Задача на непрерывное начисление процентов

Министерство  образования и науки Российской Федерации

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ  БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

Финансово-экономический  факультет

 

Кафедра прикладной математики

 

 

 

 

 

 

РЕФЕРАТ

 

Задача на непрерывное  начисление процентов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оренбург 2012

Оглавление

 

Введение

 

В некоторых экономических задачах, например, в задачах о денежных вкладах в Сбербанке, возникает необходимость рассчитать так называемые «простые», «сложные» и «непрерывные» проценты.

Сложные проценты применяются в  долгосрочных финансово-кредитных  операциях, если проценты не выплачиваются  периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. База для начисления сложных процентов в отличие от простых не остается постоянной — она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсолютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов.

С экономической точки  зрения метод сложных процентов  является более обоснованным, так как он выражает возможность непрерывного реинвестирования (повторного вложения) денежных средств. Тем не менее, для краткосрочных (продолжительностью менее года) финансовых операций чаще всего используется метод простых процентов.

Сложные  проценты существуют  только в том случае, когда величина в конце каждого этапа времени испытывает изменение на определенное число процентов, причем каждый раз начисление процентов происходит по отношению к тому значению рассматриваемой величины, которое образовалось в конце предыдущего этапа времени.

При использовании простых процентов  размер вклада ежегодно будет увеличиваться  на одну и ту же величину .

Например,

                   ,…,

                  A_n = A₀( ).

На практике чаще используются сложные  проценты, при этом

размер вклада будет увеличиваться  в одно и то же число  раз, т.е.

Некоторая величина A, исходное значение которой A₀, в конце первого этапа будет равна .

В конце второго этапа - .

В конце третьего этапа - . и т.д.

Таким образом, в конце n-этапа

 

Эта формула показывает, что величина A растет (или убывает, если p<0) в геометрической прогрессии, первый член которой равен , а знаменатель – величина .

В случае непрерывного начисления процентов  большую роль помимо формулы начисления сложных процентов  играет второй замечательный предел:

Задача о непрерывном начислении процентов. Формула непрерывного начисления процентов.

 

Пусть вклад A₀ ден. ед. положен в банк под р процентов годовых. Найти размер вклада через n лет при условии, что начисление процентов производится m раз в год.

Решение:

Формула  
 

имеет интересное приложение. Во многих областях практики имеются величины, которые испытывают приращение не скачкообразным образом, а меняются непрерывно.

За год проценты были начислены n раз.

Если начислять проценты не один раз в году, а m-раз, то при том же ежегодном приросте p% процент начисления за часть года составит %, а размер вклада за n лет при n*m начислениях составит

 

Таким образом, общая сумма вклада в конце года, если проценты начислялись  по истечении полугода, составит:

По истечении  квартала:

 

Предположив, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие (m=2), ежеквартально (m=4), ежемесячно (m=12), каждый день (m=365), каждый час (m=8670) и т.д. непрерывно , получим величину вклада при непрерывном начислении процентов. Воспользуемся вторым замечательным пределом.

 

 

 

 

 

Так как количество лет в этой формуле может быть и дробным  числом, обозначим его t.

Таким образом, получили формулу непрерывного начисления процентов:

Полученная формула непрерывного начисления процентов выражает показательный (экспоненциальный) закон роста (при р > 0) или убывания (при р < 0).

Формула завышает вклад по сравнению  с тем, который рассчитан по формуле сложных процентов:

Погрешность вычисления суммы вклада по формуле непрерывного начисления процентов по сравнению с формулой сложных процентов, начисляемых ежегодно (m = 1), при процентной ставке р = 5% составляет около 2,5%.

Погрешность вычисления суммы  вклада по формуле непрерывного начисления процентов по сравнению с формулой сложных процентов, начисляемых ежедневно (m = 365), при процентной ставке р = 5% является более меньшей и составляет сотые доли процента.

Рисунок 1

На рис. 1 изображена зависимость сумы вклада величиной 1 ед. от времени при вычислении по формуле сложных процентов и по экспоненциальному закону при годовой процентной ставке 5%. Экспонента удовлетворительно описывает рост величины вклада, особенно в первые годы. С течением времени расхождение увеличивается и, например, через 10 лет составит 1,2%.

 

 

 

 

В таблице для сравнения приведены величины вкладов An вычисленные при A₀=1 ден.ед, p=5%, n=20 лет

	Формула простых процентов	Формула сложных процентов					Формула непрерывного начисления процентов
		m=1	m=2	m=4	m=12	m=365
Размер вклада, ед.	2,0000	2,6355	2,6851	2,7015	2,7126	2,7181	2,7182

 

Полезна формула непрерывного начисления процентов и в демографии. Закон  показательного роста позволяет  прогнозировать изменения в составе населения, динамику роста трудоспособного населения, соотношение городского и сельского населения, текучесть рабочей силы и т. п.

Вывод

Хотя в практических финансово-кредитных  операциях непрерывное начисление процентов применяется крайне редко, оно оказывается весьма эффективным при анализе сложных финансовых проблем, в частности, при обосновании и выборе инвестиционных решений. 

Примеры задач на непрерывное начисление процентов.

1. Пусть темп инфляции составляет 20 % в год. Тогда реальная стоимость хранящихся дома денежных сбережений уменьшается. Насколько она уменьшится за месяц?

Решение: Применение формулы начисления непрерывных процентов дает A(1/12)= , где - хранящаяся дома денежная сумма.

Таким образом, инфляция за месяц уменьшит реальную стоимость денежной заначки приблизительно на 2%.

2. Первоначальный вклад, положенный в банк под 10% годовых составил 6 млн. руб. Найти размер вклада через 5 лет при начислении процентов a) ежегодном; б) поквартальном; в) непрерывном
3. Товарооборот фирмы ежемесячно увеличивается на 1%. Через сколько месяцев её товарооборот, сохраняя темпы роста, увеличится в 2,7 раза по сравнению с первоначальным (считать e ). Ответ округлить до целых.
4. Заполнить таблицу вкладов A_n , вычисленных при А₀= 4 тыс. руб., p=15%, через 10 лет.

	Формула простых процентов	Формула сложных процентов					Формула непрерывного начисления процентов
		m=1	m=2	m=4	m=12	m=365
Размер вклада, ед.

 

 

Список использованной литературы:

1. Ахтямов А.М. «Математика для социологов и экономистов» Москва 2004г. 464 с.
2. Малугин В.А. «Математика для экономистов: Математический анализ. Курс лекций» Москва 2005г. 272 с.
3. Финансовая математика: учеб.-практ. пособие / Ю. П. Лукашин. - М. : МГУ, 1998. - 82 с. - (Система дистанционного образования)
4. Четыркин Е.М. «Финансовая математика» Москва 2004г. 400 с.
5. Высшая математика для экономистов: учебник для вузов / Н. Ш. Кремер [и др.]- 2-е изд., перераб. и доп. - М. : Юнити, 2002. - 471 с - ISBN 5-238-00030-8.

 

 

 

                                        

8