Векторы

Скалярным произведением векторов а(а\, а2) и b(b\, 62) называется число а\Ь\ +0262. Для скалярного произведения векторов используется такая же запись, как и для произведения чисел. Скалярное произведение аа обозначается а2. Очевидно, а2 = |а|2.

Из определения скалярного произведения векторов следует, что для любых векторов а (си, аг), Ъ{Ъ\, Ь2), с(с\, с2)

(а + &) с—ас+Ъс. Действительно,   левая   часть   равенства   есть   (ai + &i)ci + + {а2 + Ь2)с2, а правая а\С\-\-а2с2 + Ъ\С\-\-Ъ2с2. Очевидно, они равны.

Углом между ненулевыми векторами АВ и АС называется угол ВАС. Углом между любыми двумя векторами а и Ъ называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.

Теорема 10.7. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Доказательство. Пусть а и b — данные векторы и ф — угол между ними. Имеем:

(а + Ъ)2 = (а + Ь)(а + Ъ) = (а + Ъ)а + (а + Ъ)Ь =

= аа + Ьа + ab +ЪЪ = о2 + 2аВ + Ъ2,

или

|a + b\2 = |a|2 + \Ъ\2 + 2ab._ Отсюда видно, что скалярное произведение аЪ выражается через длины векторов "а, Ъ и а + Ь, а поэтому не зависит от выбора системы координат, т. е. скалярное произведение не изменится, если систему координат выбрать специальным образом. Возьмем систему координат ху так, как показано на рисунке 174. При таком выборе системы координат координатами вектора а будут \а\ и_0, а координатами вектора b будут | b| cos ср и \Ъ\ sin ср. Скалярное произведение

ab= \ а\ | i>|coscp + 0 | ft | sin ср= \а\ | Ысовф.

Теорема доказана.

Из теоремы 10.7 следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно, если скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Задача (47). Даны векторы a(1, 0) и F(l, 1). Найдите такое число К, чтобы вектор а + ХЬ был перпендикулярен вектору а.

Решение.     Имеем:     а (а + Щ = 0,     а2 + К (ab) = 0.

Отсюда