Великие математики и их открытия

Великие математики и их открытия

Математическая логика

После неудачи проекта  «Универсальной характеристики» Лейбница прошло полтора века, прежде чем  попытка создать алгебру логики повторилась. Но повторилась она  на новой основе: концепция множества  истинности позволила построить  математическую логику как теорию классов, с теоретико-множественными операциями. Пионерами стали британские математики Август (Огастес) де Морган и Джордж Буль.

В работе «Формальная логика» (1847) де Морган описал понятие универсума и символы для логических операторов, записал известные «законы де Моргана». Позже он ввёл общее понятие  математического отношения и  операций над отношениями.

Джордж Буль независимо разработал свой, более удачный, вариант теории. В своих работах 1847—1854 годов он заложил основы современной математической логики и описал алгебру логики (булеву алгебру). Появились первые логические уравнения, введено понятие конституэнты (разложения логической формулы).

Уильям Стенли Джевонс продолжил систему Буля и даже построил «логическую машину», способную решать логические задачи. В 1877 году Эрнест Шрёдер сформулировал логический принцип двойственности. Далее Готлоб Фреге построил исчисление высказываний. Чарльз Пирс в конце XIX века изложил общую теорию отношений и пропозициональных функций, а также ввёл кванторы. После этого всё было готово для разработки в школе Гильберта теории доказательств

Алгебра и теория чисел

Намеченные у Эйлера аналитические  методы помогли решить немало трудных  проблем теории чисел (Гаусс, Дирихле  и другие). Гаусс дал первое безупречное  доказательство основной теоремы алгебры. Жозеф Лиувилль доказал существование бесконечного количества трансцендентных чисел (1844, подробнее в 1851), дал достаточный признак трансцендентности и построил примеры таких чисел в виде суммы ряда. В 1873 году Шарль Эрмит публикует доказательство трансцендентности числа Эйлера e, а в 1882 году Линдеман применил аналогичный метод и к числу π.

У. Гамильтон открыл удивительный некоммутативный мир кватернионов.

Возникла геометрическая теория чисел (Минковский).

Эварист Галуа, опередивший своё время, представляет глубокий анализ решения уравнений произвольных степеней. Ключевыми понятиями исследования оказываются алгебраические свойства связанных с уравнением группы подстановок и полей расширения. Галуа завершил работы Абеля, доказавшего, что уравнения степени выше 4-й неразрешимы в радикалах.

По мере усвоения идей Галуа, со второй половины века, быстро развивается  абстрактная алгебра. Жозеф Лиувилль публикует и комментирует работы Галуа. В 1850-е годы Кэли вводит понятие абстрактной группы. Термин «группа» становится общепринятым и проникает практически во все области математики, а в XX веке — в физику и кристаллографию.

Формируется понятие линейного  пространства (Грассман и Кэли, 1843—1844). В 1858 году Кэли публикует общую теорию матриц, определяет операции над ними, вводит характеристический многочлен. К 1870 году доказаны все базовые теоремы линейной алгебры, включая приведение к жордановой нормальной форме.

В 1871 году Дедекинд вводит понятия  кольца, модуля и идеала. Он и Кронекер создают общую теорию делимости.

В конце XIX века в математику входят группы

Геометрия чисел

Геометрия чисел — раздел теории чисел, созданный Минковским в 1894 году.

В общих чертах эту теорию можно охарактеризовать как применение в теории чисел геометрических понятий  и методов. Сам Минковский исследовал взаимоотношения между выпуклыми множествами и целочисленными решётками в многомерном пространстве. Если уравнение или неравенства имеет решение в целых числах, то это означает, что геометрическое тело, определяемое этим уравнением или неравенством, содержит одну или более точек целочисленной решётки.

В ходе исследований была доказана фундаментальная теорема Минковского о выпуклом теле, из которой автор получил ряд важных следствий в теории линейных и квадратичных форм, а также в теории диофантовых приближений.

Впоследствии существенный вклад в геометрию чисел внесли Вороной, Морделл, Дэвенпорт, Зигель и другие.

Судьба великих математических открытий

История математики показывает, что в математике существует «странная» традиция, касающаяся выдающихся математических открытий. Многие математики (даже очень  известные), как правило, оказываются  неспособными оценить по достоинству  математические достижения своих современников. Революционные математические открытия или остаются незамеченными или  подвергаются насмешкам со стороны  современников. И только спустя 40-50 лет начинается их признание и  всеобщее восхищение. В этом отношении  блестящий пример дала русская математика 19-го столетия. Когда в 1826 молодое  русское дарование, будущий гениальный математик Николай Лобачевский  из Казанского университета пришел к  новой геометрической системе («геометрия Лобачевского»), его труд «О началах  геометрии» был отослан в Российскую академию наук. Известный русский  математик академик Остроградский  написал резко отрицательный  отзыв на эту работу Лобачевского, а в 1834 г. в журнале «Сын отечества» появилась анонимная издевательская статейка по поводу господина «казанского  ректора» Лобачевского и его геометрических сочинений. 
Лобачевский умер в 1856 году непризнанным в своей стране. Признание Лобачевского пришло из Западной науки благодаря гениальному немецкому математику Гауссу, который оказался единственным математиком, который высоко оценил труды Лобачевского еще при его жизни. По предложению Гаусса Лобачевскмй в 1842 году был избран член-корреспондентом Геттингенского ученого общества. Большую роль в признании трудов Лобачевского сыграли исследования Бельтрами, Клейна и Пуанкаре.

Еще один пример из истории  французской математики 19-го столетия. Имя французского математика Эвариста Галуа широко известно в математике. Его математические сочинения дали начало современной алгебры. Однако при своей жизни он был известен не как математик, а как революционер. За публичные выступления против королевского режима Галуа дважды подвергался тюремному заключению. В 1832 г., когда ему не было 21 года, он был убит на дуэли, подстроенной его политическими противниками. Свои основные математические работы, названные затем его именем, Галуа получил в возрасте 16-18 лет, будучи учеником лицея. Свои работы Галуа представлял в Парижскую академию наук. Однако даже такие крупнейшие математики как Коши и Фурье не смогли их оценить. Согласно легенде академик Коши выбрасывал все работы Галуа в мусорную корзину.

Работы Галуа были разобраны  и опубликованы спустя 14 лет после  его смерти. В 1870 г., то есть спустя 38 лет после его смерти, известный  французский математик К. Жордан написал книгу о математических достижениях Галуа, и эта книга сделала теорию Галуа достоянием всего мира.

Несмотря на огромное различие между теориями Лобачевского и Галуа  они все же имеют нечто общее. Они являются революционными открытиями в соответствующих разделах математики.