Ықтималдықтар теориясының негіздері
Автор работы: Пользователь скрыл имя, 08 Октября 2013 в 15:00, контрольная работа
Описание работы
Ықтималдықтар теориясы және оған негізделген математикалық статистика біртекті жаппай кездейсоқ құбылыстардың үлестірілу заңдылықтарын зерттейтін математикалық ғылымдар. Математикалық абстракциялау- байқалып отырған
құбылыстарды олардың нақты табиғатына байланыссыз зерделеу құбылыстардың мейлінше кең класына қолдануға жарамды ғылыми негізделген жалпы заңдылықтар мен қағидаларды айқындауға мүмкіндік береді. Шарттар мен амалдардың белгілі бір жиынтығын орындауды сынақ немесе тәжірибе дейміз, оның қорытындысы сынақ
нәтижесі болады. Кездейсоқ нәтиже беретін тәжірибе кездейсоқ эксперимент деп, ал нәтиженің өзі кездейсоқ (мүмкін) оқиға деп аталады.
Содержание работы
1.Кездейсоқ оқиғалар.
2.Оқиға ықтималдығының аксиомалық анықтамалары.
3.Қосылыстар теориясы элементтері.
Файлы: 1 файл
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ
МИНИСТРЛІГІ
АБАЙ АТЫНДАҒЫ ҚАЗАҚ ҰЛТТЫҚ ПЕДАГОГИКАЛЫҚ
УНИВЕРСИТЕТІ
Білім алушыларға арналған пәннің
оқу-әдістемелік кешені
«Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика»
«5В07030- Ақпараттық жүйелер»
2011 жыл
«БЕКІТЕМІН»
Математикалық талдау,
алгебра және геометрия
кафедрасының меңгерушісі
ф.м.ғ.д Көксалов.Қ.К
«____»____________2011ж.
2
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
Жұмыс оқу бағдарламасы
«050703 –Ақпарттық жүйе» мамандығы бойынша жоғары кәсіби білім берудің
Мемлекеттік жалпыға міндетті стандарты;
ҚР БҒМ «___» _______200_ ж. №___ бұйрығымен бекітілген
«__________________________________________» пәнінің типтік бағдарламасы (ЖМБС
міндетті компоненттерінің пәндері үшін);
«__»______________ 200_ж. бекітілген «050703 –Ақпарттық жүйе» мамандығы
бойынша жұмыс оқу жоспары негізінде дайындалды.
«Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика» пәнінің жұмыс оқу
жоспарын аға оқытушы
ФМҒК. Өтепберген Ш.М жазды және МА, АжәнеГ кафедрасының мәжілісінде
талқыланды.
«_30_»_қазан_2011 ж., хаттама №__1__
Бағдарламаны жазған ___________________
Өтепберген Ш.М.
Кафедра меңгерушісі ____________________
Көксалов Қ.К.
Жұмыс оқу бағдарламасы __________ факультетінің Кеңесімен ұсынылды
«_30_»__қазан_2011 ж., хаттама №_1_
3
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
Пәннің оқу-әдістемелік кешенінің мазмұнының тізімдемесі
№
Құжаттаманың атауы
Беті
Силлабус
4
Дәрістер тезистері
8
Семинар сабақтарының қысқаша сипаттамасы (жоспарлар,
семинар
сабақтарын жүргізуге арналған тапсырмалар,
СОӨЖ, СӨЖ);
57
СОӨЖ, СӨЖ тапсырмалары.
82
Емтиханға дайындалуға және өзін-өзі тексеруге арналған
тапсырмалар, соның ішінде тесттер
96
Негізгі және қосымша әдебиеттер тізімі, соның ішінде
электрондық тасуыштардағы әдебиеттер
109
Глоссарий
109
Интернет-ресурстардың тізімі
110
4
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
Студенттерге арналған пән силлабусы
1. Пән туралы ақпарат
Пән атауы
Ықтималдықтар теориясы және
математикалық статистика»
Пән коды
Кредит саны
2
Курс, семестр
3
5
Мамандық аты
«Ақпараттық жүйе»
Мамандық шифры
050703
Кафедра
Математикалық талдау,
алгебра мен геометрия »
Факультет
Физика-
Математика
Оқыту формасы (күндізгі), (ОБ, АОБ, ЖО)
Оқыту тілі қазақша
Пәнді өткізу уақыты және орны: кесте бойынша
Консультация уақыты: кесте бойынша
Рубеждік бақылау кестесі: семестрде екі рет
Оқытушының аты-жөні, лауазымы,
дәрежесі, атағы
ф.м.ғ.к: Отепберген Ш.М
Контактілік ақпарат(телефон, e-mail)
Телефон : т:2384694, ұялы т:87029135561
Оқытушы қолы
Кафедра меңгерушісі
Коксалов К.К.
2. Пәннің қысқаша сипаттамасы. «ЫТжәне МС» пәні жоғары математиканың маңызды
бөлігін құрайды; ЫТ негізгі түсініктерін және оның әртүрлі салалардағы қолданыстарын
қамтиды; ЫТ және МС пәнінде фундаментальды түсініктер, заңдылықтар сондай-ақ
математикалық статистиканың негізгі теориясы мен әдістемелері оқытылады.
Математика мамандықтары студенттердің (бакалавриат) жалпы математикалық
дайындығын қамтамасыз ету. Студенттердің математика курсы бойынша алған білімдерін,
машықтарын, икемдіктерін жүйелеуді; стандарт және стандарт емес математикалық
есептерді шешу техникасында тәжірибелік дағдырларды игеруді; оқу-танымдық
белсенділігін дамыту мен қалыптастыруды мақсат етеді.
Курстың мақсаты мен міндеттері: Студенттердің математика курсында игерген білім,
біліктілік және дағдыларын жетілдіру.
Есеп шығарудың әдістемелік ұғымдарын қалыптастыру.
Студенттерді есеп шығаруға машықтандыру.
Теориялық алған білімдерін есеп шығаруда тиімді қолдана білуге дағдыландыру.
«ЫТжәне МС» негіздерін оқи отырып, студент білу керек: -
зерттеуге қажет статистикалық мәліметтерді жинақтай білуі;
Элементарлық математика негіздерін, алгебра және анализ бастамалары, геометрия
негіздерін, математика есептерін шешу практикумы пәндері бойынша бағдарламалық
материалдарды.
5
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
«ЫТжәне МС» негіздерін оқи отырып, студент меңгеру керек:
- оқу-әдістемелік әдебиеттермен жұмыс машықтарын;
- білімдерін қолдану дағдыларын;
3. Пән пререквизиттері: алгебра, геометрия, элементер математика, мектеп математика
курсы бойынша ЫТ мен МС элементтері, математикалық талдау
элементтері.
4 . Пән постреквизиттері: математиканы оқытудың теориясы мен әдістемесі, қазіргі
математикалық білім жүйесі, кәсіби педагогикалық практика,
күнделікті
педагогикалық қызметтерінде.
5. Күнтізбелік-тақырыптық жоспар.
- математикалық модель құрастыра білуі;
- сапалық математикалық зерттеу жүргізе білуі қажет
№
Пән бөлімдерінің аттары
ап
т
а
Аудиториялық
сабақтар
Тапсырма түрі
(сипаттамасы)
Бар-
лығы
(сағ.)
Контактілік
сағаттар
СОӨЖ
(сағ.)
СӨЖ
(сағ.)
Дәрі
(сағ.)
Пр/сем./зерт
студ саб
(сағ.)
1
Ықтималдықтар теориясы-
ның негізгі түсініктері
1
1
2
2
2
6
2. Негізгі теоремалары.
2
1
2
2
2
6
3. Бернулли формуласы
3
1
2
2
2
6
4. Тәжірибелердің қайталануы
Бернулли формаласы.
Лапластың локальды,
интегралды теоремалары.
4
1
2
2
2
6
5. Дискретті кездейсоқ
шамалар.
5
1
2
2
2
6
6. Үзіліссіз кездейсоқ шама-
лар.
6
1
2
2
2
6
6
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
Барлығы
15
15
30
30
30
90
6. Оқытуға арналған әдебиеттер
Негізгі әдебиеттер:
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М: ВШ ,2006г.
2. Гмурман В.Е. Руководства к решению задач по теории вероятности и
математической статистике. М:ВШ, 2000г.
3. ЖаңбырбаевБ.С., Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика
элементтері.
Алматы: Мектеп, 1988ж.
4. Көксалов Қ.К., Досмаилов Т.Қ. Жоғары математиканың СӨЖ тапсырмалары. Алматы:
ҚазҰПУ, 2009.
5. Көксалов Қ.К., Досмаилов Т.Қ. Жоғары математиканың тірек конспектілері.
Алматы:
ҚазҰПУ, 2009.
Қосымша әдебиеттер:
1. Бектаев Қ. Ықтималдықтар териясы мен математикалық статистика.А:-1991ж
7. Үзіліссіз кездейсоқ шама-
лардың математиканың
үміті, дисперсиясы.
7
1
2
2
2
6
8. Матем.статистиканың элем.
8
1
2
2
2
6
9. Үлестірім параметрлерінің
статистикалық бағалары
9
1
2
2
2
6
10. Бас жиынтық және терінді
дисперсиясы.
10
1
2
2
2
6
11 Теріндінің сандық сипатта-
маларын есептеу әдістері.
11
1
2
2
2
6
12. Шартты эмпирикалық
моменттер
12
1
2
2
2
6
13 Тәжірибе мәліметтері бой-
ынша нормальдық қисық
13
1
2
2
2
6
14 Корреляция теория
элементтері
14
1
2
2
2
6
15 Топтастырылған мәлімет-
тер бойынша сызықтық
терінділік теңдеудеуінің
параметрлерін табу
15
1
2
2
2
6
7
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
2 . Гмурман В.Е. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистики», М; «Высшая школа», 2002г.
7. Бағалау саясаты
10. Оқытушы саясаты (студенттің этикасы)
- Сабақтан кешікпеу. - Сабақ кезінде сөйлеспеу,себепсіз сабақ жібермеу.
- СОӨЖ,СӨЖ жұмыстарына қатысу. - СОӨЖ,СӨЖ жұмыстарына белсенділікпен
қатысу.
- Ұялы телефонмен сөйлеспеу.
№
Жұмыс түрі
1-аралық
бақылау
1-аралық
бақылау
Қортынды
бақылау
1.
Сабаққа қатысу
дәріс – 5 семинар - 5
10
10
2.
Практика:
Ойлау дәлдігі-5
белсенділік - 5
тақтадағы жұмыс – 10
бақылау жұмысы -5
үй жұмысын тексеру -5
30
30
3.
СОӨЖ,СӨЖ қатысу
30
30
4.
Теория:
дәріс-5
бақылау тесті-10
Коллоквиум- 10
Реферат-5
30
30
100
100
100
Барлығы
300
8
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
2.2. Дәрістер тезистері
1-Модуль. ЫҚТИМАЛДЫҚТАР ТЕОРИЯСЫ
1-дәріс.Тақырыбы:Ықтималдықтар теориясының негіздері. .Ықтималдықтар
теориясының негіздері.
Жоспары:1.Кездейсоқ оқиғалар.
2.Оқиға ықтималдығының аксиомалық анықтамалары.
3.Қосылыстар теориясы элементтері.
Ықтималдықтар теориясы және оған негізделген математикалық статистика
біртекті жаппай кездейсоқ құбылыстардың үлестірілу заңдылықтарын зерттейтін
математикалық
ғылымдар.
Математикалық
абстракциялау-
байқалып
отырған
құбылыстарды олардың нақты табиғатына байланыссыз зерделеу
құбылыстардың
мейлінше кең класына қолдануға жарамды ғылыми негізделген жалпы заңдылықтар мен
қағидаларды айқындауға мүмкіндік береді. Шарттар мен амалдардың белгілі бір
жиынтығын орындауды сынақ немесе тәжірибе дейміз, оның қорытындысы сынақ
нәтижесі болады. Кездейсоқ нәтиже беретін тәжірибе кездейсоқ эксперимент деп, ал
нәтиженің өзі кездейсоқ (мүмкін) оқиға деп аталады. Сынақтың барлық мүмкін
нәтижелерінің жиынтығы- кездейсоқ эксперименттің элементар бітістерінің жиыны
(оқиғалар өрісі) Ω арқылы, ал қандайда болмасын нысанадағы (біз көздеген) кездейсоқ
оқиғаның пайда болуын қамтамасыз ететін нәтижелердің жиыны ω арқылы белгіленеді.
Сынақ қорытындысында пайда бола алмайтын нәтиже: ω=0 ( құр жиын) мүмкін
емес оқиға деп аталады. Ал, ω=Ω болып, пайда болуы міндетті, сынақтың бірден-бір
мүмкін қорытындысы болатын нәтиже- ақиқат оқиға деп аталады. Қалған жағдайларда
енбе жиындар қатынасына:ω
келеміз. Оқиғаларды латын алфавитінің бас
әріптерімен: A,B,C… белгілейді. Сынақ нәтижесінде бір мезгілде пайда бола алатын
оқиғаларды , мысалы, A және B бірігетін оқиғалар дейміз. Оларға қолайлы нәтижелердің
жиындары ω(A) және ω(B) қиылысушы жиындар (1-сурет) болады. Қарсы жағдайда:
=0 A және B бірікпейтін оқиғалар болады. Ал,
қатынасы B
оқиғасы әруақытта A-ға ілесе пайда болатынын білдіреді. Қысқаша
және
болса, эквивалент (балама) жиындар ұғымына келеміз: A=B, оқиғалар тепе-теңдігі орын
алады.Оқиғалар қосындысы-жиындардың
бірігуі:
A+B=ω(A)
ω(B)-
қосылғыш
оқиғалардың кем дегенде біреуі пайда болса жарайтынын сипаттайтын оқиға.
Оқиғалардың көбейтіндісі- жиындардың қимасы (айқасуы) :
AB=ω(A)
ω(B)- көбейткіш оқиғалардың қосарлана пайда болуын білдіретін
оқиға. Оқиғалардың айырымы
A-B=ω(A)×ω(B)
жиын ретінде A-ға тиісті, бірақ,B-ның құрамына енбейтін
элементтерден тұрады. Ал, оқиға ретінде ол A-ның пайда болып, B –ның жоқ екенін
өрнектейді. Сынақтың бірден-бір мүмкін нәтижесі бола тұра, бірікпейтін A және Ā
оқиғаларын қарама-қарсы оқиғалар дейміз. Бұл жағдайда ω(Ā)=Ω×ω(A) ω(A) жиынының
Ω-ға дейінгі толықтауышы деп аталып, сынақтың
оқиғасының пайда болуын жоққа
шығаратын элементар нәтижелерінен ғана тұрады.
Оқиғаларға қолданылатын амалдар төмендегі заңдарға бағынады:
- коммутативтік заң (орын алмастыру):
BA
AB
A
B
B
A
,
-ассоциативтік (терімділік) заң (топтастыру):
)
(
)
(
C
B
A
C
B
A
,
С
С
-көбейтудің
қосуға
қарағандағы
дистрибутивтігі
(үлестірімділігі)
С
С
.
Кездейсоқ эксперименттің бірден-бір мүмкін элементар нәтижелері
,
,
1
қос-қостан бірікпейтін болса,
9
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
,
1
k
i
i
,0
i
0
j
i
,
( i , j =1,
, k),
k
i
i
,1
жиындар системасын Ω жиынының бөлшектенуі (2-сурет) деп
атап,
,
,
1
оқиғалардың толық тобын (жүйесін) құрайды дейміз.
Оқиға ықтималдығының аксиомалық анықтамалары.
1. Статистикалық анықтама. Кездейсоқ эксперимент шарттары өзгермеген
күйінде N рет қайталанды, соның ішінде біз мүдделі болып отырған оқиға
M
(0
) рет байқалды делік;
және
сандары оқиғаның пайда болуының
(табыстың) абсолют және салыстырмалы жиіліктері деп аталады. Соңғы қатынас табыс
жиілігінің негізгі көрсеткіші болып саналады.
2. Классикалық анықтама. Ықтималдықтың қазіргі аксиомалық теориясын 1933
ж. А.Н. Колмогоров жасады.Кездейсоқ эксперименттің тең мүмкіндікті нәтижелері
оқиғалардың толық тобын
,
құрайды десек , ω(A) A оқиғасының пайда
болуына қолайлы нәтижелердің жиыны болады; Ω және ω шекті жиындар, оларды
құрайтын
элементтердің сандары сәйкес N(Ω)=n, N(ω)=m десек, A оқиғасының
ықтималдығы
n
m
(1.1)
сандық функциясымен анықталады. Олай болса, кездейсоқ сынақта оқиғаның пайда болу
ықтималдығы оған қолайлы нәтижелер санының барлық мүмкін нәтижелердің санына
қатынасына тең.
Мүмкін емес оқиға үшін m=0, ақиқат оқиға үшін m=n, ал басқа кездейсоқ оқиғалар
үшін
0
<m<1, демек
1
0
p
. «Классикалық ықтималдық формуласымен » (1.1)
анықталатын шама кәміл (шартсыз) ықтималдық деп аталып, ықтималдықтардың үш
аксиомасына (шартына) қанағаттандырады:
1. P(A)≥0;
2. толық топ құрайтын оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысы бірге тең:
1
1
k
i
i
,
1
;
3. қос-қостан бірікпейтін оқиғалардың кезкелген шекті не шексіз тізбегі
,
,
,
1
n
j
i
j
i
,0
үшін
i
i
i
i
.
3. Геометриялық ықтималдық. Үзіксіз Ω және ω жиындары сандық осьте
1
R
,
жазықтықта
2
R
немесе кеңістікте
3
R
белгілі бір аймақ құрайды.
Сәйкес аралықтың ұзындығын, жазық фигураның ауданын немесе дененің
көлемін сол нысандармен анықталатын жиынның өлшемі (mesure) деп атап, mes(Ω),
mes(ω) немесе , қысқаша , m(Ω), m(ω) арқылы белгілейміз. Өлшемі шекті аймақты
сәйкес кеңістікте
3,
2,
1
i
R
i
квадратталатын (кубталатын) аймақ дейміз.
Квадратталатын аймақтар үшін
m
m
(1.2)
2-дәріс.Тақырыбы: Ықтималдықтарды көбейту формуласы
Жоспары: 1.Шартты ықтималдық.
2. Ықтималдықтарды қосу теоремасы.
3.Толық ықтималдық формуласы.
10
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
4. Бейес формулалары.
Кездейсоқ эксперименттің нәтижесінде пайда болу ықтималдықтары нөлге тең
емес:
>0 болатын A және B оқиғаларының бірі пайда болғанда екіншісінің
ықтималдығы өзгермейтін болса, оларды өзара тәуелсіз дейміз. Қалған жағдайларда олар
тәуелді болады. Екі оқиғаның тәуелсіздігінің анықтамасы ретінде
(1.9) теңдігін қабылдауға болады. Бірақ, ол көбіне оқиғалардың тәуелсіздігін тексеруге
қолданылады.Шекті
n
,
,
1
оқиғалар жиынының кез келген m
n
m
2
элементінен жасалған теру үшін
,
,
1
1
m
m
k
k
k
k
m
j
n
k
j
,1
,
,
,1
(1.10)
болса, бұл оқиғалар жиынтығында тәуелсіз дейміз. Оқиғалардың (n>2) жиынтығында
тәуелсіз
болуының қажетті
шарты олардың
қос-қостан тәуелсіз болуында.
Жиынтығында тәуелсіз оқиғалар үшін
,
1
1
1
n
i
i
n
n
N
n
(1.11)
теңдігі (n=2 болғанда (1.9)) ықтималдықтарды көбейту формуласы деп аталады.Тәуелді
оқиғалар үшін
,
/
>0,
,
/
>0
(1.12)
саны кездейсоқ эксперименттің нәтижесінде оқиғалардың бірі
пайда болғанда
екіншісінің де пайда болуының шартты ықтималдығы деп аталады.
Шартты ықтималдықтың бұл аксиомалық түсінігі ықтималдықтың классикалық
схемасына қайшы келмейді. Мысалы, тәжірибенің барлық мүмкін n=N(Ω) нәтижесінің A
оқиғасының пайда болуына қолайлысы m (m≤n,4-сурет) десек,
n
m
Оқиғаның
(A) пайда болуы осы m нәтиженің бірінің іске асқандығын көрсетеді.
Енді A-мен қатар B оқиғасының пайда болуын қарағанда аталған m нәтиже
мүмкіндіктердің жалпы санын құрайды. Солардың ішінде k (k≤m) нәтиже B-ның да,
демек, AB оқиғасының да пайда болуына қолайлы болсын. Классикалық жүйе (1.12)-нің
екінші формуласына келтіреді:
n
m
n
k
m
k
:
/
Тәуелсіз оқиғалар үшін
,
/
/
Егер
0
0
болса, (1.12)-дегі шартты ықтималдықтар тиісінше
анықталмаған болып саналады. Олардың екеуі де анықталған болса, онда тәуелді
оқиғалар үшін ықтималдықтарды көбейту формуласы
/
/
(1.13)
түрінде жазылып, оқиғалардың бірге пайда болуының ықтималдығын табу үшін
қолданыла алады. Жиынтығында тәуелсіз емес
n
1
оқиғалары үшін (1.13)-ті
жалпы түрде
1
2
1
2
1
3
1
2
1
1
/
/
/
n
n
n
(1.14)
деп жазуға болады.
Ықтималдықтарды қосу теоремасы.
Теорема. Бірікпейтін бірнеше оқиғаның қайсысы бола да біреуінің пайда
болуының ықтималдығы олардың ықтималдықтарының қосындысына тең:
11
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
,
1
1
k
i
i
k
i
i
j
i
j
i
,0
(
k
j
,1
)
(1.15)
Дәлелдеу. Айталық, кездейсоқ эксперимент үшін
n
, соның ішінде
j
оқиғасының пайда болуына
j
m
нәтиже қолайлы болсын. Оқиғаларға мүмкін
(жиындарға қолданылатын ) амалдар қолдану арқылы алынған оқиғаны күрделі оқиға
дейміз. Күрделі
k
1
оқиғасы пайда болу үшін қосылғыш оқиғалардың кез
келген біреуі пайда болса болғаны, демек, оған
n
m
m
k
1
нәтиже қолайлы.
Классикалық схема бойынша
;
1
1
1
1
n
m
n
m
n
m
m
k
i
i
k
k
k
i
i
Бірікпейтін
2
1
,
(k=2) оқиғалары үшін ω(A) және ω(B) жиындары
қиылыспайды (айқаспайды):
0
. Екі жиынның да барлық элементтері
оқиғасының пайда болуына қолайлы, олардың ортақ элементтері жоқ: (1.15)
B
P
A
P
B
A
P
түрінде жазылады. Ал, бірігетін оқиғалар үшін
B
A
оқиғасының пайда болуына қолайлы нәтижелердің санын анықтағанда
аймағына сай келетін нәтижелер қайталанып алынбас үшін ықтималдықтарды қосу
теоремасын
(1.16) түрінде жазамыз.
Бірігетін n оқиға үшін ықтималдықтарды қосудың жалпыланған формуласы
n
n
n
k
j
i
k
j
i
n
j
i
j
i
n
i
i
n
i
i
A
A ...
1
1
1
1
1
1
1
(1.17)
түрінде жазылады. Қосылғыштардың саны өскен сайын оны қолдану күрделі
есептеулерді талап етеді. Мысалы, бірігетін үш оқиғаның кем дегенде біреуінің пайда
болу ықтималдығы
C
C
C
C
C
(1.18)
Оқиғалардың толық тобын құру арқылы есептеуді азайтуға болады. Қарама-қарсы
оқиғалар қашанда толық топ құрайды:
(Ā)=p+q=1
(1.19)
Бұл шарт
C
және
С
қарама-қарсы оқиғалары үшін де орындалады,
демек,
.
1
C
C
Жалпы түрде
n
i
i
n
i
i
1
1
1
.
(1.20)
Қаралып отырған оқиғалар жиынтығында тәуелсіз болса:
C
C
,
1
n
i
i
n
i
i
1
1
1
(1.21).
Толық ықтималдық формуласы. Байес формулалары.
Белгілі бір кедейсоқ эксперименттің нәтижесінде байқалатын A оқиғасы сол
тәжірибенің толық топ құрайтын, A-ға қарағанда гипотезалар (болжамдар) деп
аталатын
n
,
,
1
нәтижелерінің
бірімен ғана
қосарласа пайда бола алсын.
Соңғылардың ықтималдықтарының қосындысы
n
i
i
1
оқиғасының
толық ықтималдығы деп аталады. Оны ықтималдықтарды қосу аксиомасының (1.15) және
ықтималдықтарды көбейту формуласының (1.13)
көмегімен табуға болады. Бізге
12
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
болжамдардың қайсысы іске асса да бәрі бір, тек A оқиғасы пайда болса болғаны.
Сондықтан
i
n
i
i
n
i
i
/
1
1
(1.22)
Соңғы теңдік толық ықтималдық формуласы деп аталады.
Енді тәжірибе өткізіліп ,
оқиғасының пайда болғаны белгілі болды делік. Бұл
i
i
n
i
,
,1
күрделі оқиғаларының да бірі пайда болды деген сөз; (1.13)
бойынша
,
/
/
i
i
i
.,
1 n
i
Бұдан болжамдардың тәжірибеден кейінгі (апостериорлық) ықтималдықтары
.
,1
,
/
/
/
/
1
n
i
n
i
i
i
i
i
i
i
i
(1.23)
3-дәріс. Тақырыбы:Тәуелсіз сынақтар тізбегі.
Жоспары:1. Ықтималдықтардың биномдық үлестірілуі.
2. Ықтималдықтардың үлестірілу көпбұрышы.
3. Тәуелсіз сынақтар тізбегінің полиномдық жүйесі.
Сынақтар бірдей жағдайда көп-көптен еселеп қайталанатын тәжірибелерде де
бірқатар маңызды заңдылықтар байқалады. Егер A оқиғасының (нәтижесінің) әрбір
сынақта пайда болу ықтималдығы басқа сынақтардың нәтижелерінен тәуелсіз болса,
онда сынақтар тізбегі A оқиғасына қарағанда тәуелсіз дейміз. Қайталанба тәуелсіз
сынақтардың
қарапайым класы
ретінде әрбір сынақта оқиғаның пайда болу
ықтималдығы тұрақты екі-ақ нәтижесі бар (биномдық жүйе): A-табыс,
,
-
табыссыздық,
p
q
1
сынақтардың тізбегін
алуға болады. Мұндай
сынақтардың көрнекті мысалдары:1) теңге үйіру. Мұнда, айталық, елтаңбаның (гербтың)
түсуі-табыс, цифрдың (тордың) түсуі табыссыздық және
5.
0
q
p
. 2) нысанаға оқ ату:
тигізу-табыс, мүлт кету-табыссыздық т.с.с.
Тәуелсіз
n
сынақ топтамасында
n
m
m
0
рет табысқа ие болу ықтималдығын
m
n
табалық. Топтамадағы сынақтарды ретінше
n,
,1
номірлерімен, ал табыс
келтірген сынақтарды
n
k
k
m
,
,1
,
,
1
сандарымен белгілеп, оларды сәйкес Ω және
ω жиындарының элементтері ретінде қаралық. Бізге A оқиғасы сынақтар топтамасында
дәл m рет пайда болса болғаны, табыс әкелген сынақтардың рет санын ескермеуге
болады. Сондықтан m рет табысқа ие болудың барлық мүмкін жағдайларының саны n
элементтен
m-нен жасалған
терулердің
санымен
m
n
C
анықталады. Олардың
әрқайсысында
оқиғасы m рет,
оқиғасы
m
n
рет пайда болып, ықтималдықтары
m
n
m
q
p
бірдей
m
n
m
түріндегі күрделі оқиға орын алады.Ықтималдықтарды
қосу аксиомасының негізінде Бернулли формуласы деп аталатын
m
m
n
m
n
n
m
n
m
m
n
n
p
q
C
q
p
C
m
(2.1)
теңдігіне келеміз. Натурал аргумент функциясының
n
m
m
n
,0
мәндерінің
жиыны қайталанба тәуелсіз сынақтарда ықтималдықтардың биномдық үлестірілуі
(Бернулли үлестірілуі) деп аталады. Барлық n сынақта табыс санының мүмкін мәндері
13
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
n
m
,
,1
;0
толық топ құрайтындықтан
ықтималдықтардың екінші аксиомасы
бойынша
1
0
0
n
m
n
m
n
m
m
n
n
m
n
q
p
q
p
C
m
(2.2)
Қарапайым түрлендірулердің көмегімен
,
!1
!1
!
1
1
1
m
n
m
n
q
p
m
n
m
n
m
,
!
!
!
m
n
m
n
q
p
m
n
m
n
m
1
1
!1
!1
!
1
m
n
m
n
q
p
m
n
m
n
m
шамаларының арасындағы байланысты табуға болады. Атап айтқанда:
m
m
m
n
q
p
m
n
n
,
1
1
1
1
m
m
m
n
q
p
m
n
n
(2.3)
Бұл балама қатынастар биномдық ықтималдықтар үшін реккуренттік формула деген
атпен белгілі.
«Дискретті үлгідегі»
m
n
функциясының мәндер жиынында n+1 сан бар. Оның
m
m
n
,
нүктелерін түзу кесінділермен қосу арқылы тұрғызылған «графигі»
(5,6-суреттер) ықтималдықтардың үлестірілу көпбұрышы деп аталатын жазық
сынық сызық болады. Аргументтің ең үлкен ықтималдық
m
m
n
n
max
0
сай
келетін
0
m
мәні A оқиғасының n тәуелсіз сынақтар топтамасында пайда болуының ең
ықтимал саны деп аталады.Анықтама бойынша:
1
1
0
0
0
m
m
m
n
n
n
.
Бұл қос теңсіздіктің әрқайсысын рекуренттік формуланың (2.3) көмегімен шешіп,
табыстың ең ықтимал саны орналасқан кесіндіні табамыз:
p
np
m
q
np
0
Кесіндінің ұзындығы
,1
q
np
p
np
ал
0
m
болғандықтан
x
санының бүтін бөлігі -
x
функциясының белгілеуін пайдаланып,
p
n 1
бөлшек сан
болғанда
p
n
m
1
0
(2.4) деп жаза аламыз.
Осылайша анықталғын натурал сан
n
m
,
,1;
0
шамасының модасы деп
аталады. Егер
p
n 1
бөлшек сан болса, онда
0
m
нің осы санның бүтін бөлігіне тең
бір ғана мәні бар және биномдық үлестірілуді унимодалы дейміз. Ал,
p
n 1
, демек,
1
1
n
q-
np
p
де бүтін сан болса, онда оның екеуі де
0
m
нің мәні бола алады.
Бұл жағдайда үлестірілуді бимодалы деуге болар еді.Интервалдық ықтималдық деп
аталатын бұл шаманы табу үшін ықтималдықтарды қосу аксиомасын пайдаланып, (2.1)
өрнегінің
2
1
1
,
,1
,
m
m
m
m
болғандағы мәндерінің қосындысын анықтасақ
жеткілікті:
2
1
2
1
2
1
m
m
m
m
n
m
m
n
m
m
m
n
q
p
C
m
m
m
m
(2.5)
Бұл n тәуелсіз сынақта A оқиғасының пайда болу санының берілген
2
1
,m
m
аралығында жатуының ықтималдығы;
n
m
m
2
1
,0
болғанда (2.2) бойынша
.1
0
n
m
n
Егер (2.5) өрнегінде қосылғыштар саны көп болса,
есептеуді
14
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
жеңілдету үшін оқиғалардың толық тобын, қарама-қарсы оқиғалар системасын құруға
болады. Мысалы,
k
m
n
0
-ны табу керек және
k
n
k
болса, онда
k
m
k
m
n
n
1
(2.6) теңдігін пайдаланған тиімді.
4-дәріс.Тақырыбы: Лаплас теоремалары.
Жоспары:1.Биномдық үлестірілудің асимптоталық формулалары.
2.Лапластың локальдық және интегралдық теоремалары.
3. Пуассон және Лаплас интегралдары.
Сынақтардың саны n өскен сайын Бернулли формуласын қолдануда есептеу
қиындықтары арта түседі. Сондықтан
француз
ғалымдары: 1730 жылы Муавр
5.
0
q
p
жағдайы үшін, кейін Лаплас кез келген
1
0
p
p
үшін (2.1)—дің
орнына
σ
npq
np
m
x
e
m
x
n
,
,
2
1
2
2
(2.8)
жуық формуласын қолдануға болатынын дәлелдеді. Мұнда
m
n
ықтималдығы
аргументтің x, демек, тәуелсіз сынақтар топтамасындағы табыс санының m жеке
(«локальдық-жергілікті») мәні үшін ғана анықталады. Анықталу дәлдігі
x
өскен сайын
арта түседі. Сондықтан (2.8) математикалық әдебиетте биномдық үлестірілудің
асимптоталық формуласы, ал оның мазмұны Муавр- Лапластың локальдық теоремасы
деген атпен белгілі. Мұндағы
m
n
өрнегі ықтималдық функциясы деп аталып,
x
арқылы белгіленеді. Оның графигін ықтималдық қисығы дейміз. Қолдануды жеңілдету
үшін
2
2
2
1
x
e
x
(2.9)
функциясы мәндерінің кестесі түзілген. Кестенің не графиктің көмегімен
x
e
m
x
n
2
2
2
1
(2.10)
ықтималдығын жуықтап табуға болады.
Ықтималдық функциясын
x
аналитикалық әдістермен зерттеп,
оның
қасиеттерін анықтап, ықтималдық қисығын тұрғызуға болады.
Функция бүкіл сандық осьте анықталған:
,
D
, жұп:
x
x
, оң
таңбалы:
R
x
x
,0
. Графигі жоғарғы жарты жазықтықта жатыр, ордината осіне
қарағанда симметриялы (7-сурет).
Ықтималдық қисығы абсцисса осімен қиылыспайды, бұл ось
x
y
қисығының жатық
асимптотасы:
1.
0
lim
x
x
. Функцияның жалғыз ғана:
0
x
сынақ нүктесі бар. Ол
арқылы өткенде туынды
2
'
2
2
x
e
x
x
таңбасын «+» тен «-» ке өзгертеді. Демек, координаталардың бас нүктесінде функцияның
максимумы бар:
15
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
.
399
,0
2
1
0
max
2.Екінші туынды
2
2
'
2
2
1
x
e
x
x
1
x
болғанда ғана нөлге айналады және бұл нүктелер арқылы өткенде таңбасын
өзгертеді. Ендеше, олар ықтималдық қисығының кері иілу нүктелері:
242
,0
1
Жеке сынақтарда табыс ықтималдығы p құнарсыз аз болса, A сирек оқиғалар
қатарына жатқызылады. Егер q нөлге таяу болса,
-ны сирек кездесетін оқиға деп
санаймыз. Сирек оқиғалардың қайталанба тәуелсіз n сынақта m рет пайда болуының
ықтималдығын табу үшін Пуассонның асимптоталық формуласы деп аталатын
a
m
n
e
m
a
m
!
(2.11)
теңдігін пайдаланған тиімді. Оның дәлдігі
10
np
a
болғанда айырықша байқалады
(3-есеп). Пуассонның үлестірілуі үшін интервалдық ықтималдық
a
m
m
m
m
e
m
a
m
m
m
2
1
!
2
1
(2.12)
3-есеп. Вагон құрылысы заводының құрастыру цехына түскен 1000 доңғалақтар
қосағының төртеуінің ақауы бар. Тәуекел алынған 50 қосақтың ішінде жарамсызы жоқ
болуының ықтималдығын табыңыз.
Шешу. Шарт бойынша
.0
,
50
,4
,
1000
m
n
Есептеуге ыңғайлы болу
үшін
996
,0
,
004
.0
q
деп алалық.
Формулалар бойынша:
1)Бернуллидің (2.1)
8222
,0
0
996
,0
lg
50
0
lg
996
,0
0
50
50
50
50
;
2) Лапластың (2.10)
,
4444
,0
q
np
x
1-кестеден
8032
,0
45
,0
3614
,0
0
,
3614
,0
50
npq
x
x
;
салыстырмалы
қате
%
3,
2
8222
,0
100
8222
,0
8032
,0
;
Пуассонның (2.11):
2,
0
np
a
,
8187
,0
1
0
1
!
,1
5
2,
0
50
e
e
m
a
m
,
салыстырмалы қате 0,5%.
Сонымен, жеке сынақта пайда болу ықтималдығы өте аз
004
,0
сирек
оқиғасы үшін Пуассонның асимптоталық формуласы
10
2,
0
np
Лапласстың
аттас формуласымен
3
45
,0
салыстырғанда жуықтығы ең тәуір (дәлдігі
жоғары) нәтиже береді.
Лапластың интегралдық теоремасы. Пуассон және Лаплас интегралдары.
16
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
Теорема. Үлкен топтамадағы n тәуелсіз сынақтың әрқайсысында табыс
ықтималдығы P өзгермейтін болса,
dx
e
dx
x
m
m
m
x
n
x
x
n
n
n
2
2
1
2
2
1
lim
2
1
lim
lim
;
мұнда
.2;
1
,
i
x
np
m
i
i
Лаплас теоремасының толық дәлелдеуі ықтималдықтар теориясының қысқаша
курстарында келтіріле бермейді. Бірақ, (2.5)-ке (2.10) өрнектерін қойсақ, интегралдық
қосынды шығатынын, ал ол
n
-да шекке көшкеннен кейін анықталған интегралға
айналатынын айта кетсек артық болмайды. Анықталған интегралдың геометриялық
мағынасы бойынша табыс санының m
2
1
,m
m
аралығында жатуының немесе
2
1
,x
x
x
болуының ықтималдығы табаны
2
1
,x
x
болатын, жоғарыдан ықтималдық
қисығымен шектелген қисықсызықты трапецияның ауданына тең:
S
x
x
x
m
m
m
n
n
2
1
2
1
.
Ықтималдық қисығының “астындағы” барлық аудан бірге тең. Шынында да,
0
m
болғанда
q
np
npq
np
x
1
; ал
n
m
десек,
n
p
nq
npq
nq
x
,
2
. Өйткені сынақтар топтамасы үшін p мен q
өзгермейтін сандар. Ендеше
dx
e
dx
x
n
m
x
n
2
2
2
1
0
1
(2.13)
Ықтималдық қисығы ордината осіне қарағанда симметриялы болғандықтан
2
1
0
0
dx
x
dx
x
.
(2.14)
Меншіксіз интегралда (2.13)
z
x
2
z
x
dz
dx
,
2
алмастыруын жасасақ,
dz
e
z
2
.
(2.15)
Жоғары шегі айнымалы, ықтималдық функциясынан
,0
,0x
кесіндісі бойынша
алынған анықталған интеграл
dt
e
dt
t
x
x
x
x
0
2
0
2
2
1
(2.16)
бүкіл сандық осьте
x
функциясының алғашқы бейне функциясы болады. Ол Лаплас
интегралы немесе ықтималдық интегралы деп аталады. Оның мәндерінің де кестесі
жасалған. Негізгі қасиеттерін атап өтелік:
1.Жұп функциядан алынған интеграл болғандықтан
x
функциясы тақ:
x
x
, демек,
,
D
, графигі координаталардың бас нүктесіне
қарағанда симметриялы (8-сурет);
2.
x
функциясы
,
аралығында өспелі және (2.14)-тің
салдарынан
5,
0
lim
x
x
, яғни
5,
0
5,
0
x
,
5,
0
y
түзулері
x
y
қисығының
жатық асимптоталары болады (8-сурет).
17
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
3.Интегралдық теоремадан
x
x
,
x
болғандықтан жеткілікті
үлкен n үшін
1
2
2
1
x
x
m
m
m
n
,
,
,
2
1
x
x
(2.17)
Енді
2
1
,m
m
аралығы
np
m
«нүктесіне » қарағанда, демек,
2
1
,x
x
кесіндісі
координаталардың бас нүктесіне қарағанда симметриялы болсын (9-сурет).
Сонда
0
2
1
x
x
десек,
x
npq
np
m
npq
np
теңсіздіктері тең ықтималды болады да, (2.17)-нің салдарынан
2
x
n
pq
p
n
m
n
pq
n
т
,
немесе
2
n
pq
p
n
m
n
(2.18)
Жақша ішіндегі теңсіздік тәуелсіз n сынақта A оқиғасының пайда болу
жиілігінің оның жеке сынақта пайда болу ықтималдығынан абсолют ауытқуын
бағалауға мүмкіндік береді. Егер бұл ауытқудың жоғарғы шегі
0
берілген болса,
онда
n
pq
деп, α-ны табамыз және
pq
n
p
n
m
n
2
(2.19)
4- есеп. Автотіркеуіш орта есеппен барлық жағдайдың 5%- інде істемей қалады.
Пойызды құрастырғанда 400 жағдайдың 349-дан артығында автотіркеуіш істеді деп
сеніммен айтуға болама?
Шешу: p=0,95 , q=0,05
400
350
400
m
?
,
36
,4
30
05
,0
95
4
95
4
350
1
x
5,
0
5
1
1
x
x
4999
,0
6,
4
36
,4
95
4
400
2
2
x
x
9999
,0
5,
0
4999
,0
400
350
400
m
. Жауап: иә болады.
5- дәріс.Тақырыбы: Кездейсоқ шамалар.
Жоспары:1. Дискретті кездейсоқ шамалар.
2. Үзіксіз кездейсоқ шамалар.
3. Дискретті және үзіксіз үлестірілулердің негізгі түрлері.
Айнымалының мүмкін мәндері жиыны
i
x
шекті (i=1,…,k) немесе санамалы
(i=1,…,k,…) болса, ол ДТКШ (дискретті кездейсоқ шама ) болады. Ол мәндердің
қабылдану ықтималдықтары
1
,0
)
(
i
i
i
i
P
P
x
X
P
. Соңғы теңдік
нормалау
шарты деп аталады, оған барлық мүмкін мәндердің ықтималдықтары енеді. Екі жиын
18
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
да:
i
x
және
i
P
белгілі болған жағдайда ғана ДТКШ берілген болып саналады.
Әдетте ол жиындардың элементтері дискретті кездейсоқ шаманың үлестірілу заңы деп
аталатын кестеге
X
1
x
...
k
x
...
P
1
p
...
k
p
...
орналастырылады. Әрбір
x
X
немесе
x
X
түріндегі қатынас кездейсоқ оқиға
ретінде
қарастырылады.
Кездейсоқ
Χ
шамасымен
байланысты
x
X
x
X
x
x
X
,
,
2
1
«интервалдық оқиғаларын» сипаттау үшін олардың біреуінің ғана, мысалы, соңғысының
ықтималдығы берілсе болды.
Заттық айнымалы функциясы
x
X
P
x
F
,
,
x
(3.1)
Χ кездейсоқ шамасының үлестірілу заңы немесе үлестірілу функциясы деп аталады.
ДТКШ үшін ол « жинақталған ықтималдықтар» функциясы
x
x
i
i
x
X
P
x
F
(3.2)
болады. Мұнда қосынды i индексінің
x
x
i
теңсіздігін қанағаттандыратын барлық
мәндерін қамтиды. Дискретті кездейсоқ шаманың үлестірілу функциясы
0
x
X
P
ықтималдығы бар x нүктесінде (функцияның I-текті үзіктік нүктесі) сол ықтималдыққа
тең шамаға секіреді, өйткені
x
X
P
x
F
x
F
k
k
k
,
)
(
)0
(
,
,
2
1
x
x
x
k
.
(3.3)
Оқиға ықтималдығы болғандықтан үлестірілу функциясының төмендегідей қасиеттері
бар:
1)
,1
0
F
;
x
2)
,0
)
(
F
1
)
(
F
. Өйткені
X
X
,
сәйкес мүмкін
емес және ақиқат оқиғалар;
3)
)
(x
F
барлық сандық осьте кемімейтін функция;
4) кез-келген
R
x
0
нүктесінде
)
(x
F
сол жағынан үзіксіз функция:
)
(
)
(
lim
0
0
0
x
F
x
F
x
x
.
Интервал
2
1
1
2
,
,
,
x
x
x
x
(10-сурет) болғандықтан ықтимал-дықтарды қосу
теоремасы бойынша
)
(
)
(
1
2
2
1
x
F
x
F
x
X
x
P
(3.4)
10-сурет
Бұл теңдік кездейсоқ шаманың кез келген аралыққа «түсу» ықтималдығын
анықтайды.Дискретті кездейсоқ шаманың үлестірілу функциясы
)
(x
F
үзіктік
нүктелері
i
x
x
бар үзбе-тұрақты болғандықтан оның графигі абсцисса осіне параллель
түзу кесінділерінен тұратын « баспалдақ сызық» (11-сурет) болады.
11-сурет
ДТКШ –ның үлестірілу заңы кесте түрінде берілсе, жазықтықта
i
i
p
x ,
нүктелерін тұрғызып, оларды түзу кесінділерімен қосып, X шамасы үлестірілуінің
көпбұрышын алуға болады.
Мұны қайталанба тәуелсіз сынақтардағы табыс саны
19
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
m=X дискретті кездейсоқ шама болғандықтан деп түсіну қажет.Дискретті үлестірілудің
негізгі мысалдары:
1)
биномдық үлестірілу
)
.
( p
n
B
:
m
n
m
m
n
p
p
C
m
1
, 0<p<1, m=0,1,2,…,n;
(3.5)
2)
Пуассон үлестірілуі
a
m,
:
e
m
a
m
a
m
,
!
a
,0
,2,
1,
0
m
(3.6)
3)
Паскаль үлестірілуі
1
1
m
m
a
a
m
,
a
,0
,2,
1,
0
m
(3.7)
4)
геометриялық үлестірілу
1
1
m
p
p
m
,
p
,1
0
,2,
1
m
(3.8).
Үзіксіз кездейсоқ шамалар.
Сандық осьтің қандай да болмасын шекті не шексіз аралығында жатқан барлық
мәндерді қабылдай алатын X айнымалысын үзіксіз кездейсоқ шама дейміз. ҮТКШ-ның
мәндер жиыны заттық айнымалының белгілі бір функциясының өзгеру аймағын құрайды.
Мысалы:1) темір жол төсегінің (топырақ үйіндісінің) ені оның табанынан алыстаған
сайын биіктіктің функциясы
l(h)
ретінде кеми түседі; 2) массасы m пойыз v
жылдамдықпен қисықтық радиусы R доғаның бойымен қозғалғанда центрден тепкіш
инерция күшінің
R
mv
J
2
сыртқы рельске қысымы;
3) солтүстік жарты шарда меридиан бойымен келе жатқан пойыз үшін кориолистік
инерция күшінің
v
J
k
2
оң жақ рельске қысымы. Соңғы екеуі жылдамдықтың функциялары
).
(v
J
Мұнда да
5
10
29
,7
сек
1
жердің сөткелік айналуының
бұрыштық
жылдамдығы.
Үлестірілу функциясы (3.1) X шамасының мәндер жиынында бірсарынды өспелі
(ықтималдықтар жинақтала түседі) болады. Оны үзіксіз кездейсоқ шама үлестірілуінің
интегралдық функциясы дейміз. ҮТКШ үшін жеке нүктеге дәл түсу ықтималдығы нөлге
тең, өйткені
x
іс жүзінде мүмкін емес оқиға. Шынында да,
0
))
(
(
lim
0
x
F
x
x
F
x
x
R
x
.
Сондықтан
2
1
2
1
x
X
x
x
X
x
.
Үзіксіз кездейсоқ шаманың
x
x
x
,
интервалына түсу ықтималдығы (3.4)
).
(
)
(
)
(
x
F
x
F
x
x
F
x
x
X
x
Кесіндінің бір өлшеміне келетін ықтималдық, яғни
x
x
F
)
(
қатынасы X кездейсоқ
шамасы ықтималдығының
x
x
x
,
кесіндісінде үлестірілуінің орташа тығыздығы
деп аталады. Оның
0
x
-да шегі бар болса, ол шек кездейсоқ шама ықтималдығы
үлестірілуінің
x нүктесіндегі тығыздығын анықтайды. Нүктедегі тығыздық x
айнымалысының X кездейсоқ шамасының мәндері жиынында үзіксіз, теріс емес
функциясы болады, көбіне p(x) немесе φ(x) арқылы белгіленеді. Функция туындысының
анықтамасы бойынша
20
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
x
F
x
x
F
x
x
)
(
lim
0
(3.9)
Сондықтан φ(x) үзіксіз кездейсоқ шама үлестірілуінің дифференциалдық функциясы
немесе дифференциалдық заңы деп аталады. Оның X-тің мәндері интервалындағы
алғашқы бейне функциясы
)
(x
F
ды
dx
x
x
F
x
)
(
(3.10)
түрінде жазуға болады. Бұл тұжырым үзіксіз кездейсоқ шама анықтамасына пара-
пар.Интегралдардың қасиеті бойынша
dx
x
dx
x
dx
x
x
F
x
F
x
x
x
x
2
1
1
2
1
2
болғандықтан (3.4)
2
1
2
1
)
(
2
1
x
x
x
x
x
F
dx
x
x
X
x
(3.11)
түріне енеді. Интегралдық функциясының
)
(x
F
екінші қасиетіне негізделген
1
dx
x
(3.12)
теңдігі ықтималдықтарды нормалау шарты болып табылады.
Үзіксіз үлестірілулердің негізгі түрлері.
0
1
Бірқалыпты
үлестірілу.
Ықтималдығының
b
a
b
a ,
,
кесіндісінде үлестірілу тығыздығы тұрақты:
const
x
p )
(
кездейсоқ шаманы сол
кесіндіде бірқалыпты үлестірілген дейміз. (3.12)-ден
a
b
1
екенін көреміз.
Сондықтан
b
a
x
b
a
x
a
b
x
,
,
,
,0
1
(3.13)
деп жаза аламыз. Мұндай үлестірілудің интегралдық функциясы
,
)
(
a
b
a
x
dx
x
F
x
a
b
x
a
(3.14)
Бұл функциялардың графиктері түзу сызықтар
(12-сурет);
0
x
оның мәндері бірден артық болуы да мүмкін.
12-сурет
0
2
Қалыпты (нормалы) үлестірілу. Ықтималдықтарының үлестірілу тығыздығы
2
2
2
2
1
a
x
e
x
,
x
(3.15)
болатын үзіксіз кездейсоқ шама қалыпты (гаусстік) заң, қысқаша,
R
a
және
0
параметрлері бар
,a
заңы бойынша үлестірілген делінеді. Үлестірілудің
1,
0
заңына бағынатын X шамасын стандартталған қалыпты (гаусстік) шама дейді.
Оның үлестірілуінің интегралдық функциясы
dt
e
x
F
x
t
2
2
2
1
(3.16)
21
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
Лаплас функциясы деп аталады. Оның көмегімен
,a
N
қалыпты үлесті-рілуі
үшін де интервалдық ықтималдықтарды табуға болады:
a
x
F
a
x
F
x
X
x
1
2
2
1
(3.17)
Интегралдардың қасиеттері бойынша
dt
e
dt
e
x
F
x
t
t
0
2
0
2
2
2
2
1
2
1
Енді (2.14)-ті пайдаланып, Лапластың функциясы мен интегралының (2.16) арасындағы
байланысты табуға болады:
x
x
F
,5,
0
)
(
5,
0
)
(
x
x
F
(3.18)
Бұдан қалыпты кездейсоқ шама үшін (3.11) және (3.4) формулалары (2.17)-мен тең
мағыналы екенін көреміз. Соңғы теңдіктерді бір-бірінен мүшелеп алып және өзара қоссақ
)
(
1
)
(
,
2
)
(
)
(
x
F
x
F
x
x
F
x
F
(3.19)
Бұлардың алғашқысы кездейсоқ шама мәндерінің координаталардың бас нүктесіне
қарағанда симметриялы аралықта жатуының ықтималдығын табуға мүмкіндік берсе,
екіншісі
x
X
және
R
x
x
X
,
оқиғаларының қарама-қарсы екенін
сипаттайды.
Теңсіздіктер
a
X
және
a
X
a
тең ықтималдықты
болғандықтан (3.17)-ден
X-тің
a
-ға қарағанда симметриялы
a
a
,
интервалына түсу ықтималдығы
2
F
F
a
X
(3.20)
немесе
1
2
F
a
X
(3.21)
Лаплас функциясының
)
(x
F
үлестірілудің интегралдық қисығы деп аталатын
графигін тұрғызу үшін
x
y
қисығын жоғары қарай
5,
0
0
F
қашықтыққа
параллель көшіру (13-сурет) керек;
0
a
болғанда
)
(x
F
y
қисығы да абсцисса
осі бойымен ығысады. Интегралдық қисық
)
(x
F
y
тұрғызылған болса,
X
кездейсоқ шамасының берілген
2
1
,x
x
аралығына түсу ықтималдығы (3.11) сол
қисық ординатасының
1
2
x
x
x
-ге
сай өсімшесі ретінде анықталады.
13-сурет
0
3
Көрсеткіштік (экспоненциалдық) үлестірілу.
Бұл атау және
E
белгілеуі ықтималдықтар тығыздығы
0
,0
,0
,0
,
x
x
e
x
x
(3.22)
болатын үзіксіз кездейсоқ шаманың үлестірілу заңына беріледі. Мұндай шама үшін
Лапластың функциясы (3.10) мен интегралының (2.16) бір-бірінен айырмашылығы жоқ:
22
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
0
,
1
0
x
e
dt
e
x
x
F
x
x
t
(3.23)
x
және
x
F
функцияларының
графиктері негізінен оң жақ жарты жазықтықта
орналасады (14-сурет).
14-сурет
0
4
Коши үлестірілуі
x
x
x
,
1
1
2
(3.24)
2
1
1
1
1
2
arctgx
t
dt
x
F
x
(3.25)
функцияларымен сипатталады. Олардың графиктері 7- және 13-суреттерде келтірілген
қисықтарға ұқсас. Біріншісі ордината осіне қарағанда симметриялы, өйткені
x
p
функциясы жұп;
.
1
0
max
p
p
6-дәріс.Тақырыбы: Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары.
Жоспары: 1.Орын сипаттамалары.
2. Шашырандылық сипаттамалары.
3. Классикалық үлестірілулердің сандық сипаттамалары.
Кездейсоқ шаманы
X
сипаттауда оның үлестірілудегі орташа мәні немесе
математикалық үміт (МҮ) деп аталатын
X
санының орны айырықша. Ол
MX
және
a
деп те белгіленеді.
Дискретті кездейсоқ шаманың МҮ-ті оның барлық мүмкін мәндері мен олардың
қабылдану ықтималдықтарының көбейтінділерінің қосындысына тең. Егер ДТКШ-ның
үлестірілу заңы кесте түрінде берілсе, онда
a
p
x
X
M
i
i
i
(3.26)
Шаманың мәндер жиыны
i
x
X
шекті болса,
.
,,
,1
N
k
k
i
Санамалы жиын үшін (3.26) сандық қатар болады. Бұл қатар абсолют жинақты болса,
R
a
. Қарсы жағдайда, яғни
n
n
n
x
1
(3.27)
қатары жинақсыз болса, онда
X
кездейсоқ шамасының МҮ-ті жоқ дейміз. Ал,(3.26)
шартты жинақты ((3.27) жинақсыз) болса, ол жинақтылық (3.26)-те таңбалары әр түрлі
қосылғыштардың өзара жойылуының салдары болып, қосылғыштардың өздерінің абсолют
шамалары мейілінше үлкен болуы мүмкін.
Бірі қандай да болмасын мән қабылдағанда екіншісінің үлестірілу заңы
өзгермейтін кездейсоқ шамаларды өзара тәуелсіз дейді.
Кездейсоқ шамалар МҮ-тінің қасиеттерін атап өтелік.
1.
Тұрақты
(кездейсоқ
емес)
шаманың
МҮ-ті
тұрақтының
өзіне
тең:
.
,
const
C
C
MC
Шынында да,
C
шамасының
1
p
ықтималдықпен
қабылдайтын бір ғана мәні бар
(
C
ол мәнді қабылдауы
ақиқат оқиға)
және
C
C
MC
1
.
2. Саны шекті кездейсоқ шамалардың қосындысының МҮ-ті
олардың
МҮ-терінің
қосындысына тең:
23
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
N
k
MX
X
M
k
i
i
k
i
i
,
1
1
3. Тәуелсіз екі кездейсоқ шаманың
көбейтіндісінің МҮ-ті олардың МҮ-терінің
көбейтіндісіне тең:
Y
M
X
M
XY
M
Бұл қасиет жиынтығында тәуелсіз көбейткіштердің кез келген шекті саны үшін де
орындалады. Дискретті кездейсоқ шамалар үшін соңғы екі қасиет ықтималдықтарды қосу
және көбейту теоремаларының көмегімен оңай дәлелденеді.
4. Тұрақты көбейткішті МҮ-тің белгісінің сыртына шығаруға болады;, мысалы,
C
const
Y
десек,
const
C
MX
C
CX
M
,
Егер
m
x
көп мәнді болса, онда үлестірілуді мультимодалы дейміз.Кездейсоқ шаманың
1
2
h
F
h
F
F
F
h
F
h
X
h
X
шартына қанағаттандыратын мәні
h
немесе
5,
0
x
F
теңдеуінің нақты түбірі
X
-тің медианасы деп аталады. Жалпы жағдайда түбірі жалғыз
болуы міндетті болмағандықтан медиана бір мәнді анықтала бермейді.
7-дәріс
Тақырыбы: Үлкен сандар заңы және ықтималдықтар теориясының
шекті теоремалары.
Жоспары:
1.Чебышев және Марков теңсіздіктері.
2.Үлкен сандар заңы.
3.Ықтималдықтар теориясының шекті теоремалары.
Шекті МТ-сы
MX
0
бар кездейсоқ шама
0
X
және
0
саны
үшін Чебышевтың бірінші теңсіздігі деп аталады
MX
X
MX
X
1
(4.1)
қатынасы орындалады.
Бұл теңсіздіктерді Марков мәндері оң сандар болуы міндетті емес, бірақ 1-
абсолюттік момент деп аталатын сандық сипаттамасы
X
M
бар кездейсоқ шамалар
X
үшін жалпылап,
X
M
X
X
M
X
1
(4.2)
теңсіздіктерін дәлелдеді. Кездейсоқ шамалардың
X
сандық сипаттамаларының қатарына
олардың
m
ретті бастапқы және орталық моменттері деп аталатын
,2,
1,
0
,
,
m
MX
X
M
X
M
m
m
m
m
(4.3)
заттық сандары да (егер олар бар болса) жатады. Дискретті және үзіксіз кездейсоқ
шамалар үшін бұл сипаттамалар сәйкес
dx
x
p
x
x
m
m
k
k
m
k
m
,
(4.4)
dx
x
p
MX
x
p
MX
x
m
m
k
k
m
k
m
,
(4.5)
формулалармен анықталады. Бұлардан нөлінші ретті моменттер
1
0
0
және олар
ықтималдықтарды нормалау шарты (3.12) болатынын көреміз. Әрі қарай:
2
2
1
1
,
,0
DX
a
MX
және (3.35)-тен
.
2
2
2
a
Кезектегі
24
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
жоғарғы ретті орталық моменттер кездейсоқ шамалар үлестірілуінің
сындарлы
сипаттамалары: 1) үлестірілудің ассиметриялық (танассыздық) немесе қиғаштық
коэффициентін
3
3
x
a
, 2) үлестірілу эксцессінің (шығандауының) немесе
сүйіртөбелігінің коэффициентін
3
4
4
e
анықтайды.Егер
X
кездейсоқ шамасының
2-ретті моменттері
2
2
X
M
және
2
2
MX
X
M
бар болса,
0
онда
саны үшін
,
1
2
2
2
2
X
X
.
1
2
2
2
2
MX
X
MX
X
Үлкен сандар заңы. Үлкен сандар заңының негізін құрайтын теореманы және оның
жоғарыдағы теңсіздіктердің көмегімен дәлелдеуін П.Л. Чебышев 1866 ж. « Орташа
шамалар туралы» деген мемуарында жариялады. Кейінірек Марков үлкен сандар заңының
жалпыланған түрдегі пайымдамасын берді.
Егер
0
үшін
1
lim
0
lim
X
X
X
X
n
n
n
n
болса, онда
,
,
,
1
n
X
X
кездейсоқ шамалар тізбегі ықтимал жинақты және
X
кездейсоқ шамасына ықтималдықпен ұмтылады дейміз. Басқаша айтқанда
X
шамасы
n
X
тізбегінің ықтимал шегі:
.
,
n
X
X
p
n
Чебышев теоремасы. Егер қос-қостан тәуелсіз
k
X
кездейсоқ
шамаларының
дисперсиялары бірқалыпты шектелген:
,
,
,1
2
n
k
DX
k
болса, онда
n
кездейсоқ шаманың арифметикалық ортасының
,3,
2,
1
n
болғандағы тізбегі
олардың МТ-ларының арифметикалық ортасына ықтималдықпен жинақталады, яғни
0
үшін
0
1
1
lim
1
1
n
k
k
n
k
k
n
MX
n
X
n
(4.8)
Айта кетелік,
n
n
n
DX
n
n
k
k
,0
1
1
2
2
1
2
болғандықтан кездейсоқ шамалар дисперсияларының бір ғана
2
оң санымен шектелген
болуы
0
1
lim
1
2
n
k
k
n
DX
n
шартына пара-пар.
Салдар.
Чебышев
теоремасының
шарттарына
қанағаттандыратын
кездейсоқ
шамалардың МТ-лары бірдей:
a
MX
k
болса, онда жеткілікті үлкен
n
және
0
үшін
2
2
1
1
1
n
a
X
n
n
k
k
.
Ықтималдықтар теориясының шекті теоремалары.
Әрбір қосылғыш кездейсоқ шаманың үлестірілу заңы қандай болса да, олардың көп
мөлшердегі қосындысы қалыпты үлестірілу заңына бағынуға ұмтылатыны туралы идея
25
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
Муаврдың кезінен-ақ белгілі болатын. Бұл табиғатқа (табиғи кездейсоқ құбылыстарға) да,
қоғамға да, шаруашылық іс-қимылдарға да және техникалық практикаға да ортақ
заңдылық. Тек 1901 жылы ғана А.М.Ляпунов ықтималдықтар теориясының орталық шекті
теоремасы деп аталатын тұжырымды дәлелдеді.
Ляпунов теоремасы. Егер
k
X
тізбегіндегі тәуелсіз кездейсоқ шамалардың үлестірілу
заңдары, шекті МТ-лары
a
MX
k
және дисперсиялары
,
,
,1
2
n
k
DX
k
бірдей болса, онда
n
k
k
n
n
a
X
Y
1
кездейсоқ шамасы үлестірілуінің интегралдық
функциясы
Лаплас
функциясына
(3.16)
ықтималдықпен
ұмтылады:
n
x
F
x
F
p
y
,
Теоремадағы
n
Y
кездейсоқ
n
X
X
,
,
1
шамаларының нормаланған қосындысы деп
аталады. Ол қаралып отырған шамалардың стандартталған арифметикалық ортасы және
қосылғыштардың саны өскен сайын кездейсоқ шама ретінде
1,
0
N
қалыпты үлестірілу
заңына бағынуға ұмтылады.
Бернулли теоремасы. Тәуелсіз
n
сынақтағы табыстың салыстырмалы жиілігі
n
n
m
,
-да
ықтималдықпен жеке
сынақтардағы табыс ықтималдығына
p
ұмтылады, яғни
0
үшін
1
lim
p
n
m
n
(4.10)
Бернулли жүйесі бойынша орындалатын тәуелсіз сынақтар үшін (4.10)-ның ақиқаттығы
n
n
pq
n
DX
n
np
m
,1
1
1
2
2
2
ықтималды шегінен туындайды, өйткені
p
n
m
және
n
np
m
теңсіздіктері
тең ықтималды.Муавр-Лапластың локальдық және интегралдық теоремалары орталық
шекті теоремадан салдарлар ретінде алынады. Шамаларды салыстырудағы « О- үлкен»
рәмізін пайдаланып,(2.10) және (2.17) жуық формулаларын енді дәл теңдіктер:
1
,
1
1
2
2
1
O
x
x
m
m
m
O
x
m
n
(4.11)түрінде жаза аламыз.
МАТЕМАТИКАЛЫҚ СТАТИСТИКА
8-дәріс.Тақырыбы: Математикалық статистика. Бас жиынтық және терінді.
Жоспары:1.Үлестірілу параметрлерінің бағамдары.
2. Болжамдарды тексеру. Негізгі түсініктер.
3.Теріндінің графиктік көрінісі.
4.Үлестірілу параметрлерінің сандық бағамдары.
Әдетте белгісіз болып келетін F(x) үлестірілу функциясы бар X кездейсоқ
шамасымен байланысты
кездейсоқ экспериментін қарастыралық. Тәжірибенің байқауға
жататын барлық нәтижелерінің жиыны- Х- тің зерделеуді талап ететін бүкіл мәндерінің
жиыны статистиқалық жиынтық немесе бас жиынтық (БЖ) деп аталады. Оңы құрайтын
нысандардың (Х- белгісі мәндерінің) саны N бас жиынтықтың көлемі делінеді. Ол шекті
де, шексіз де болуы мүмкін. БЖ нысандарын жаппай байқау қай қырынан алсақ та тиімсіз,
көбіне мүмкін емес, кейде тіпті тыйым салынуға тиісті әрекет.
26
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
Терінді {x
i
} вариациялық катар не статистикалық қатар түрінде түзіледі.
Алғашқысының элементтері варианталар деп аталып, қатарда өсуіне не кемуіне қарай
реттеліп орналастырылады, мысалы, {x
(k)
} : х
(1)
х
(2)
... х
(n)
. Қатардың ең үлкен және
ең кіші варианталарының айырымын х
(n)
-х
(1)
=w
теріндінің құлашы дейді. Егер Х мәні
вариациялық қатарда
i
n
рет кездесетін болса, онда
i
n
санын көлемі
)
(
1
n
k
n
n
k
i
i
теріндідегі x
i
элементінің (мәнінің) жиілігі дейміз. Теріндідегі мәндерді
1-жолға, олардың жиіліктерін сәйкес 2-жолға орналастырып, кесте құрсақ, ( x
i
, n
i
) қос
сандарының шекті тізбегі статистикалық қатар деп аталады.
Теріндінің көлемі үлкен болса, оның элементтерінін топтарға (разрядтарға)
біріктіріп, тәжірибелер нәтижелерінен топтастырылған статистикалық қатар құрамыз. Ол
үшін теріндінің барлық элементтері орналасқан интервалды өзара айқаспайтын К жеке
интервалдарға бөлеміз. Соңғылардың ұзындықтары бірдей
k
w
b
болса, есептеу
айтарлықтай жеңілдейді. Әрі қарай жиіліктерді
i
n
- теріндінің
i
- интервалға тап келген
элементтерінің санын анықтаймыз (интервалдың жоғарғы шегімен дәл келген элемент
келесі интервалға жатқызылады). Ізінше қордаланған жиіліктер
i
j
j
n
1
, салыстырмалы
жиілектер
n
n
i
және қордаланған салыстырмалы жиіліктер
i
j
j
k
i
n
n
1
,1
,
есептелініп
отырады. Бұл нәтижелер топтастырылған терінді жиіліктерінің кестесі деп аталатын,
мысалы, № 1 түріндегі кестеге құйылады. Теріндіні топтастыру есептеулерге белгілі
дәрежеде қателер енгізеді және олар құраушы интервалдар саны азайған сайын өсе түсуі
ықтимал. Теріндінің көлеміне қарай топтастыру интервалдарының санын
20
6
k
аралығында алған оңтайлы.
Теріндінің графиктік көрінісі
Төбелері
(
i
x
,
i
n
),
k
i
...,
,1
нүктелерінде орналасқан сызық (15-сурет)
топтастырылған терінді жиіліктерінің полигоны (желісі) деп аталады. Құраушы
интервалдарға табаны ретінде тұрғызылған тіктөртбұрыштардан құралған баспалдақ
пішіндес фигура топтастырылған терінді жиіліктерінің гистограммасы делінеді. Құраушы
тіктөртбұрыштардың аудандары
i
n
(
k
i
...,
,1
) болатындай етіп алынады да, бүкіл
гистограмманың ауданы n - ге тең болады. Қураушы интервалдардың ұзындықтары
тұрақты
)
(
const
b
болса, сәйкес тіктөртбұрыштардың биіктіктері
b
n
h
i
i
(
k
i
...,
,1
) болады (16-
сурет).
15-сурет
16-сурет
Топтастырылған теріндінің қордаланған жиіліктерінің желісі төбелері (
2
b
x
i
,
i
j
j
n
1
),
k
i
...,
,1
нүктелері болатын сынық сызық. Ал, қордаланған салыстырмалы
жиіліктер желісінің төбелері (
2
b
x
i
,
i
j
j
n
n
1
1
) нүктелерінде орналасады. Бұл сынық
сызық кумулятивтік (қорабалық) қисық деп аталады. Ордината өсінің бойында әр түрлі
n:1
масштаб қабылдап, топтастырылған терінді үшін қорабалық қисық пен қордаланған
жиіліктер желісін бір ғана сынық сызық түрінде салуға болады (17-сурет)
27
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
17-сурет
Үзіксіз кездейсоқ шама Х үшін
p
t
X
P
p
)
(
^
p
t
X
P
p
)
(
(5.1)
шарттарына қанағаттандыратын
p
t
және
p
t
сандарын үлестірілудің р- ретті сәйкес
квантилі және симметриялы квантилі деп атайды.
Мысалы, медиана (3.32) реті р=0,5 болатын квантиль:
5.
0
t
h
. Ал,
p
X
P
p
)
(
p
X
P
p
)
(
(5.2)
теңдеулерімен анықталатын
p
және
p
~
сандары Х үзіксіз кездейсоқ шамасы
үлестірілуінің р-ретті сынақ нүктесі және симметриялы сынақ нүктесі делінеді. Бір
үлестірілудің реттері р бірдей квантильдері мен сынақ нүктелері өзара
p
p
t
1
p
p
t
1
(5.3)
қатынастары арқылы байланыста болады.
Мысалы:
2,
18
9,
15
5,
0
25
,0
x
h
x
.
Үлестірілудің эмпириялық («терінділік»)
)
(x
F
функциясы қордаланған
салыстырмалы жиіліктердің мәндері арқылы
x
x
i
i
n
n
x
F
)
(
(5.4)
қатынасымен анықталады. Вариациялық қатардың
]
,
(
)
(
)1
(
n
x
x
аралығында
)
(x
F
кемімейтін үзбе тұрақты функция. Оның графигі дискретті кездейсоқ шаманың үлестірілу
функциясының графигі ретінде баспалдақ сызық (18 - сурет) болады. Әрине
)1
(
x
x
болғанда
0
)
(
x
F
және
)
(n
x
x
үшін
1
)
(
x
F
;
5- есепте
24
,
10
)
(
)1
(
n
x
x
.
Статистиқалық қатарды пайдаланып, (10,24] аралығында
)
(x
F
эмпириялық үлестірілу
функциясының графигін тұрғызсақ, онда қатардың
i
x элементтері функцияның 1-текті
үзіктік нуктелері болады (18-сурет). Ал, үлестірілудің эмпириялық интегралдық қисығын
)
(x
F
y
1-кестенің топтастырылған берілімдері боыйнша тұрғызсақ, онда
)
(x
F
функциясының шекті секірулері қараушы интервалдардың ортаңғы нүктелеріне
i
x
сай
келеді (19-сурет).
18-сурет
19-сурет
Үлестірілу параметрлерінің сандық бағамдары.
Бас жиынтықтың кездейсоқ шама ретіндегі үлестірілу сипаттамалары: МТ-сы,
дисперсиясы, сәні мен медианасы, тағы басқалары оның параметрлері деп аталады.
Олардың терінді бойынша
анықталатын жуық мәндерін параметрлердің сандық
бағамдары дейміз. Бұл сандар терінді элементтерінің статистика деп аталатын белгілі бір
функциясының мәндері болады.
Белгінің Х БЖ-тағы және теріндідегі мәндерінің арифметиқалық орталары
N
i
i
x
N
X
1
1
n
i
i
x
n
x
1
1
сәйкес бас орташа және терінділік орташа деп
аталады. Топтастырылған терінді үшін
k
i
i
i
x
n
n
x
1
1
санын салмақталған орташа дейміз.
Орташа мәнге қарағандағы шашырындылығы дисперсиямен және орташа квадраттық
ауытқумен сипаттталатыны белгілі. Бас орташаның
X
a
белгілі не белгісіз болуына
байланысты дисперсияның бағамы
28
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
n
i
i
a
x
n
s
1
2
2
0
)
(
1
,
n
i
i
x
x
n
s
1
2
2
)
(
1
,
n
i
i
n
i
i
xn
x
n
x
x
n
s
1
2
2
1
2
2
1
1
)
(
1
1
формулаларымен беріледі. Мұнда (5.8) терінді дисперсиясы, ал (5.9) теріндінің түзетілген
дисперсиясы деп аталады. Топтастырылған терінді үшін бұл өрнектер
k
i
i
i
a
x
n
n
s
1
2
2
0
)
(
1
,
k
i
i
i
x
x
n
n
s
1
2
2
)
(
1
,
k
i
i
i
k
i
i
i
xn
x
n
n
x
x
n
n
s
1
2
2
1
2
2
1
1
)
(
1
1
түріне енеді..
Теорема. Дисперсия белгі мәндері квадраттарының орташасы мен белгінің жалпы
орташасы квадратының айырымына тең:
2
2
)
(x
x
D
Айталық, ортақ бас жиынтықтан көлемдері
1
n
және
2
n
болатын екі терінді («терінділік топтар») алынсын. Топтық орташалар мен
дисперсияларды сәйкес
2
1
, x
x
және
2
2
2
1
, s
s
десек , көлемі
2
1
n
n
болатын біріктірілген
теріндінің ортшасы мен дисперсиясы
2
1
2
2
1
1
n
n
x
n
x
n
x
,
2
)1
(
)1
(
2
1
2
2
2
2
1
1
2
n
n
s
n
s
n
s
формулаларымен анықталады.Реті m бастапқы және орталық моменттердің бағамдары
қызметін
n
i
m
i
m
x
n
1
1
,
n
i
m
i
m
x
x
n
1
)
(
1
шамалары атқара алады. Топтастырылған
терінді үшін
k
i
m
i
i
m
x
n
n
1
1
,
k
i
m
i
i
m
x
x
n
n
1
)
(
1
. Бұл шамалардың арасындағы:
3
1
1
2
3
3
2
1
2
2
2
3
,
,
4
1
2
1
2
1
3
4
4
3
6
4
қатынастарын пайдаланып, орталық моменттерді бастапқы моменттер арқылы есептеу
ыңғайлы.
Кездейсоқ шама Х
үлестірілуінің пішіні оның қиғаштық және шығандау
коэффициентерімен сипатталады. Олардың бағамдары ретінде
3
,
4
4
3
3
s
s
a
x
өрнектерін алуға болады.
.
Практикалық сабақтардың жоспарлары
№ 1 практикалық сабақтардың
Тақырыбы: Ықтималдықтар теориясының негіздері. Ықтималдықтар
теориясының негіздері.
Қосылыстар теориясы элементтері.
Берілген Ω жиынының
элементтерінен
құрылған
оған кірме әр түрлі
j
j
k
j
;
,
,1
жиындары қосылыстар (комбинациялар) деп, мате-
матиканың қосылыстар теориясын зерттейтін бөлімі комбинациялық талдау деп аталады.
Бұл бөлімнің негізгі принципі- көбейту ережесі : егер әрбір
j
қосылысын
j
n
тәсілмен
құру мүмкін болса, онда бірге алғанда олардың бәрі
k
n
n
1
тәсілмен құрылады.Әр
29
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
элементіне сандардың натурал қатарынан номер тағылған шекті жиынды реттелген
жиын дейміз.
Реттелген
шексіз
жиын санамалы жиын делінеді.Бір-бірінен
элементтерінің
ретімен (орындарымен) ғана ажыратылатын n элементті әр түрлі
(реттелген) жиындар n элементтен жасалған орынауыстырулар деп аталады. Олардың
саны
n
n
!
(1.3)
Реттелген болуы міндетті емес Ω және ω (ω
) жиындары сәйкес n және m
(m≤n) элементтен құрылған делік. Бір-бірінен құрамымен ғана (реті ескерілмей)
ажыратылатын барлық ω қосылыстары n элементтен
m-нен жасалған терулер деп аталады. Олардың саны
)!
(!
!
!
)1
(
)1
(
m
n
m
n
m
m
n
n
n
C
m
n
(1.4)
Ньютон биномның формуласын енді
m
n
m
n
m
m
n
n
b
a
C
b
a
0
(1.5)
түрінде жазуға болатындықтан (1.4) сандары биномдық коэффициенттер деп те аталады.
Олардың
«симметриялық
қасиеті»
бар
және
рекурренттік
қатынастарды
қанағаттандырады:
C
C
m
n
n
m
n
,
1
1
m
n
m
n
m
n
C
C
C
(1.6)
Жеке жағдайда: a=b=1 (1.5)-тен
,
2
0
n
n
m
m
n
C
,1
0
0
n
n
n
C
С
1
!0
Бір-бірінен не құрамымен , не элементтерінің ретімен ажыратылаты n элементтен
m-нен (m≤n) жасалған қосылыстар n элементтен m-нен жасалған орналастырулар деп
аталады. Әрбір n элементтен m-нен жасалған теруден орын ауыстырулар арқылы m!
орыналастырын
жасауға
болады.
Ендеше,
n
элементтен
m-нен
жасалған
орналастырулардың саны
!
!
)1
(
)1
(
m
n
n
m
n
n
n
C
m
m
n
m
n
(1.7)
Шекті (n элементі бар, реттелген болуы міндетті емес) Ω жиыны кездейсоқ үлгіде сәйкес
k
n
n
,
,
1
элементтен тұратын k кірме жиындарға
k
,
,
1
k
i
k
i
n
n
n
1
1
,
бөлшектенген десек , бөлшектеу әдістерінің саны
!
!
!
,
,
1
1
k
k
n
n
n
n
n
n
C
(1.8)
Бұл (полиномдық тәсіл) биномдық схеманың жалпыланған түрі. Шынында да, (1.8)-де
k=2 (
m
n
n
m
n
2
1
,
) десек, (1.4)-ке келеміз.
Енді Ω жиынына кірме құрамында
n
m
m
m
k
1
элементі бар реттелмеген
қосылыс құралық. Әрбір
i
-ден
k
i
n
m
m
i
i
i
,1
,
элемент алсақ, (1.4)-тің және
көбейту ережесінің негізінде мұндай қосылыстардың саны
k
k
m
n
m
n
C
C
1
1
өрнегімен анықталады. Бір ғана
m
m
n
n
k
1
1
,
,1
қосылыс үшін бұл өрнек (1.4)-ке
айналады, яғни полиномдық схема биномдық жүйеге ауысады.
30
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
Қосылыстар теориясынан
келтірілген мәліметтер және (1.1) формуласы урналар
тәсілінде ықтималдыықтарды есептеудің комбинациялық әдісінің негізін құрайды.
2. Есеп шығару үлгілері: 1-есеп.Бекетке келген жолаушы пойызы 13 вагоннан тұрады.
Оның 5-уі купелі (бөлмелі), 4-і плацкартты, 2-і ұйқы-жай, қалғандары бір-бірден жұмсақ
және почта вагондары. Тепловозды ағытқаннан кейін перронға тәуекел шыққан қарсы
алушының бөлмелі вагон тұсына тап келу (Α оқиғасы) ықтималдығын табыңыз.Шешу.
Мұнда n=13,m=5. Сондықтан P(A)=5/13 .
2-есеп. Сөреге (төртбұрышты) тәуекел қойылған 8 кітаптың қалаулы екеуі қатар
орналасуының ықтималдығын табыңыз.0
Шешу. Кітаптардың (нөмірленген) реттелген жиынын 8 элементтен жасалған орын
ауыстырулар деп қарасақ,
!8
8
. Сөреде көрші орындардың 7 қосағы бар.
Олардың әрқайсысында аталмыш кітаптар
екі әдіспен орналаса алады. Қалған
кітаптардың орналасу мүмкіндіктерінің
саны
!6
6
Көбейту ережесі бойынша
!6
7
2
Талап етілген ықтималдық
25
,0
!8
!6
7
2
.
Методикалық кеңестер:
3,7,8 есептерді шешуде кейбір оқиғалардың үйлесімсіздігіне, ал 10,11,13 есептерді
шешуде шартты ықтималдықты қолданған жөн.
Бақылау сұрақтар:
1. Үйлесімсіз оқиғалар
2. Шартты ықтималдық.
№ 2 практикалық сабақтар
Тақырыбы: Ықтималдықтарды көбейту формуласы
n
m
n
k
m
k
:
/
Тәуелсіз оқиғалар үшін:
,
/
/
Егер
0
0
болса, (1.12)-дегі шартты ықтималдықтар тиісінше
анықталмаған болып саналады. Олардың екеуі де анықталған болса, онда тәуелді
оқиғалар үшін ықтималдықтарды көбейту формуласы
/
/
(1.13)
Жиынтығында тәуелсіз емес
n
1
оқиғалары үшін (1.13)-ті жалпы түрде
1
2
1
2
1
3
1
2
1
1
/
/
/
n
n
n
(1.14)
Ықтималдықтарды қосу теоремасы.
Теорема. Бірікпейтін бірнеше оқиғаның қайсысы бола да біреуінің пайда
болуының ықтималдығы
олардың
ықтималдықтарының
қосындысына тең:
,
1
1
k
i
i
k
i
i
j
i
j
i
,0
(
k
j
,1
)
(1.15)
Классикалық схема бойынша
;
1
1
1
1
n
m
n
m
n
m
m
k
i
i
k
k
k
i
i
k
,
,
1
оқиғалары толық топ құрайтын болса,
n
m
m
k
1
және
ықтималдықтардың
екінші аксиомасына
сай
1
1
k
i
i
.
Әдетте
(1.15)
ықтималдықтарды қосу аксиомасы (үшінші аксиома) деген атпен дәлелдеусіз
қабылданады.
31
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
Бірікпейтін
2
1
,
(k=2) оқиғалары үшін ω(A) және ω(B) жиындары
қиылыспайды (айқаспайды):
0
. Екі жиынның да барлық элементтері
оқиғасының пайда болуына қолайлы, олардың ортақ элементтері жоқ: (1.15)
B
P
A
P
B
A
P
түрінде жазылады. Ал, бірігетін оқиғалар үшін
B
A
оқиғасының пайда болуына қолайлы нәтижелердің санын анықтағанда
аймағына сай келетін нәтижелер қайталанып алынбас үшін ықтималдықтарды қосу
теоремасын
(1.16) түрінде жазамыз.
Бірігетін n оқиға үшін ықтималдықтарды қосудың жалпыланған формуласы
n
n
n
k
j
i
k
j
i
n
j
i
j
i
n
i
i
n
i
i
A
A ...
1
1
1
1
1
1
1
(1.17)
Оқиғалардың толық тобын құру арқылы есептеуді азайтуға болады. Қарама-қарсы
оқиғалар қашанда толық топ құрайды:
(Ā)=p+q=1
(1.19)
Бұл шарт
C
және
С
қарама-қарсы оқиғалары үшін де орындалады,
демек,
.
1
C
C
Жалпы түрде
n
i
i
n
i
i
1
1
1
.
(1.20)
Қаралып отырған оқиғалар жиынтығында тәуелсіз болса:
C
C
,
1
n
i
i
n
i
i
1
1
1
(1.21).
Толық ықтималдық формуласы. Байес формулалары.
Белгілі бір кедейсоқ эксперименттің нәтижесінде байқалатын A оқиғасы сол
тәжірибенің толық топ құрайтын, A-ға қарағанда гипотезалар (болжамдар) деп
аталатын
n
,
,
1
нәтижелерінің
бірімен ғана
қосарласа пайда бола алсын.
Болжамдардың шартсыз ықтималдықтарын :
i
>0 классикалық тәсіл бойынша
тәжірибеге дейін (априорлық түрде)
анықтауға болады. Болжамдар қос-қостан
бірікпейтін болғандықтан
n
,
,
1
күрделі
оқиғалары да
сол шартты
қанағаттандырады. Соңғылардың ықтималдықтарының қосындысы
n
i
i
1
оқиғасының толық ықтималдығы деп аталады. Оны ықтималдықтарды қосу
аксиомасының (1.15) және ықтималдықтарды көбейту формуласының (1.13) көмегімен
табуға болады. Бізге болжамдардың қайсысы іске асса да бәрі бір, тек A оқиғасы пайда
болса болғаны. Сондықтан
i
n
i
i
n
i
i
/
1
1
(1.22)
Соңғы теңдік толық ықтималдық формуласы деп аталады.
Енді тәжірибе өткізіліп ,
оқиғасының пайда болғаны белгілі болды делік. Бұл
i
i
n
i
,
,1
күрделі оқиғаларының да бірі пайда болды деген сөз; (1.13)
бойынша
,
/
/
i
i
i
.,
1 n
i
Бұдан болжамдардың тәжірибеден кейінгі (апостериорлық) ықтималдықтары
32
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
.
,1
,
/
/
/
/
1
n
i
n
i
i
i
i
i
i
i
i
(1.23)
Байес формулалары деп аталатын
бұл теңдіктер бақыланып
отырған
A
оқиғасының пайда болғаны
туралы ақпарат
алынғаннан кейін әрбір болжамның
орындалу ықтималдығын есептеуге (тексеруге) мүмкіндік береді.
2. Есеп шығару үлгілері:
1-мысал. Жәшікте 3 ақ және 3 қара шарлар бар. Жәшіктен қайтарылмастан бір – бірден
екі шар алынады. Егер алғашқыда алынған қара шар (
А
оқиғасы) болды десек, келесі
алынған шардың (
В
оқиғасы) ақ болуының ықтималдығын тап.
Шешу. Алғашқы тәжірибеден соң жәшікте барлығы 5 шар қалды, оның 3 – і ақ.
Сондықтан ізделінген шартты ықтималдық:
.
5
3
B
P
A
3. СТУДЕНТТЕРДІҢ ОҚЫТУШЫ ЖЕТЕКШІЛІГІМЕН ЖАСАЙТЫН ӨЗІНДІК
ЖҰМЫСТАРЫ
СОӨЖ №1
Бақылау сұрақтар:
1. Үйлесімсіз оқиғалар
2. Шартты ықтималдық.
2. Есеп шығару үлгілері:
1-мысал. 10 бұйымның 7 – і стандартқа сәйкес. Кездейсоқ таңдалған 6 бұйымның
дәл 4 – і стандартты болу ықтималдығын есепте.
Шешу. Тәжірибенің мүмкін элементар нәтижелерінің жалпы саны
10 – нан 6 бұйымнан әр түрлі таңдаулардың тәсілдер санына, яғни
10 – элементтен 6 – дан алынған
6
10
C
терулер санына тең.
А
оқиғасына кездейсоқ 6
бұйымның дәл 4 стандарт болуына қолайлы нәтижелер санын есептейік: 7 стандарт
бұйымнан 4 – ін
4
7
C
тәсілмен, ал қалған
2
4
6
бұйым стандарт емес болу керек; ал
3
7
10
стандарт емес бұйымнан 2 –ін
2
3
C
тәсілмен таңдауға болады. Сонымен
қолайлы нәтиже саны
.
2
3
4
7
С
С
Ізделінген ықтималдық қолайлы нәтижелер санын жалпы нәтижелер санына бөлгенге тең:
.
2
1
6
10
2
3
4
7
C
C
C
A
P
3. Ауд. СОӨЖ тапсырмалары
2
4,5,6,9,12,14,18,19,20,21
4. СӨЖ тапсырмалары
2
3,7,8,10,11,13,15,16,17,24.
Методикалық кеңестер:
3,7,8 есептерді шешуде кейбір оқиғалардың үйлесімсіздігіне, ал 10,11,13 есептерді
шешуде шартты ықтималдықты қолданған жөн.
СОӨЖ №2
Ықтималдықтар теориясының негізгі теоремалары.
1.Бақылау сұрақтар:
1. Тәуелді оқиғалар
2. Көбейту теоремасы.
2. Есеп шығару үлгілері:
1-мысал. Жәшікте 3 ақ және 3 қара шарлар бар. Жәшіктен қайтарылмастан бір – бірден
екі шар алынады. Егер алғашқыда алынған қара шар (
А
оқиғасы) болды десек, келесі
алынған шардың (
В
оқиғасы) ақ болуының ықтималдығын тап.
33
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
Шешу. Алғашқы тәжірибеден соң жәшікте барлығы 5 шар қалды, оның 3 – і ақ.
Сондықтан ізделінген шартты ықтималдық:
.
5
3
B
P
A
3. Ауд. СОӨЖ тапсырмалары
2
46,48,50,52,54,56,58,60,62,64
4. СӨЖ тапсырмалары
2
47,49,51,53,55,57,59,61,63.
Методикалық кеңестер:
Үй жұмысын есептеуде тәуелді оқиғалардың көбейту теоремасын қолдану жөн.
СОӨЖ №3
Тек қана бір оқиғаның пайда болу ықтималдығы.
Бақылау сұрақтар:
1. Тек қана бір оқиғаның пайда болу ықтималдығы
2. Ең болмағанда бір оқиғаның пайда болу ықтималдығы
2. Есеп шығару үлгілері:
2-мысал.
Екі
зеңбіректің
нысананы
жою
ықтималдықтары
сәйкесінше:
.
6,
0
;
5,
0
2
1
P
P
Екі зеңбіректен қатар оқ атқанда ең болмағанда біреуінің нысананы
жою ықтималдығын тап.
Шешу. Бірінші зеңбіректің нысананы жоюы (
А
оқиғасы) және екінші зеңбіректің
нысананы жоюы (
В
оқиғасы) оқиғалары тәуелсіз оқиғалар.
AB
оқиғасының (екеуі
нысананы жойды) ықтималдығы
.3,
0
B
P
A
P
AB
P
Ізделінген
ықтималдық:
.7,
0
AB
P
B
P
A
P
B
A
P
3. Ауд. СОӨЖ тапсырмалары.
2
80,82,84,86,88
4. СӨЖ тапсырмалары
2
81,83,85,87.
СОӨЖ №4
Толық ықтималдық формуласы. Байес формуласы.
1. Бақылау сұрақтар:
1. Толық ықтималдық формуласы
2. Байес формуласы..
2. Есеп шығару үлгілері:
1-мысал. Ішінде екі шары бар жәшікке бір ақ шар салынып, одан соң одан кездейсоқ бір
шар алынды. Алынған шардың ақ болып шығу ықтималдығын тап, егер шарлардың түс
бойынша құрамы тең мүмкіндікті деп қарастырсақ.
Шешу.
А
оқиғасы – алынған шар ақ деген оқиға. Бастапқы шарлар құрамы жөнінде
мынадай гипотезалар мүмкін:
1
B
ақ шар жоқ,
2
B
бір ақ шар бар,
3
B
екеуі де ақ
шар. Әр гипотеза ықтималдығы өзара тең болады
.
3
1
3
2
1
B
P
B
P
B
P
.1
;
3
2
;
3
1
3
2
1
A
P
A
P
A
P
B
B
B
Сонымен ізделінген ықтималдық:
.
3
2
3
2
1
3
2
1
A
P
B
P
A
P
B
P
A
P
B
P
A
P
B
B
B
2-мысал. Екі автомат ортақ конвейерге түсетін бірдей детальдар жасап шығарады. Бірінші
автоматтың өнімділігі екіншісіне қарағанда екі есе артық. Бірінші автомат орта есеппен -
54%, екіншісі - 60% жоғарғы сапалы бұйым жасайды. Кездейсоқ конвейерден алынған
деталь жоғарғы сапалы болып шықты. Осы детальдың бірінші автоматта жасалғанының
ықтималдығы неге тең?
Шешу.
А
арқылы детальдың жоғарғы сапалы болу оқиғасын белгілейік. Екі мүмкін
гипотеза бар:
1
B
деталь бірінші автоматта,
,
3
2
1
B
P
2
B
деталь екінші автоматта
34
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
жасалған
.
3
1
2
B
P
Шартты ықтималдықтар:
54
,0
1
A
P
B
,
6,
0
2
A
P
B
және
.
56
,0
6,
0
3
1
54
,0
3
2
2
1
2
1
A
P
B
P
A
P
B
P
A
P
B
B
Ізделінді ықтималдық Байес теоремасы бойынша
.
7
9
56
,0
54
,0
3
2
1
1
1
A
P
A
P
B
P
B
P
B
A
3.Ауд. СОӨЖ тапсырмалары
2
90,92,94,96,98,100,102,104,106
4. СӨЖ тапсырмалары
2
91,93,95,97,99,101,103,105,107.
СОӨЖ №5
Тәжірибелердің
қайталануы.
Лапластың
локальдық
және
интегралдық
теоремалары.
1. Бақылау сұрақтар:
1. Тәжірибелердің қайталануы
2. Бернулли формуласы
3. Лапластың локальдық, интегралдық теоремалары
2. Есеп шығару үлгілері:
1-мысал. Электр энергиясы шығынының бір тәулікте қалыптасқан нормадан асып
кетпеуінің ықтималдығы
.
60
,0
p
Электр энергиясының шығыны алдағы 6 тәуліктің 4 –
нде қалыптасқан нормадан асып кетпеуінің ықтималдығын тап.
Шешу. 6 тәуліктің әрқайсысында электр энергиясының шығынының нормадан асып кету
ықтималдығы
60
,0
p
болса, онда кері оқиға ықтималдығы
.
40
,0
1
p
q
Ізделінді ықтималдық Бернулли формуласы бойынша
.3,
0
4
2
4
4
6
6
q
p
C
P
3. Ауд. СОӨЖ тапсырмалары
2
110,114,116,118,120,122,124,126,128.
4. СӨЖ тапсырмалары
2
111,113,115,117,119,121,123,125,127.
СОӨЖ №6
Үлестірім заңдылықтары.
1. Бақылау сұрақтар:
1. Үлестірім заңдылықтары
2. Бернулли формуласы
3. Лапластың локальдық, интегралдық теоремалары
2. Есеп шығару үлгілері:
1-мысал. Тиын 1 рет лақтырылған.
Х
кездейсоқ шама – герб түсу санының үлестірім
заңын жаз. Шешу. Әр лақтырылғандағы герб түсу ықтималдығы
,
2
1
p
ал түспеуінікі
.
2
1
1
p
q
Екі рет лақтырылғанда ″герб″ не 2 рет, не 1 рет, не мүлде түспеуі мүмкін,
сондықтан
Х
ң мүмкін мәндері:
.0
;1
2
1
x
x
Мүмкін мәндердің сәйкес
ықтималдықтары Бернулли формуласы бойынша
.
25
,0
2
1
0
5,
0
2
1
2
1
2
1
2
2
0
2
2
1
2
2
q
C
P
pq
C
P
Ізделінген үлестірім заңы:
35
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
Х
1
0
P
0,5
0,25
Бақылау: 0,5+0,25=0,75.
2. Ауд. СОӨЖ тапсырмалары
2
165,167,169,171,173,175,177,179
3. СӨЖ тапсырмалары
2
164,166,168,170,172,174,176,178,180.
СОӨЖ №7
Дискретті кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары.
1. Бақылау сұрақтар:
1.Дискретті кездейсоқ шамалар.
2. Үзіксіз кездейсоқ шамалар. Орын сипаттамалары.
3. Шашырандылық сипаттамалары.
4.Классикалық үлестірілулердің сандық сипаттамалары.
5.Кездейсоқ шаманы
X
сипаттауда оның үлестірілудегі ерекшеліктері.
2. Есеп шығару үлгілері:
1-мысал.
үлестірім заңымен берілген
Х
кездейсоқ
шамасының дисперсиясын
X
D
ті тап.
Шешу.
;5,
3
X
M
2
X
кездейсоқ шаманың
үлестірім заңы:
ал
.3,
13
2
X
M
Сонымен,
ізделінді
дисперсия
.
05
,1
5,
3
3,
13
2
2
2
X
M
X
M
X
D
3. Ауд. СОӨЖ тапсырмалары
2
188,190,192,194,196,210,214,218,220
4. СӨЖ тапсырмалары
2
189,191,193,195,197,211,213,216,217.
СОӨЖ №8
Үлкен сандар заңы
1. Бақылау сұрақтар:
1.Үлкен сандар заңы және ықтималдықтар теориясының шекті теоремалары.
2. Чебышев және Марков теңсіздіктері.
3. Үлкен сандар заңы.
4. Ықтималдықтар теориясының шекті теоремалары
2. Есеп шығару үлгілері:
1-мысал. Құрылғы тәуелсіз жұмыс жасайтын 10 элементтен тұрады. Әр элементтің
T
уақыт арасында істен шығу ықтималдығы 0,05. Чебышев теңсіздігін пайдаланып
T
уақыт
арасында істен шығу санының орташа саны мен істен шығу саны айырмасының абсолют
шамасының а) екіден кем; б) екіден кем емес болу ықтималдығын бағалау керек.
Шешу. а)
Х
кездейсоқ шама арқылы -
T
уақыт арасында істен шыққан элементтер
санын
белгілейік.
Сонда
.5,
0
05
,0
10
np
X
M
.
475
,0
95
,0
05
,0
10
npq
X
D
Чебышев теңсіздігі бойынша
.
475
,0
;5,
0
;
1
2
X
D
X
M
X
D
X
M
X
P
2
мәндерін қойсақ,
88
,0
4
475
,0
1
2
5,
0
X
P
Х
2
3
5
P
0,1
0,6
0,3
2
X
4
9
25
P
0,1
0,6
0,3
36
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
б)
X
2
5,
0
және
2
5,
0
X
оқиғалары қарама – қарсы, сондықтан
.
12
,0
88
,0
1
2
5,
0
X
P
3. Ауд. СОӨЖ тапсырмалары
2
236,238,240,242,244,246,248.
4. СӨЖ тапсырмалары
2
228,230,232,234.
СОӨЖ №9
Кездейсоқ шама ықтималдығы үлестірім функциясы және үлестірім тығыздығы.
1. Бақылау сұрақтар:
1. Үлестірілу параметрлерінің бағамдары.
2. Болжамдарды тексеру. Негізгі түсініктер.
3. Теріндінің графиктік көрінісі.
2. Есеп шығару үлгілері:
1-мысал.
Х
дискретті кездейсоқ шаманың үлестірім заңы:
Үлестірім функциясын тап.
Шешу. Егер
1
x
болса,
.0
x
F
Егер
4
1
x
болса,
.3,
0
x
F
Х
кездейсоқ шама 1 мәнін 0,3 ықтималдықпен табамыз. Егер
,8
4
x
онда
.4,
0
x
F
8
x
болса,
.1
x
F
8
x
оқиғасы айқын оқиға, сондықтан ықтималдық
бірге тең.
Сонымен, үлестірім функциясы былай аналитикалық түрде жазылады:
.8
,
1
,8
4
,
4,
0
,4
1
,
3,
0
,1
,
0
x
x
x
x
x
F
2-есеп. Көлемі
55
n
етіп алынған теріндінің элементтері:
10 11 12 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17 17 17 18 18 18 18 18
18 18 19 19 19 19 19 19 19 19 19 20 20 20 20 20 20 21 21 21 21 22 23 24 вариациялық
қатарын құрайды. Әрі қарайғы статистикалық өңдеуді орындаңыз.
Шешу. Алдымен статистикалық қатар құралық
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
Терінді құлашы
14
10
24
w
. Ыңғайлы болуы үшін ұзындықтары
7
2
14
b
бірдей 7 топтастыру интервалын алып, жиіліктер кестесін құралық.
1-кесте
Интервал
Номері
i
Интервал
шекара-
лары
Интервал
ортасы
i
x
Жиі-
лік
Қордалан-
ған жиілік
i
j
j
n
1
Салыстыр-
малы жиілік
n
n
i
Қордаланған
салыстыр-
малы жиілік
i
j
j
n
n
1
1
10 – 12
12 – 14
11
2
2
0,0364
0,0364
Х
1
4
8
P
0,3
0,1
0,6
37
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
2
3
4
5
6
7
14 - 16
16 – 18
18 – 20
20 – 22
22 – 24
13
15
17
19
21
23
4
7
13
16
10
3
6
13
26
42
52
55
0,0727
0,1455
0,2182
0,2909
0,1818
0,0545
0,1091
0,2546
0,4728
0,7637
0,9455
1,0000
3. Ауд. СОӨЖ тапсырмалары
2
252,256,260,264,268,272,274.
4. СӨЖ тапсырмалары
2
253,257,263,267,271,273.
СОӨЖ №10
Үзіліссіз кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары.
1. Бақылау сұрақтар:
1. Үлестірілу параметрлерінің сандық сипатамалары.
2. Интервалдық бағамдар
3. Параметрлерді нүктелік бағамдау әдістері.
2. Есеп шығару үлгілері:
1-мысал.
Х
кездейсоқ шаманың үлестірім функциясы берілген:
.1
,
1
,1
0
,
,0
,
0
2
x
x
x
x
x
F
Кездейсоқ шаманың
X
M
математикалық күтімі мен
X
D
дисперсиясын тап.
Шешу. Үлестірім тығыздығын табамыз:
.1
,
1
,1
0
,
2
,0
,
0
x
x
x
x
F
x
f
Математикалық күтім:
1
0
1
0
3
2
.
3
1
3
1
x
dx
x
X
M
Дисперсия:
1
0
1
0
5
2
4
.
30
1
6
1
5
3
1
1
x
dx
x
X
D
3. Ауд. СОӨЖ тапсырмалары
2
276,280,284,288,292,296,300.
4. СӨЖ тапсырмалары
2
277,281,285,289,293,297,301.
СОӨЖ №11
Теріндінің статистикалық үлестірімі.
1.Бақылау сұрақтар:
1. Терінділік орташаның орнықтылығы (үш сигма ережесі).
2. Интервалдық бағамдар.
3. Биномдық үлестірілу параметрі p үшін шаным интервалдары.
2. Есеп шығару үлгілері:
1-мысал.Терінді жиілік үлестірімі түрінде берілген:
38
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
Салыстырмалы жиілік үлестірімін тап.
Шешу. Терінді көлемін табамыз:
.
10
6
3
1
n
Салыстырмалы жиіліктері:
.6,
0
;3,
0
;1,
0
10
1
1
1
1
Ізделінді үлестірім:
Бақылау: 0,1+0,3+0,6=1.
3. Ауд. СОӨЖ тапсырмалары
2
439,440,442,444,447,453.
4. СӨЖ тапсырмалары
2
441,443,445,448,449,450.
СОӨЖ №12
Үлестірім параметрлерінің статистикалық бағалауы.
1.Бақылау сұрақтар:
1. Статистикалық болжамдарды тексеру.Оң жақты және солжақты болжамдар.
2. Статистикалық болжамды тексеру кезеңдері.
3. Үйлесім критерийлері.Колмогоров критерийі
4. Кездейсоқ векторлар.Екі өлшемді кездейсоқ шамалар.
5. Кездейсоқ векторлардың үлестірілу заңдары
2. Есеп шығару үлгілері:
1-мысал. Көлемі
10
n
терінді үлестірімінің терінді ортасын тап.
Шешу. Алғашқы варианталар үлкен сандар сондықтан
1270
i
i
x
u
шартты
варианталарға көшеміз. Сонда үлестірім
Ізделінді терінді ортасы
.
1269
10
10
3
0
5
20
2
1270
3
1
n
u
n
c
x
i
i
i
B
2-мысал. Стерженьді бір прибормен өлшеу нәтижесінде мына нәтижелер алынды
мм
:
92; 94; 103; 105; 106. Табу керек:
а) стержень ұзындығының терінді орташасын.
б) Прибор қателерінің терінділік және түзетілген дисперсиясын тап.
Шешу.
а) терінді орташасын табамыз:
.
100
8
92
5
14
13
11
2
0
92
B
x
б) Терінді дисперсиясы:
.
34
2
n
x
x
D
B
i
B
Түзетілген дисперсия:
.5,
42
34
4
5
1
2
B
D
n
n
s
3. СӨЖ тапсырмалары
2
453,454,457,459,461,463.
i
x
2
5
7
i
n
1
3
6
i
x
2
5
7
i
0,1
0,3
0,6
i
x
1250
1270
1280
i
n
2
5
3
i
u
-20
0
10
i
n
2
5
3
39
Ф ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу–әдістемелік кешені
СОӨЖ №13
Моменттер әдісі.
1.Бақылау сұрақтар:
1. Кездейсоқ векторлардың сандық сипаттамалары.
2. Параметрлерін статистикалық сипаттау және есептеу.
3. Екі өлшемді кездейсоқ вектордың үлестірілу параметрлерін статистикалық сипаттау
және есептеу.
2. Есеп шығару үлгілері:
1-мысал.
Х
кездейсоқ шама Пуассон заңымен үлестірілген:
!
i
x
i
m
x
e
x
P
i
,
мұндағы
m
тәжірибелер саны,
i
x
оқиғалардың пайда болу саны.
n
x
x
x
,...,
,
2
1
терінді бойынша Пуассон үлестірімін анықтайтын
параметрінің нүктелік
бағалауын тап.
Шешу. Бағалайтын параметр жалғыз болғандықтан, осы параметр үшін жалғыз теңдеу
жеткілікті.
1
алғашқы теоретикалық моментті,
1
M
эмпирикалық моментпен
теңестіреміз
.
1
1
M
B
x
M
x
M
1
1
1
,
екенін ескерсек,
.
B
x
x
M
Пуассон
үлестірімінің математикалық күтімі бойынша
.
B
x
Сонымен Пуассон үлестірімінің
параметрінің нүктелік бағалауы ретінде терінді орташасы болады:
.
B
x
3. Ауд. СОӨЖ тапсырмалары
2
<span style="font-size:16px;font-family:Tim
Информация о работе Ықтималдықтар теориясының негіздері