Задачи по "Математике"

Раздел I (№11 = 11 -1+1)

11. В урне 10 шаров. Вероятность  того, что 2 извлеченных шара окажутся белыми, равна

2/15. Сколько в урне белых  шаров?

Решение:

А – два извлеченных  шара оказались белыми

P(A)=  C_n² / C₁₀² = 2/15, где

C_n² – общее число элементарных исходов (т.е. сколькими способами можно извлечь 2 шара из 10 данных).

C₁₀² – число благоприятствующих исходов (т.е. сколькими способами можно извлечь 2 белых шара из n белых шаров).

P(A)=  C_n² / C₁₀² = ( n!/(2!(n-2)!)) / (10!/(2!(10-2)!)) = (n!2!8!) / (2! (n-2)!10!) = ((n-1) * n) / 9*10 = (n² – n) / 90.

По условию задачи  P(A) = 2/15, значит (n²-n) / 90 = 2/15. Решив данное уравнение, найдем n - число белых шаров (n N)

n²-n = 12

n²-n-12 = 0    

D = b² – 4ac = 49

n_1,2 = -b ± D

n₁ = (1-7)/2 = -3 – данный вариант не подходит, так как по условию задачи (n N)

n₂ = (1+7)/2 = 4 – число белых шаров в урне

Ответ: в урне 4 белых шара.

 

Раздел II (№10 = 11-2+1)

10. Из урны, содержащей  n шаров с номерами от 1 до n, последовательно извлекаются два шара, причем первый шар возвращается, если его номер не равен единице. Определить вероятность того, что шар с номером 2 будет извлечен при втором извлечении.

Решение:

Событие: A – на втором извлечении попался шар №2;

B – на первом извлечении попался шар №1;

B̅ - на первом извлечении попался шар не №1.

A = (AB) (A B̅), где B B̅ = Ω и B B̅ =

P(AB) = P(A|B) * P(B)

P(A B̅) = P(A|B̅) * P(B̅)

P(A) = P(A|B) * P(B) + P(A|B̅) * P(B̅),

P(A|B) =

P(B) =

P(A|B̅) = – (т.к. первый шар возвращается обратно, если его номер не равен 1)

P(B̅) = 1 – P(B) = 1 – .

Подставив значения в формулу, получим:

P(A) = * + * ( 1 – ) = * ( ) = .

Ответ: P(A) = . 

Раздел III (№9 = 11-3+1)

9. При переливании крови надо учитывать группу крови донора и больного. Человеку, имеющему четвертую группу крови, можно перелить кровь любой группы; человеку со второй или третьей группой крови можно перелить кровь либо той же группы, либо первой; человеку с первой группой крови можно перелить только кровь первой группы. Среди населения 33,7% имеют первую группу, 37,5% – вторую, 20,9% – третью и 7,9% – четвертую группу крови. Найдите вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.

Решение:

Гипотезы:

1. H₁ – случайно выбран больной с I группой крови;

2. H₂ - случайно выбран больной с II группой крови;

3. H₃ - случайно выбран больной с III группой крови;

4. H₄ - случайно выбран больной с IV группой крови.

Событие А – для случайно выбранного больного выбран подходящий донор.

Вероятности гипотез:

P(H₁) = 0,337;

P(H₂) = 0,375;

P(H₃) = 0,209;

P(H₄) = 0,079.

Условные вероятности:

P(A|H₁) = 0,337;

P(A|H₂) =  0,337 + 0,375 = 0,712;

P(A|H₃) = 0,337 + 0,209 = 0,546;

P(A|H₄) = 0,337 + 0,375 + 0,209 + 0,079 = 1.

По формуле полной вероятности:

P(A) = 0,337 * 0,337 + 0,375 * 0,712 + 0,209 * 0,546 + 0,079 * 1 = 0,113569 + 0,267 + 0,114114 +0,079 = 0,573683 0,574

Ответ: вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора = 0,573683 0,574. 

Раздел IV (№8 = 11-4+1)

8. Вероятность получения положительного результата в каждом из независимых опытов равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?

Решение:

p = 0,9;

m = 150;

P(m ≥ 150) = 0,98;

n = ? (количество опытов, которых нужно произвести)

q = 1 – P = 1 – 0,9 = 0,1.

Пусть  u = = = .

Используя нормальное приближение, получаем:

P(m ≥ 150) = P( ≥ u) 1 - = – ₀(u) ≥ 0,98.

Отсюда, ₀(u) -0,48, и по таблице №2 и из свойств функции Лапласа, получаем:

= 0,96;

u -2,05;

  -2,05.

Обозначим = x  > 0 и получим неравенство 150-0,9n+0,615 0

0,9 х² -0,615х -150 ≥ 0

D = b² – 4ас = (-0,615)² - 4 * (-150) * 0,9 = 540,378225

Х_1,2  =

Х₁ = = = -12,573 (не подходит, так как x>0);

 

Х₂ = = = 13,256

X ≥ 13,256, следовательно n(13,256)² ; n 176.

Ответ: надо произвести 176 и более опытов. 

Раздел V (№7 = 11-5+1)

7. Цепь Маркова управляется матрицей P =.

а) Убедитесь в применимости теоремы Маркова к этой цепи.

б) Найдите предельные вероятности.

Решение:

Так как все элементы Р² строго положительны, то условие теоремы Маркова о предельных вероятностях выполняется. Следовательно, предельные вероятности существуют.

Для нахождения предельных вероятностей  решим систему

р1+р2+р3=1                                  

р1 =  0р1+1р2+0р3                                  р1 =  1р2

р2 =  0,25р1+0,5р2+0,25р3                                                         р1 = р3

р3 = 0р1+1р2+0р3                                    р3 = 1р2

Ответ: а) теорема применима;

б) р1 = р3

 

Раздел VI (№6 = 11-6+1)

6. Построить таблицу распределения, многоугольник распределения и функцию распределения случайной величины X – числа делителей натуральных чисел от 1 до 10.

Решение:

Случайная величина X – число делителей натуральных чисел от 1 до 10. Может принимать значения 1;2;3;4.

Если х=1, то один делитель у числа 1, значит вероятность этого события составит 0,1.

Если х=2, то два делителя у чисел 2, 3, 5, 7; значит вероятность  этого события 0,4.

Если х=3, то три делителя у чисел 4, 9; значит вероятность этого  события 0,2.

Если х=4, то четыре делителя у чисел 6, 8, 10; значит вероятность  этого события 0,3.

Таблица распределения:

Таблица № 1

х	1	2	3	4
Р(х)	0,1	0,4	0,2	0,3

Проверка: 0,1+0,4+0,2+0,3=1. Значит, расчеты выполнены верно.

Многоугольник распределения:

График №1

Построим функцию распределения F(x):

Если х<1, то F(x) = 0;

Если 1≤х<2, то F(x) = 0,1;

Если 2≤х<3, то F(x) = 0,1+0,4=0,5;

Если 3≤х<4, то F(x) = 0,1+0,4+0,2=0,7;

Если 4≤х, то F(x) = 0,1+0,4+0,2+0,3=1.

Таблица №2

х	х<1	1≤х<2	2≤х<3	3≤х<4,	4≤х
F(x)	0	0,1	0,5	0,7	1

Графически:

График №2

 

 

Раздел VII (№5 = 11-7+1)

5. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид:

 

Найдите математическое ожидание (М(х)) и дисперсию случайной величины Х (D(x))

Решение:

 

M(x) =   – формула для вычисления М(х)

M(x) =   = + = x =

Вычислим интеграл по частям:

u = x;

du = dx;

dv = dx;

v = .

= 0,04 = 0,04 *( * + ) = 0 + = 25

Вычислим дисперсию D(x):

D(x) = M() – (M(x))² – формула для вычисления D(x),

где M() = ² *  

M() = ^{2 *}   = * x² + = ² * 0,04* = = * x² =

Вычислим интеграл по частям:

u = x;

du = dx;

dv = dx;

v = .

= 0,04 * = 0,04 ( + * 2x) = 2 * x =

Вычислим по частям:

u = x;

du = dx;

dv = dx;

v = .

= 2 ( * + 0 + 50 = 50 * =

= -1250 * (0-1) = 1250

Подставим в формулу для  D(x):

D(x) = M() – (M(x))² = -1250 –(25)² = 1250-625 = 625

Ответ: М(х) = 25;

             D(x) = 625.

 

Раздел VIII (№4 = 11-8+1)

4. Распределение двух радиоламп  по сроку службы:

Таблица №3

Срок службы, ч	Кол-во ламп	Срок службы, ч	Кол-во ламп
300-400	1	800-900	52
400-500	9	900-1000	29
500-600	18	1000-1100	14
600-700	33	1100-1200	4
700-800	40

 

Решение:

Найдем частоты и построим гистограмму:

Таблица №4

Срок службы	Количество	Частота
300-400	1	0,005
400-500	9	0,045
500-600	18	0,09
600-700	33	0,165
700-800	40	0,2
800-900	52	0,26
900-1000	29	0,145
1000-1100	14	0,07
1100-1200	4	0,02
	200	1

 

 

 

 

 

 

Диаграмма №1

Из вида гистограммы можно  предположить нормальное  распределение. Нормальным называют распределение  вероятностей непрерывной случайной  величины Х, плотность которого имеет  вид:

* ,

где a – математическое ожидание;

 – среднеквадратичное  отклонение X.

Найдем его параметры: вычислим выборочную среднюю и дисперсию (для расчетов найдем середину интервала и примем его варианту):

Таблица №5

№	x=
1	350		1
2	450		9
3	550		18
4	650		33
5	750		40
6	850		52
7	950		29
8	1050		14
9	1150		4
			200

Найдем выборочную среднюю по формуле:

X̅ =

Дисперсию найдем по формуле:

 

Среднее квадратичное отклонение находим по формуле:

 

Построим вспомогательную  таблицу:

Таблица 6

№			x=		*x	*
1	300	400	350	1	350	188356
2	400	500	450	9	4050	1004004
3	500	600	550	18	9900	985608
4	600	700	650	33	21450	592548
5	700	800	750	40	30000	46240
6	800	900	850	52	44200	226512
7	900	1000	950	29	27550	799124
8	1000	1100	1050	14	14700	990584
9	1100	1200	1150	4	4600	535824
			∑	200	156800	5368800
				-	784	26844

 

X̅ = = 784 – выборочная средняя

  = 26844 – дисперсия

= = 163,84 – среднее квадр. отклонение

(x) = * = *

Проверим  нулевую гипотезу о нормальном законе распределения  по критерию Пирсона. Найдем наблюдаемое  значение х² _набл. Перейдем к переменным по формулам:

Z =

Составим таблицу:

Таблица №7

№			=	=	Ф(	Ф (	= Ф(	= 200*
1	300	400	-	-2.34	-0.500	-0.4904	0.0096	1.92
2	400	500	-2.34	-1.73	-0.4904	-0.4582	0.0322	6.44
3	500	600	-1.73	-1.12	-0.4582	-0.3686	0.0896	17.92
4	600	700	-1.12	-0.51	-0.3686	-0.1950	0.1736	34.72
5	700	800	-0.51	0.10	-0.1950	0.0398	0.2348	46.96
6	800	900	0.10	0.71	0.0398	0.2611	0.2213	44.26
7	900	1000	0.71	1.32	0.2611	0.4066	0.1455	29.10
8	1000	1100	1.32	1.93	0.4066	0.4732	0.0668	13.36
9	1100	1200	1.93	-	0.4732	0.500	0.0268	5.36
								200

 

где Ф() – функции Лапласа; – выборочное среднее; – среднеквадратичное отклонение.

Сравним эмпирические и теоретические  частоты, используя критерий Пирсона:

Таблица №8

№				= 200*	-
1	300	400	1	1.92	0.92	0.85	0.44
2	400	500	9	6.44	-2.56	6.55	1.02
3	500	600	18	17.92	-0.08	0.006	0
4	600	700	33	34.72	1.72	2.96	0.09
5	700	800	40	46.96	6.96	48.44	1.03
6	800	900	52	44.26	-7.74	59.91	1.35
7	900	1000	29	29.10	0.10	0.01	0
8	1000	1100	14	13.36	-0.64	0.41	0.03
9	1100	1200	4	5.36	1.36	1.85	0.35
							4,31