Введение в анализ и диференциальное исчисление функции одного переменного

 

 

 

 

 

 

К О Н Т Р О Л Ь Н А Я    Р А Б О Т А

По дисциплине: Математический анализ

Вариант № 1

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа по математике за 1 семестр

Вариант 1

«ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ  ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО»

1.Вычислить предел

_;

₌

1-Cos(x) ~

Sin(x) ~ x

=

~x

=

Ответ:

2.Найти асимптоты  функции

y =

1. x – 1

x

 

 

X=1 – точка разрыва II рода

X=1 – вертикальная асимметрия

3. y= kx+b

k=

4. k=

b=

 

 

3.Определить глобальные  экстремумы 

 

 

 

       |  

| 

 

2. =0

 

 

 

 

 

3)

4)

 

 

Ответ: Наибольшее значение функции y(2)=

  Наименьшее значение функции y(1)=0 

 

4.Иследовать на  монотонность, найти локальные экстремумы  и построить эскиз графика  функции 

;

2. =0

 

а)

б)

D =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X=1-локальный max

Х=3-токальный min

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

5.Найти промежутки  выпуклости и точки перегиба  функции

 

 

 

     6x - 12=0

6x=12

  x=2

Ответ: - выпуклая вверх

- вогнутая вниз

  Точка x=2-точка перегиба 

 

 

 

 

 

 

«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ И 

ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ»

1.Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции

;

1)Область определения

 

 

2) Не периодическая

 

3) x=2 -точка разрыва т.к функция в этой точке не существует

 

 

точка разрыва II рода

 

 

 

b==

 

y=x+2- Наклонная асимптота

 

 

(0;0) –ноль функции

5. =

 

 

 

 

 

x₁=0  x₂=4

 

 

0 _max4 _min

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точек перегиба нет так как вторая производная не = 0.Однако исследуем вторую производную относится точки разрыва.

 

 

 

7. x=0 =>=0

(0;0) – точка пересечения с осью ордината

 

 

 

 

2. Найти локальные экстремумы функции

 

 

 

 

1)

 

 

2)          

 

 

 

 

=1

 

T.(-1;1)

 

    T.(0;0) 

 

3)

 

 

 

 

 

x	y				∆	Локал. Экстр-ум
0	0	0	0	-3	-9	нет
-1	1	-6	-6	-3	27	да

5) ∆=

∆=

 

6)

 

7)

Ответ: точки(-1;1) строгий локальный максимум и функция ровна

 3.Определить экстремумы функции

 

 

 

 

 

 

1) Функция Лонгрема

 

 

2) Находим частные производные

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

        а) 

б)

 

 

 

4)

 

 

 

так как , то

 

5)

 

 

 

 

6) Откорректируем

 

 

 

Ответ:

имеется строгий установленный минимум

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО»

 

1-3. Найти неопределенный  интеграл

 

 

1.

 

 

 

  а)

 

 

 

2. 

 

 

                                     

                                      

                                       )dt

 

 

 

 

=

=

 

 

 

3. =

 

 

=

 

 

4.Вычислить  -

 

 

 

 

5.Определить площадь плоскости  фигуры, ограниченными кривыми

 

 

 

 

 

 

 

 

     =>

=

Ответ: