Все формулы по алгебре и геометрии

Все формулы по алгебре и геометрии

Формулы сокр. умножения и разложения на множители :

(a± b)² =a² ± 2ab+b²

(a± b)³ =a³ ± 3a² b+3ab² ± b³

a² -b² =(a+b)(a-b)

a³ ± b³ =(a± b)(a² ∓ab+b² ),

(a+b)³ =a³ +b³ +3ab(a+b)

(a-b)³ =a³ -b³ -3ab(a-b)

xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+a² xn-3+...+an-1)

ax² +bx+c=a(x-x1)(x-x2)

где x1 и x2 — корни уравнения

ax² +bx+c=0

Степени и корни :

ap· ag = ap+g

ap:ag=a p-g

(ap)g=a pg

ap /bp = (a/b)p

ap bp = abp

a0=1; a1=a

a-p = 1/a

p a =b => bp=a

p ap b = p ab

 a ; a = 0

Квадратное уравнение

ax² +bx+c=0; (a 0)

x1,2= (-b  D)/2a; D=b² -4ac

D>0 x1 x2 ;D=0 x1=x2

D<0, корней нет.

Теорема Виета:

x1+x2 = -b/a

x1 x2 = c/a

Приведенное кв. Уравнение:

x² + px+q =0

x1+x2 = -p

x1 x2 = q

Если p=2k (p-четн.)

и x² +2kx+q=0, то x1,2 = -k  (k² -q)

Нахождение длинны отр-ка по его координатам

 ((x2-x1)² -(y2-y1)² )

Логарифмы:

loga x = b => ab = x; a>0,a 0

a loga x = x, logaa =1; loga 1 = 0

loga x = b; x = ab

loga b = 1/(log b a)

logaxy = logax + loga y

loga x/y = loga x - loga y

loga xk =k loga x (x >0)

logak x =1/k loga x

loga x = (logc x)/( logca); c>0,c 1

logbx = (logax)/(logab)

Прогрессии

Арифметическая

an = a1 +d(n-1)

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)n

Геометрическая

bn = bn-1  q

b2n = bn-1 bn+1

bn = b1 qn-1

Sn = b1 (1- qn)/(1-q)

S= b1/(1-q)

Тригонометрия.

sin x = a/c

cos x = b/c

tg x = a/b=sinx/cos x

ctg x = b/a = cos x/sin x

sin ( - ) = sin 

sin ( /2 - ) = cos 

cos ( /2 - ) = sin 

cos ( + 2 k) = cos 

sin ( + 2 k) = sin 

tg ( +  k) = tg 

ctg ( +  k) = ctg 

sin²  + cos²  =1

ctg  = cos / sin ,    n, n Z

tg  ctg = 1,   ( n)/2, n Z

1+tg²  = 1/cos²  ,    (2n+1)/2

1+ ctg²  =1/sin²  ,    n

Формулы сложения:

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y

tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )

x, y, x + y   /2 +  n

tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)

x, y, x - y   /2 +  n

Формулы двойного аргумента.

sin 2 = 2sin  cos 

cos 2 = cos²  - sin²  = 2 cos²  - 1 =

= 1-2 sin² 

tg 2 = (2 tg )/ (1-tg²  )

1+ cos  = 2 cos²  /2

1-cos = 2 sin²  /2

tg = (2 tg ( /2))/(1-tg² ( /2))

Ф-лы половинного аргумента.

sin²  /2 = (1 - cos  )/2

cos²  /2 = (1 + cos )/2

tg  /2 = sin /(1 + cos ) = (1-cos  )/sin 

   + 2 n, n  Z

Ф-лы преобразования суммы в произв.

sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)

sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)

cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2

cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2

Формулы преобр. произв. в сумму

sin x sin y = ½ (cos (x-y) - cos (x+y))

cos x cos y = ½ (cos (x-y)+ cos (x+y))

sin x cos y = ½ (sin (x-y)+ sin (x+y))

Соотношение между функциями

sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2x/2)

cos x = (1-tg2 2/x)/ (1+ tg² x/2)

sin2x = (2tgx)/(1+tg2x)

sin²  = 1/(1+ctg²  ) = tg²  /(1+tg²  )

cos²  = 1/(1+tg²  ) = ctg²  / (1+ctg²  )

ctg2 = (ctg²  -1)/ 2ctg

sin3 = 3sin -4sin³  = 3cos²  sin -sin³ 

cos3 = 4cos³  -3 cos= cos³  -3cos sin² 

tg3 = (3tg -tg³  )/(1-3tg²  )

ctg3 = (ctg³  -3ctg )/(3ctg²  -1)

sin  /2 =   ((1-cos )/2)

cos  /2 =   ((1+cos )/2)

tg /2 =   ((1-cos )/(1+cos ))=

sin /(1+cos )=(1-cos )/sin

ctg /2 =   ((1+cos )/(1-cos ))=

sin /(1-cos )= (1+cos )/sin

sin(arcsin  ) = 

cos( arccos  ) = 

tg ( arctg  ) = 

ctg ( arcctg  ) = 

arcsin (sin ) =  ;   [- /2 ;  /2]

arccos(cos  ) =  ;   [0 ;  ]

arctg (tg  ) =  ;   [- /2 ;  /2]

arcctg (ctg  ) =  ;   [ 0 ;  ]

arcsin(sin )=

1) - 2 k;   [- /2 +2 k; /2+2 k]

2) (2k+1) -  ;   [ /2+2 k;3 /2+2 k]

arccos (cos ) =

1)  -2 k ;   [2 k;(2k+1) ]

2) 2 k- ;   [(2k-1) ; 2 k]

arctg(tg )=  - k

  (- /2 + k; /2+ k)

arcctg(ctg ) =  - k

  ( k; (k+1) )

arcsin = -arcsin (- )=  /2-arccos =

= arctg  / (1- ² )

arccos =  -arccos(- )= /2-arcsin  =

= arc ctg / (1- ² )

arctg =-arctg(- ) =  /2 -arcctg =

= arcsin  / (1+ ² )

arc ctg  =  -arc cctg(- ) =

= arc cos  / (1- ² )

arctg  = arc ctg1/ =

= arcsin  / (1+ ² )= arccos1/ (1+ ² )

arcsin  + arccos =  /2

arcctg  + arctg =  /2

Тригонометрические уравнения

sin x = m ; |m| = 1

x = (-1)n arcsin m +  k, k Z

sin x =1 sin x = 0

x =  /2 + 2 k x =  k

sin x = -1

x = - /2 + 2  k

cos x = m; |m| = 1

x =  arccos m + 2 k

cos x = 1 cos x = 0

x = 2 k x =  /2+ k

cos x = -1

x =  + 2 k

tg x = m

x = arctg m +  k

ctg x = m

x = arcctg m + k

sin x/2 = 2t/(1+t2); t - tg

cos x/2 = (1-t² )/(1+t² )

Показательные уравнения.

Неравенства: Если af(x)>(<) aа(ч)

1) a>1, то знак не меняеться.

2) a<1, то знак меняется.

Логарифмы : неравенства:

logaf(x) >(<) log a  (x)

1. a>1, то : f(x) >0

 (x)>0

f(x)> (x)

2. 0<a<1, то: f(x) >0

 (x)>0

f(x)< (x)

3. log f(x)  (x) = a

ОДЗ:  (x) > 0

f(x) >0

f(x )  1

Тригонометрия:

1. Разложение на множители:

sin 2x -  3 cos x = 0

2sin x cos x - 3 cos x = 0

cos x(2 sin x -  3) = 0

....

2. Решения заменой ....

3.sin² x - sin 2x + 3 cos² x =2

sin² x - 2 sin x cos x + 3 cos ² x = 2 sin² x + cos² x

Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0,

а такое невозможно, => можно поделить на cos x

Тригонометрические нер-ва :

sin   m

2 k+ 1 =  =  2+ 2 k

2 k+ 2 =  = ( 1+2 )+ 2 k

Пример:

I cos ( /8+x) <  3/2

 k+ 5 /6<  /8 +x< 7 /6 + 2 k

2 k+ 17 /24 < x<  /24+2 k;;;;

II sin  = 1/2

2 k +5 /6 =  = 13 /6 + 2 k

cos   (= ) m

2 k +  1 <  <  2+2  k

2 k+ 2<  < ( 1+2 ) + 2 k

cos   -  2/2

2 k+5 /4 =  = 11 /4 +2 k

tg   (= ) m

 k+ arctg m =  = arctg m +  k

ctg  (= ) m

 k+arcctg m <  <  + k

Производная:

(xn)’ = n xn-1

(ax)’ = ax ln a

(lg ax )’= 1/(x ln a)

(sin x)’ = cos x

(cos x)’ = -sin x

(tg x)’ = 1/cos² x

(ctg x)’ = - 1/sin² x

(arcsin x)’ = 1/  (1-x² )

(arccos x)’ = - 1/  (1-x² )

(arctg x)’ = 1/  (1+x² )

(arcctg x)’ = - 1/  (1+x² )

Св-ва:

(u  v)’ = u’ v + u v’

(u/v)’ = (u’v - uv’)/ v²

Уравнение касательной к граф.

y = f(x0)+ f ’(x0)(x-x0)

уравнение к касательной к графику в точке x

1. Найти производную

2. Угловой коофициент k = производная в данной точке x

3. Подставим X0, f(x0), f ‘ (x0), выразим х

Интегралы :

 xn dx = xn+1/(n+1) + c

 ax dx = ax/ln a + c

 ex dx = ex + c

 cos x dx = sin x + cos

 sin x dx = - cos x + c

 1/x dx = ln|x| + c

 1/cos² x = tg x + c

 1/sin² x = - ctg x + c

 1/ (1-x² ) dx = arcsin x +c

 1/ (1-x² ) dx = - arccos x +c

 1/1+ x² dx = arctg x + c

 1/1+ x² dx = - arcctg x + c

Площадь криволенейной трапеции.

Геометрия

Треугольники

 +  +  =180

Теорема синусов

a² = b² +c² - 2bc cos 

b² = a² +c² - 2ac cos 

c² = a² + b² - 2ab cos 

Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит

противопол. сторону напополам.

Биссектриса - угол.

Высота падает на пр. сторону

под прямым углом.

Формула Герона :

p=½ (a+b+c)

S =  p(p-a)(p-b)(p-c)

S = ½ ab sin 

Sравн.=(a²  3)/4

S = bh/2

S=abc/4R

S=pr

Трапеция.

S = (a+b)/2 h

Круг

S=  R²

Sсектора=( R²  )/360

Стереометрия

Параллепипед

V=Sосн Р

Прямоугольный

V=abc

Пирамида

V =1/3Sосн. H

Sполн.= Sбок.+ Sосн.

Усеченная :

H .

V = 3 (S1+S2+ S1S2)

S1 и S2 — площади осн.

Sполн.=Sбок.+S1+S2

Конус

V=1/3  R² H

Sбок. = Rl

Sбок.=  R(R+1)

Усеченный

Sбок.=  l(R1+R2)

V=1/3 H(R12+R1R2+R22)

Призма

V=Sосн. H

прямая: Sбок.=Pосн. H

Sполн.=Sбок+2Sосн.

наклонная :

Sбок.=Pпс a

V = Sпс a, а -бок. ребро.

Pпс — периметр

Sпс — пл. перпенд. сечения

Цилиндр.

V= R² H ; Sбок.= 2 RH

Sполн.=2 R(H+R)

Sбок.= 2 RH

Сфера и шар .

V = 4/3  R³ - шар

S = 4 R³ - сфера

Шаровой сектор

V = 2/3  R³ H

H - высота сегм.

Шаровой сегмент

V= H² (R-H/3)

S=2 RH

Табличные данные