Введение в математический анализ

Раздел  1. Введение в математический анализ.

Лекция 1. Множество вещественных чисел. Функция одной переменной. Способы задания. Элементарные функции. Определение предела функции. Теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы

Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство...) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов института, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравнения х2+2х+2=0, о множестве всех натуральных чисел и т. д.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества  принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В,..., X, Y,..., а их элементы — малыми буквами a, b,... ...,х,у,...

Если элемент х принадлежит  множеству X, то записывают ; запись означает, что элемент х не принадлежит множеству X.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначается символом Ø.

Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.

Например, запись А={1,3,15} означает, что множество А состоит из трех чисел 1, 3 и 15; запись А={х:0≤х≤2} означает, что множество А состоит из всех действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих неравенству 0 ≤ х ≤ 2.

Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В. Символически это обозначают так («А включено в В») или («множество В включает в себя множество А»).

Говорят, что множества A и В равны или совпадают, и пишут А=В, если и . Другими словами, множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.

Объединением (или суммой) множеств A и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обозначают AUВ (или А+В). Кратко можно записать АUВ={х:хєА или хєВ}.

Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и множеству В. Пересечение (произведение) множеств обозначают А∩В (или ). Кратко можно записать А∩В={х:хєА и хєВ}

В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые простейшие логические символы:

 — означает «из предложения  α следует предложение ß»;

 — «предложения α и ß  равносильны», т. е. из α следует  ß и из ß следует α;

" — означает «для любого», «для всякого»;

$ — «существует», «найдется»;

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами  числовых множеств являются:

N={1; 2; 3; ...; n; ... } — множество натуральных чисел;

Zo={0; 1; 2; ...; n; ... } — множество целых  неотрицательных чисел;

Z={0; ±1; ±2; ...; ±n; ...} — множество целых  чисел;

Q={m/n: m Z,n N} — множество рациональных чисел.

R—множество действительных чисел.

Между этими множествами существует соотношение

N Zo Z Q R.

Множество R содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, 1/2= 0,5 (= 0,500...), 1/3=0,333... — рациональные числа.

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррационалъными.

Множество R действительных чисел обладает следующими свойствами.

1. Оно упорядоченное: для любых  двух различных чисел α и  b имеет место одно из двух  соотношений а<b либо b<а.

2. Множество R плотное: между любыми двумя различными числами a и b содержится бесконечное множество действительных чисел х, т. е. чисел, удовлетворяющих неравенству a<х<b.

Так, если a<b, то одним из них является число (a+b)/2

3. Множество R непрерывное. Пусть множество R разбито на два непустых класса А и В таких, что каждое действительное число содержится только в одном классе и для каждой пары чисел aєА и bєВ выполнено неравенство a<b. Тогда (свойство непрерывности) существует единственное число с, удовлетворяющее неравенству a≤с≤b ("aєA, "bєВ). Оно отделяет числа класса. A от чисел класса В.Число с является либо наибольшим числом в классе А (тогда в классе В нет наименьшего числа), либо наименьшим числом в классе В (тогда в классе А нет наибольшего).

Свойство непрерывности позволяет  установить взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек прямой. Это означает, что каждому числу хєR соответствует определенная (единственная) точка числовой оси и, наоборот, каждой точке оси соответствует определенное (единственное) действительное число. Поэтому вместо слова «число» часто говорят «точка».

Числовые промежутки. Окрестность точки

Пусть a и b—дейсвительные числа,причем a<b.

Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:

[a; b] = {х : α ≤ х ≤ b} —  отрезок (сегмент, замкнутый промежуток); 
(a;b) = {х : а < х < b} — интервал (открытый промежуток); 
[a;b) = {х : а ≤ х < b}; 
(a; b] = {х : а < х ≤ b} — полуоткрытые интервалы (или полуоткрытые отрезки); 
(-∞; b] = {х : х ≤ b}; [α, +∞) = {х : х ≥ α}; 
(-∞; b) = {х :  х <b}; (а, +∞) = {х : х > а}; 
(-∞, ∞) = {х : -∞<х<+∞} = R — бесконечные интервалы (промежутки).

Числа a и b называются соответственно левым и правым концами этих промежутков. Символы -∞ и +∞ не числа, это символическое  обозначение процесса неограниченного  удаления точек числовой оси от начала 0 влево и вправо.

Пусть х_о—любое действительное число (точка на числовой прямой). Окрестностью точки хо называется любой интервал (a; b), содержащий точку . В частности, интервал (х_о-ε,х_о+ε), где ε >0, называется ε-окрестностью точки х_о. Число х_о называется центром.  

Если х (х₀-ε; х₀ +ε), то выполняется неравенство x₀-ε<х<х ₀+ε, или, что то же, |х-х _о|<ε. Выполнение последнего неравенства означает попадание точки х в ε -окрестность точки х_о (см. рис.).

Если каждому натуральному числу  поставлено в соответствие вполне определенное вещественное число: , то говорят, что мы имеем числовую последовательность: (1), где - общий член последовательности. Закон соответствия (1) сопоставляет каждому натуральному числу вполне определенное вещественное число. Если закон соответствия – f, то , , …, . То есть числовая последовательность есть функция натурального аргумента. Последовательность считается заданной, если имеется правило, по которому можно установить по номеру места – какой член последовательности на этом месте.

. Число  называется пределом последовательности , если для произвольного существует такое, что для любого выполняется неравенство: (2).

Неравенство (2) означает, что как  бы мало мы не задали, все равно в случае существования предела, найдется такой номер, начиная с которого разность между числом и и членами последовательности будет меньше по абсолютной величине заданного : .

Свойства переменной, имеющей предел: пусть дана последовательность , для которой существует , тогда

1. если и , то начиная с некоторого номера и все ;
2. если и , то начиная с некоторого номера и все ;
3. если , то существует  М такое, что , т.е. переменная, имеющая предел, является ограниченной;
4. единственность предела: если переменная имеет предел, то он единственный. Другими словами, переменная не может иметь двух различных пределов;
5. предельный переход в неравенстве: из неравенства следует, что и , если эти пределы существуют;
6. предел промежуточной переменной: если переменные , , связаны соотношением и крайние переменные имеют один и тот же предел , то этот же предел имеет и промежуточная переменная , т.е. .

Понятие бесконечно малой и бесконечно большой последовательности. Связь  между ними.

Переменная называется бесконечно малой (б.м.), если ее предел равен нулю: .

Переменная называется бесконечно большой (б.б.), если ее предел равен бесконечности: .

Т1.Если переменная - бесконечно большая, то обратная ей величина - бесконечно малая.

Т2.Если - величина бесконечно малая, то обратная ей величина есть бесконечно большая, .

Связь между  б.м. и б.б. величинами символами записывается в виде: , .

Основные  свойства б.м. последовательностей:

1. сумма конечного числа б.м. величин – величина бесконечно малая;
2. Произведение ограниченной величины на б.м – величина бесконечно малая;

Основные  теоремы о пределах последовательностей:

Т1.Если , , то .

Т2. Если , , то .

Т2. Если , при , то .

Если в приведенных выше теоремах один или оба из пределов являются либо б.м., либо б.б., получаются так называемые неопределенности вида , , , . Раскрытие неопределенностей представляет собой непростую задачу, поэтому методы решения подбираются исходя их конкретных примеров.