Задачи по "Теории вероятностей и математической вероятности"

Решение:

а) Математическое ожидание дискретной случайной величины Х определяется как сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:

= –2×0,1 + (–1)×0,2 + 0×0,3 + 2×0,3 + 3×0,1 = 0,5.

б) Дисперсию  удобно вычислять по формуле D(X) = M(X ²) – M ²(X), где

= (–2)²×0,1 + (–1)²×0,2 + 0²×0,3 + 2²×0,3 + 3²×0,1 = 2,7.

Таким образом дисперсия дискретной случайной величины Х равна

D(X) = M(X ²) – M ²(X) = 2,7 – 0,5² = 2,7 – 0,25 = 2,45

Среднее квадратическое отклонение находим  по определению: s(X) = 1,57.

 

Задача 6. По данному закону распределения дискретной случайной величины Х найти числовые характеристики: а) математическое ожидание М(Х); б) дисперсию D(X).

хi	p/3	p/2	3p/4	5p/4
pi	0,1	0,7	0,05	0,15

Решение:

а) Математическое ожидание дискретной случайной величины Х определяется как сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:

=  0,1 +  ×0,7 +  ×0,05 + ×0,15 = 

= p 0,1 +  ×0,7 +  ×0,05 + ×0,15  » 0,61p.   Или   M(X) = 0,61×3,14 = 1,91.

б) Дисперсию  удобно вычислять по формуле D(X) = M(X ²) – M ²(X), где

=  0,1 +  ×0,7 +  ×0,05 + ×0,15 

= p² = 0,45 p². 

Таким образом дисперсия дискретной случайной величины Х равна

D(X) = M(X ²) – M ²(X) = 0,45p² – (0,61p)² = 0,45p² – 0,37p² = 0,08p².

Среднее квадратическое отклонение находим  по определению: s(X) = 0,28p.

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 3.

 

Задача 1.

Cлучайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием а  и средним квадратическим отклонением s. Найти: а) вероятность попадания случайной величины в интервал (х₁; х₂);

б) величину интервала d, в который с заданной вероятностью Р попадает значение случайной величины Х: .

Решение (1): 

а) Вероятность того, что значение случайной величины Х попадет в интервал (α, β) находится по формуле  ,

где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

В нашем случае, вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (3; 9) равна = Ф(2) – Ф(–1).

Учитывая  что функция Ф(х) является Нечетной, т.е. Ф(–х) = – Ф(х) по таблице значений интегральной функции Лапласа находим: Ф(2) = 0,47725 и Ф(–1) = – Ф(1) = –0,34134, тогда = 0,47725 + 0,34134 = 0,81859.

б) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна

, где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

По условию задачи

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что

= 1,29, следовательно d = 1,29×s = 1,29×2 = 2,58.

Решение (2): 

а) Вероятность того, что значение случайной величины Х попадет в интервал (α, β) находится по формуле  ,

где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

В нашем случае, вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (0; 7) равна = Ф(1,33) – Ф(–1).

Учитывая  что функция Ф(х) является Нечетной, т.е. Ф(–х) = – Ф(х) по таблице значений интегральной функции Лапласа находим: Ф(1,33) = 0,40824 и Ф(–1) = – Ф(1) = –0,34134, тогда = 0,40824 + 0,34134 = 0,74958.

б) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна

, где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

По условию задачи

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что

= 1,65, следовательно d = 1,65×s = 1,65×3 = 4,95.

 

Решение (3): 

а) Вероятность того, что значение случайной величины Х попадет в интервал (α, β) находится по формуле  ,

где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

В нашем случае, вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (–2; 2) равна = Ф(1) – Ф(–3).

Учитывая  что функция Ф(х) является Нечетной, т.е. Ф(–х) = – Ф(х) по таблице значений интегральной функции Лапласа находим: Ф(1) = 0,34134 и Ф(–3) = – Ф(3) = –0,49865, тогда = 0,34134 + 0,49865= 0,84.

б) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна

, где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.

По условию задачи

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что

= 1,96, следовательно d = 1,96×s = 1,96×1 = 1,96.

 

 

Задача 2.

Задано статистическое распределение  выборки. Найти:

а) эмпирическую функцию распределения F*(x);

б) точечные оценки параметров распределения: выборочное среднее, исправленную дисперсию, исправленное среднеквадратическое отклонение.

хi	13	14	16	20
ni	4	2	1	3

Решение:

а) Эмпирической функцией распределения F*(x) называется относительная частота того, что признак примет значение, меньшее заданного. Другими словами, для данного х эмпирическая функция распределения представляет накопленную частоту   F*(x) = = w_i^накопл

Для эмпирической функции распределения  рассчитаем относительные частоты  по формуле w_i= n_i /n , где n – объем выборки.  Вычисления занесем в таблицу:

xi	ni	wi= ni /n	F*
13	4	0,4	0,4
14	2	0,2	0,6
16	1	0,1	0,7
20	3	0,3	1,0
S	n = 10	1,0

Таким образом эмпирическая функция распределения F*(х) имеет вид:

б) Выборочные числовые характеристики вычислим по формулам:

 – выборочное среднее;  – выборочная дисперсия

Для удобства произведения х_i×n_i и х²_i×n_i вычислим с помощью таблицы:

хi

ni

хi × ni

х2i × ni

 

   = 252,4 – 243,36 = 9,04

Исправленную  дисперсию s² найдем по формуле  = 10,04

Исправленное  среднее квадратическое отклонение s равно квадратному корню из исправленной дисперсии

= 3,17.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3.

Задано статистическое распределение  выборки. Найти:

а) эмпирическую функцию распределения  F*(x);

б) точечные оценки параметров распределения: выборочное среднее, исправленную дисперсию, исправленное среднеквадратическое отклонение.

хi	–7	–5	–4	–1
ni	3	1	2	4

Решение:

а) Эмпирической функцией распределения F*(x) называется относительная частота того, что признак примет значение, меньшее заданного. Другими словами, для данного х эмпирическая функция распределения представляет накопленную частоту   F*(x) = = w_i^накопл

Для эмпирической функции распределения  рассчитаем относительные частоты  по формуле w_i= n_i /n , где n – объем выборки.  Вычисления занесем в таблицу:

xi	ni	wi= ni /n	F*
–7	3	0,3	0,3
–5	1	0,1	0,4
–4	2	0,2	0,6
–1	4	0,4	1,0
S	n = 10	1,0

Таким бразом эмпирическая функция распределения F*(х) имеет вид:

б) Выборочные числовые характеристики вычислим по формулам:

 – выборочное среднее;  – выборочная дисперсия

Для удобства произведения х_i×n_i и х²_i×n_i вычислим с помощью таблицы:

хi

ni

хi × ni

х2i × ni

 

   = 20,8 – 14,44 = 6,36

Исправленную  дисперсию s² найдем по формуле  = 7,07

Исправленное  среднее квадратическое отклонение s равно квадратному корню из исправленной дисперсии

= 2,66