Автор работы: Пользователь скрыл имя, 02 Апреля 2013 в 15:05, задача
Находим определитель матрицы
Здесь определитель раскрыт по первой строке.
Находим матрицу миноров М. Матрица миноров имеет размерность «три на три». Нужно найти девять чисел. Матрица миноров примет вид
Найдем матрицу алгебраических дополнений В.
I. Найти обратную матрицу с помощью алгебраических дополнений
7.
Решение.
Находим определитель матрицы
Здесь определитель раскрыт по первой строке.
Находим матрицу миноров М. Матрица миноров имеет размерность «три на три». Нужно найти девять чисел. Матрица миноров примет вид:
Найдем матрицу алгебраических дополнений В.
В матрице миноров необходимо сме
– матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А.
Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений Вт
– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы
Обратную матрицу найдем по формуле: , где Вт – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А.
II. Решить систему линейных уравнений методом Крамера и методом Гаусса:
1
7.
Решение.
Метод Крамера:
Выпишим главный определитель и вычислим его:
Главный определитель не равный нулю, поэтому решение существует, найдём его. Для начала надо выписать дополнительные определители, для этого надо поменять местами соответствующий столбец с последним (тот, что после знака равности). Потом вычислить их значения:
Подставим полученные значения в формулы Крамера:
Метод Гаусса:
Выпишем матрицу системы:
Преобразуем её к треугольной:
Напишем систему уравнений по этой матрице:
-Х1+3Х2-4Х3=1
8Х2-9Х3=3
0,75Х3=-0,25
Из последнего уравнения легко можно найти Х3, имея его, можно подставить это значение в предпоследнее уравнения и найти Х2. и Х1
Таким образом:
Х1=0,33; Х2=0; Х3=-0,33.
III. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти
объем пирамиды;
угол между ребрами А1А2 и А1А4;
площадь грани А1А2А3
Решение.
Объем пирамиды равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов .
(-2,3,0)
(-2,0,6)
(0,3,-2)
, где - символ смешанного произведения этих векторов. Смешанное произведение находится как определитель, составленный из координат данных векторов.
Тогда объем пирамиды равен:
Далее найдем угол между ребрами А1А2 и А1А4.
Находим координаты векторов А1А2 и А1А4:
(-2,3,0)
(0,3,-2)
Скалярно перемножаем вектора (перемножаем соответствующие координаты векторов и результаты складываем):
-2*0 + 3*3 + 0*(-2) = 0 + 9 + 0 = 9.
Результат делим
на произведение длин векторов
Из полученных данных получаем косинус угла:
cos α = 9/13=0,6923
Таким образом, угол между ребрами А1А2 и А1А4 составляет 510.
Найдем площадь грани А1А2А3.
Площадь грани равна половине длины векторного произведения векторов и .
Где - векторное произведение.
Векторное произведение векторов находится как формальный определитель третьего порядка, в верхней строчке которого находятся векторы ортонормированного базиса, а вторая и третья строчка координаты данных векторов:
Откуда
.
IV. Найти производные функций:
Решение.
а) По формуле (ln x)’ = 1/x найдем производную функции . По правилу дифференцирования сложной функции находим:
б) По правилу дифференцирования сложной функции находим:
y’ = (-sin x(2 – 3 sin x) + 3 cos x* cos x ) / (2 – 3 sin x)2 =
=( -2 sin x + 3 sin2 x + 3 cos 2 x) / (2 – 3 sin x)2 =
= (-2 sin x + 3 (sin2 x + cos 2 x)) / (2 – 3 sin x)2 =
= (-2 sin x + 3 *1) / (cos x - 1)2 =
= (3 - 2 sin x) / (2 – 3 sin x)
V. Вычислить неопределенные интегралы
Решение.
а)
б)
Список источников