Векторное произведение векторов

МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

ЮЖНО-КАЗАХСТАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ  ФАРМАЦЕВТИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

Кафедра медицинской биофизики, информатики и математики.

        

        СРС

 

Тема:  Векторное произведение векторов и его свойства.

Форма выполнения: реферат

 

 

 

                                                                                                Выполнила: Сарсенгалиева Д.А

                                                                                                 Группа: 103 ТФП

                                                                                                 Приняла: Сарбасова Г.С

 

                                                                                               

 

                                                 

                                                   

                                                     Шымкент 2013 г.

 

Содержание:

 

Введение……………………………………………………………3

Введение в понятие  вектора ,действие над векторами……………

Определение векторного произведения……………………………...4

Координаты векторного произведения………………………………..6

Свойства векторного произведения…………………………………….7

Векторное произведение - примеры  и решения………………...............8

Заключение…………………………………………………………………14

Список литературы…………………………………………………………………15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Введение.

 

 При изучении естественных наук часто приходится иметь дело с так называемыми векторными величинами или просто – векторами. Знать, что это такое и умение работать с векторами является наиглавнейшим условием успеха в изучении любой дисциплины, где встречаются векторные величины.

  Можно построить очень  красивый дом, но будут ли  уверены в своей безопасности  его жильцы, если этот дом построен на песке? Векторная алгебра является фундаментом, на котором построено все здание классической физики и математики. Объектом исследования являются векторы и действия над ними.

   В биологии и медицине термином «вектор» обозначают переносчик. В генной инженерии  плазмидная ДНК или вирусная ДНК и РНК служат векторами для переноса клонированных в них генов в целевые клетки. В фармакологии вектор — это устройство или молекула для направленной доставки лекарственных веществ. Основная задача вектора — обеспечить поступление биологически активных соединений (лекарств, токсинов, белков, олигонуклеотидов, генов и т.д.) в целевые клетки организма, в том числе в требуемый внутриклеточный компартмент (ядро, цитоплазма, органеллы), в очаг патологического поражения, одновременно предотвращая инактивацию и проявление биологической активности этих веществ до накопления в заданной области.

 

Введение в  понятие вектора, действия над векторами.

   В геометрии вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, то есть такой отрезок, обе граничные точки которого поименованы: одна граничная точка отрезка названа началом (по- другому – точкой приложения), а другая граничная точка отрезка названа концом. Любой ненаправленный отрезок с граничными точками A и B можно сделать направленным отрезком, то есть вектором, причем это можно сделать двумя способами. Если принять, что точка A является началом, а точка B является концом отрезка, то мы получаем вектор, который обозначается символом AB .

Используя этот же ненаправленный отрезок, можно определить вектор BA . У этого вектора точка B является началом, а точка A является концом. Принято также обозначать вектор одной буквой, обычно строчной буквой латинского алфавита, также с черточкой над буквой, например a . Очень удобно векторы изображать геометрически в виде отрезка, конец которого помечается "стрелкой", указывающей, куда направлен вектор. При этом нелишним будет напомнить, что направление в пространстве задается лучом (полупрямой, выходящей из той или иной точки пространства и уходящей на бесконечность). Так вот, чтобы понять, куда в пространстве направлен вектор AB, надо построить луч, выходящий из точки A и содержащий точку B. Куда будет направлен такой луч, туда в пространстве и будет направлен лежащий на луче вектор AB . Обычно при этом говорят кратко, что вектор AB направлен "от A к B".Произвольный вектор AB и соответствующий ему луч -A B.

Кроме направленности, важной характеристикой любого вектора является его модуль, обозначаемый привычным символом |AB| (или |a| ). Модулем любого вектора называется длина соответствующего ненаправленного отрезка. Если модуль вектора равен единице, то вектор называют единичным вектором. Направление в пространстве наиболее удобно задавать с помощью единичных векторов.

 

 

 

 

Действия  над векторами.

Операция сложения двух векторов - правило треугольника.

Покажем как происходит сложение двух векторов.

Сложение векторов   и   происходит так: от произвольной точки A откладывается вектор  , равный  , далее от точки B откладывается вектор  , равный  , и вектор  представляет собой сумму векторов   и  . Такой способ сложения двух векторов называется правилом треугольника.

Проиллюстрируем сложение не коллинеарных векторов на плоскости  по правилу треугольника.

А на чертеже ниже показано сложение сонаправленных и противоположно направленных векторов.

Вычитание векторов. 

 

Чтобы из вектора а вычесть вектор b надо к вектору а прибавить вектор, противоположный вектору b. Полученный в результате этой операции вектор с и будет являться разностью векторов а и b. Таким образом:

с = а − b = а + (− b).

 

Операция умножения вектора на число.

Сейчас разберемся как происходит умножение вектора на число.

Умножение вектора на число k соответствует растяжению вектора в k раз при k > 1 или сжатию в   раз при 0 < k < 1, при k = 1 вектор остается прежним (для отрицательных k еще изменяется направление на противоположное). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и произвольного числа есть нулевой вектор.

К примеру, при умножении  вектора   на число 2 нам следует вдвое увеличить его длину и сохранить направление, а при умножении вектора   на минус одну треть следует уменьшить его длину втрое и изменить направление на противоположное. Приведем для наглядности иллюстрацию этого случая.

 Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.

 

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними.

a · b = |a| · |b| cos α

 

 

 

 

 

 

Определение векторного произведения.

 

Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной  тройки векторов   в трехмерном пространстве.

Отложим векторы   от одной точки. В зависимости от направления вектора   тройка   может быть правой или левой. Посмотрим с конца вектора   на то, как происходит кратчайший поворот от вектора   к  . Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов   называется правой, в противном случае – левой.

Теперь возьмем  два не коллинеарных вектора   и  . Отложим от точки А векторы   и  . Построим некоторый вектор  , перпендикулярный одновременно и   и  .        Очевидно, что при построении вектора   мы можем поступить двояко, задав ему либо одно направление, либо противоположное (смотрите иллюстрацию).

В зависимости от направления вектора   упорядоченная тройка векторов  может быть правой или левой.

Так мы вплотную подошли  к определению векторного произведения.      Оно дается для двух векторов, заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Определение.

Векторным произведением двух векторов   и  , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор  , что

• он является нулевым, если векторы   и   коллинеарны;
• он перпендикулярен и вектору   и вектору   ( );
• его длина равна произведению длин векторов   и   на синус угла между ними ( );
• тройка векторов   ориентирована так же, как и заданная система координат.

Векторное произведение векторов   и   обозначается как  .

        

Координаты  векторного произведения.

Сейчас дадим  второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его  координаты по координатам заданных векторов.

Определение.

В прямоугольной  системе координат трехмерного  пространства векторное произведение двух векторов   и   есть вектор  , где   - координатные векторы.

Это определение  дает нам векторное произведение в координатной форме.

Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты  , во второй строке находятся координаты вектора  , а в третьей – координаты вектора   в заданной прямоугольной системе координат: 

Если разложить  этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах: 

 

 

 

 

 

 

Свойства  векторного произведения.

 

 Так как векторное  произведение в координатах представимо  в виде определителя матрицы  , то на основании свойств определителя легко обосновываются следующие свойства векторного произведения:

1. антикоммутативность  ;
2. свойство дистрибутивности   или  ;
3. сочетательное свойство   или  , где   - произвольное действительное число.

 
Для примера докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

По определению   и  . Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому,  , что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.

 

       

Векторное произведение – примеры и решения.

В основном встречаются  три типа задач.

В задачах первого  типа заданы длины двух векторов и  угол между ними, а требуется найти  длину векторного произведения. В  этом случае используется формула  .

Пример.

Найдите длину векторного произведения векторов   и  , если известно  .

Решение.

Мы знаем из определения, что длина векторного произведения векторов   и   равна произведению длин векторов   и   на синус угла между ними, поэтому,  .

Ответ:

.

Задачи второго  типа связаны с координатами векторов, в них векторное произведение, его длина или что-либо еще  ищется через координаты заданных векторов   и  .

Здесь возможна масса  различных вариантов. К примеру, могут быть заданы не координаты векторов   и  , а их разложения по координатным векторам вида   и  , или векторы   и  могут быть заданы координатами точек их начала и конца.

Рассмотрим характерные  примеры.

Пример.

В прямоугольной  системе координат заданы два  вектора  . Найдите их векторное произведение.

Решение.

По второму определению  векторное произведение двух векторов в координатах записывается как: 

К такому же результату мы бы пришли, если бы векторное произведение записали через определитель 

Ответ:

.

Пример.

Найдите длину векторного произведения векторов   и  , где   - орты прямоугольной декартовой системы координат.

Решение.

Сначала найдем координаты векторного произведения   в заданной прямоугольной системе координат.

Так как векторы   и   имеют координаты   и  соответственно, то по второму определению векторного произведения имеем 

То есть, векторное  произведение   имеет координаты  в заданной системе координат.

Длину векторного произведения находим как корень квадратный из суммы квадратов его координат: 

Ответ:

.

 

Пример.

Векторы   и   перпендикулярны и их длины равны соответственно 3 и 4. Найдите длину векторного произведения  .

Решение.

По свойству дистрибутивности векторного произведения мы можем записать 

В силу сочетательного свойства вынесем числовые коэффициенты за знак векторных произведений в  последнем выражении: 

Векторные произведения   и   равны нулю, так как   и  , тогда  .

Так как векторное  произведение антикоммутативно, то  .

Итак, с помощью  свойств векторного произведения мы пришли к равенству  .

По условию векторы   и   перпендикулярны, то есть угол между ними равен  . То есть, у нас есть все данные для нахождения требуемой длины 

Ответ:

.

 

 

 

 

 

Заключение.

 

В данной работе была продемонстрирована внутрипредметная связь алгебры и геометрии и, как следствие, поиск рационального решения математической задачи, а также было выработано умение определять круг задач, для решения которых можно применять векторы.