Зада́ча Коши́

'''Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).

 

Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

 

Степенной ряд – это ряд, в общий член  которого входят целые положительные степени независимой переменной

 

17 Уравнение Бернулли является одним из наиболее известных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Оно записывается в виде

где a(x) и b(x) − непрерывные функции.  
 
Если m = 0, то уравнение Бернулли становится линейным дифференциальным уравнением. В случае когда m = 1, уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.  
 
В общем случае, когда m ≠ 0, 1, уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению с помощью подстановки

Новое дифференциальное уравнение  для функции z(x) имеет вид

 

18  В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде

где F − заданная функция указанных аргументов.  
 
Если дифференциальное уравнение можно разрешить относительно второй производной y'', то его можно представить в следующем явном виде:

В частных случаях функция f в правой части может содержать лишь одну или две переменных. Такие неполные уравнения включают в себя 5 различных типов:

С помощью определенных подстановок  эти уравнения можно преобразовать  в уравнения первого порядка.  
 
В случае произвольных дифференциальных уравнений второго порядка, их порядок можно понизить, если эти уравнения обладают определенной симметрией. Ниже мы обсудим 2 типа таких уравнений (случаи 6 и 7):

• Функция F(x, y, y', y'') является однородной функцией аргументов y, y', y'';

 

• Функция F(x, y, y', y'') является точной производной функции первого порядка Ф(x, y, y').

19  
Неоднородные 
Линейное неоднородное уравнение данного типа имеет вид:

где p, q − постоянные числа (которые могут быть как действительными, так и комплексными). Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение:

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y₀(x) соответствуюшего однородного уравнения и частного решения y₁(x) неоднородного уравнения:

Однородные 
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида

где p, q − постоянные коэффициенты.  
 
Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение:

Обшее решение однородного дифференциального  уравнения зависит от корней характеристического  уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:

1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k₁ и k₂ действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией

где C₁ и C₂ − произвольные действительные числа.

2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k₁ второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k₁ = α + βi, k₁ = α − βi. Общее решение записывается в виде

 
20 
Нормальная линейная система дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами записывается в виде

где x_i (t) − неизвестные функции, которые являются непрерывными и дифференцируемыми на некотором интервале [a, b]. Коэффициенты a_ij (t) и свободные члены f_i (t) представляют собой непрерывные функции, заданные на интервале [a, b].  
 
Используя векторно-матричные обозначения, данную систему уравнений можно записать как

где

В общем случае матрица A(t) и вектор-функции X(t), f(t) могут принимать как действительные, так и комплексные значения.  
 
Соответствующая однородная система с переменными коэффициентами в векторной форме имеет вид