х-2=7                     5-х=3            6+х=9

 

9-2=7                                5-2=3                         6+3=9

Таким образом для того чтобы решить уравнение нужно:

а) Отметить целое;

б) Найти решение;

в) Записать корень уравнения;

г) Сделать проверку - подставить найденное число в первую сторону и убедиться, что конечные 
числа совпадают. 

Если что-то не так, то нужно проверить, где поторопился. Это тоже важное умение – найти у себя ошибку и исправить ее.

Затем дети знакомятся с правилами, которые называются болтушки — приговорки. То, что складывают, - слагаемые.

С1 + С2 = сумма

3+5=8

То, что сложили, и есть сумма. Подбирают слагаемые и сумму: б + 4 = 10. Когда число уменьшают, его называют уменьшаемое. От него можно что-то отнять. Число, которое вычитают, называют вычитаемое. Ищем их разницу или разность. Подбирают числа:

7-6=1

    **=

 

Болтушка №1. Чтобы найти уменьшаемое, к разности прибавили вычитаемое.

Х-в = р

X = р + в 

Х = у

Решаем уравнения:

У     в    р                             у   в    р

Болтушка №2. Чтобы найти вычитаемое, на разность  уменьшаем уменьшаемое. 

у –х =рР

х=у-р

х=в

Решают уравнения:

У  в  р   у в  р

8-х=3              7-х=4

 

Болтушка №3. Чтобы найти любое слагаемое, от суммы отнимаем все остальные.  Х+с2=сумма

х = сумма – с2

  х=С1

Решают уравнения:

С1   с2    сум.       С1   с2  сум.

 

3+х=9                           х+4=8

 

После этого решаются уравнения, основанные на знания состава чисел (Моро М.П.. Пышкалова АЛ. 2006:178).

 

Записывают состав чисел без повторов, так как при перемене мест слагаемых сумма  меняется.

Поиграем в занимательные игры «Клоуны» и «Вертушки», где вместо х нужно вписать число.

Вставляют х   в состав числа и узнают его. 6х 43  76x4

0 1 2 3                        0 1 2 3

И  решают уравнения: 6 – х=1        2+х=7

 

Запиши состав чисел 8 и 9.

8 7 6 5 4                                                   9 8 7 65

*****                                                       *****

Найди х, в квадрате напиши отгадку.

87х54                                    87654                             8765                    98765

          

01234                        х1234     1234                    012х4

 

Реши уравнения: 8 - х =2;     8+х=8 ;                   х-7=2 ;             9-х=6

Далее переходят к решению задач при помощи у равнений. Задачи в схемах.

Схема №1

 

I   -  в

II-

 

Задача: Десять селедок разложили на две тарелки с учетом схемы.

I-Х           10 с I-7c         10c

II-3c                            II-х

 

Составляют и решают уравнения по схемам 7 +х=10;     х+3=10.

Схема № 2.

Было – 10птиц

 Исчезли - 5 птиц 

Осталось –х птиц

Задача: сидели на дереве 10 птиц. Пять птиц улетели.  Сколько птиц осталось?

Решение: 10 - х =5

Схема № 3

Было-х

Добавили - 5 ягод

 Стало - 10 ягод

Дети самостоятельно придумывают условии задачи и решают ее

Х+5=10

Так же детей знакомят с самым легким способом решения уравнений - аналогия

Надо решить уравнение, а ребенок забыл как. Что же делать?  Давайте рассмотрим уравнения И ребенок всегда будет помнить, как они решаются.

 

2+3=5                              5-3=2             5-2=3

Это синее                      это зеленое                   это красное