Жоғары математика

 

РЕФЕРАТ

Тақырыбы:Логикалық  функциялар

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Жоспары

 

1Логикалық функциялар

1.2Негізгі функциялар

1.2.1 Әмбебап функциялар

2 Логика алгебрасының заңдары мен заңдылықтары

2.1 Күрделі функциялар

 

 

 

 

1Логикалық функциялар

1.2Негізгі функциялар

Цифрлық (логикалық) құрылғылардың кірістері мен шығыстарындағы кернеу мәндері логикалық 0 немесе логикалық 1 деп аталатын екі түрлі деңгейде болады. Логикалық құрылғылардың бұл ерекшелігі оларды жобалау үшін немесе осындай дайын құрылғылардың жұмысын талдау үшін логика алгебрасының (немесе Буль алгебрасының) қағидаларын пайдалануға мүмкіндік береді.

Цифрлық құрылғылардың  атқарар қызметі сәйкесті логикалық  функциялар арқылы сипатталады. Күрделілігі  әртүрлі кез келген логикалық  функцияны негізгі логикалық  функциялар деп аталатын үш функция арқылы суреттеуге болады, олар – ЕМЕС, НЕМЕСЕ, ЖӘНЕ функциялары. Олардың атқарар қызметін кесте түрінде (ол ақиқаттық кестесі деп аталады) немесе сәйкесті логикалық өрнек арқылы суреттеуге болады.

ЕМЕС функциясы  – аргументіне қарсы мәнді шығаратын, бір аргументті функция (1.1-кесте), сондықтан бұл функция инверсия (inversion - терістеу) деп те аталады. Оның аргументі Х деп белгіленген болса, онда бұл функция Y= өрнегімен суреттеледі.

1.1 К е с т е

Х1
0	1
1	0

 

   

НЕМЕСЕ функциясы – аргументтерінің барлығы да 0 кезінде ғана 0 шығаратын, ал қалған жағдайда (яғни, аргументтерінің кем дегенде біреуінің мәні 1 болғанда) 1 шығаратын, бірнеше аргументті функция (1.2-кесте). Бұл функция дизъюнкция (disjunction) немесе логикалық қосу (logical addition) деп те атала береді. Оның логикалық өрнегі Х1Х0 түрінде суреттеледі.

1.2 К е с т е

Х1	Х0	Х1Х0
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

 

  

 

 

 ЖӘНЕ функциясы –  аргументтерінің барлығы да 1 кезінде  ғана 1 шығаратын, ал қалған жағдайда (яғни, аргументтерінің кем дегенде біреуінің мәні 0 болғанда) 0 шығаратын бірнеше аргументті функция (1.3-кесте). Бұл функция конъюнкция (conjunction) немесе логикалық көбейту (logical multiplication) деп те атала береді. Оның логикалық өрнегі Х1Х0 (немесе Х1Х0) түрінде суреттеледі.

1.3 К е с т е

Х1	Х0	Х1Х0
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

 

 

 

 

 

 

 

 

Суреттелген ЕМЕС, НЕМЕСЕ, ЖӘНЕ функциялары арқылы кез келген күрделі  функцияны суреттеуге болады, сондықтан, олар логикалық функциялардың түпнегіздік  жинағын (core set) құрады.

1.2.1 Әмбебап функциялар

Қарастырылған үш функциядан басқа, әмбебап функциялар деп аталатын екі функция бар, олар – НЕМЕСЕ-ЕМЕС және ЖӘНЕ-ЕМЕС функциялары. НЕМЕСЕ-ЕМЕС функциясы Пирс функциясы  деп, ал ЖӘНЕ-ЕМЕС фукциясы Шеффер функциясы  деп те атала береді. Олардың сәйкесті логикалық өрнектері және түрінде суреттеледі, ал атқарар қызметі 1.4-кестеде келтірілген.

1.4 К е с т е

Х1	Х0
0	0	1	1
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	0	0

 

 

  

 

Соңғы қарастырылған  екі функцияның әрбіреуінің жеке өзі-ақ түпнегіздік жинақ құрады, яғни олардың негізінде кез келген күрделі логикалық функция құруға болады.

1.1.2.3 Теңдік  және теңсіздік функциялары

Ерекше қызметтерге  пайдаланылатын тағы екі функцияны  қарастыра кетелік, олар – теңдік (немесе арифметикалық қосу) функциясы  мен теңсіздік функциясы. Олардың сәйкесті логикалық өрнектері және түрінде суреттеледі, ал атқарар қызметі 1.5-кестеде келтірілген.

1.5 К е с т е

Х1	Х0
0	0	0	1
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

 

 

  

 

2 Логика алгебрасының заңдары мен заңдылықтары

Цифрлық құрылғылардың схемаларын құру барысында оларды суреттеуші логикалық фунцияларды әртүрлі мақсатқа сай (мысалы, оларды қарапайым түрге келтіру үшін) түрлендіру қажет болады. Бұндай түрлендірімдер логика алгебрасының заңдары мен осы заңдардың жеке жағдайларға тікелей пайдалануға ыңғайландырып шығарылған заңдылықтарының негізінде жүргізіледі (1.6-кесте).  

1.6 К е с т е

Заңдар
Коммутативтік (commutativity) немесе алмастырылым заңы
Х1Х0 = Х0Х1	Х1Х0 = Х0Х1
Ассоциативтік (associativity) немесе біріктірілім заңы
Х2(Х1Х0) = (Х2Х1)Х0	Х2 (Х1Х0) = (Х2Х1)Х0
Дистрибутивтік (distributivity) немесе таратылым заңы
Х2Х1Х1Х0 = Х1(Х2Х0)	(Х2Х1)(Х1Х0) = Х1(Х2Х0)
де Морган заңы
Заңдылықтар
X0 = X	X0 = 0
X1 = 1	X1 = X
XX = X	XX = X
X = 1	X = 0
X1X1X0 = X1	X1(X1X0) = X1
X1X0 = X1X0	X1(X0) = X1X0

 

 Бұл заңдар мен заңдылықтар  – симметриялы, яғни олардың дизъюнкциялық  және конъюнкциялық түрлері болады. Бұл заңдардың кейбірі дәстүрлі алгебрада қалыптасқан заңдар, сондықтан  олардың дұрыстығы күмән тудырмайды, ал дәстүрлі алгебраға тән емес, жаңа заңдар мен заңдылықтардың дұрыстығына көз жеткізу (яғни, оларды дәлелдеу) аргументтерінің орындарына олардың сәйкесті мәндерін (0 мен 1) қойып тексеру арқылы жүзеге асырылады.

2.1 Күрделі функциялар

Күрделі цифрлық құрылғылардың жұмысы әрине, қарапайым функцияларды нақтылы тәртіппен біріктіру арқылы көрсетілген күрделі функциялармен суреттеледі. Олар да қарапайым функциялар сияқты кесте түрінде немесе сәйкесті логикалық өрнек арқылы суреттеледі. Құрылғының жұмысын сипаттаушы логикалық өрнек арқылы оның схемасы құрылады. Демек, функция жазылымы күрделі болған сайын, оның схемасы да күрделі болады. Сондықтан, оларды мүмкіндігінше қарапайымдылау түрге келтіруге тырысу керек болады. Енді осы мәселелерді толығырақ қарастыруға кіріселік.

Цифрлық құрылғының жұмысы көптеген жағдайда кесте түрінде  беріледі. Әрине, оның мәтін түріндегі  түсіндірме арқылы да берілуі мүмкін, бұндай жағдайда берілген түсіндірмені кесте түріндегі суреттемеге  айналдыру керек болады. Сонымен, әңгімені кестеден басталық, ал құрылғы қызметінің түсіндірме арқылы берілу жағдайы кейінірек қарастырылады.

Кесте түрінде  сүреттелген функцияның (1.7-кесте) логикалық  өрнегін жазудың екі түрлі  жолы (тәсілі) бар:

-       көбейтінділердің қосылымы түрінде, яғни алдымен ЖӘНЕ функцияларын пайдаланып, сосын олардың нәтижесін НЕМЕСЕ функциясымен біріктіру арқылы жазу;

-       қосындылардың көбейтілімі түрінде, яғни алдымен НЕМЕСЕ функцияларын пайдаланып, сосын олардың нәтижесін ЖӘНЕ функциясымен біріктіру арқылы жазу. 

1.7 К е с т е

X2	X1	X0	Y
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	1

 

 Бірінші тәсіл келесі тәртіппен  жүзеге асырылады:

-       функцияның (Y) 1 мәнін қабылдайтын аргумент жинақтарының логикалық көбейтінділері

жазылады;

-       алдыңғы айтылған логикалық көбейтінділерді жазу кезінде 1 мәніндегі аргументтер тура түрінде алынады да, 0 мәніндегі аргументтер теріс түрінде алынады (бұндай жазылымдар конъюнктивті термдер деп аталады);

-       жазылған конъюнктивті термдер логикалық қосу функциясы арқылы біріктіріледі.

Кесте түрінде  берілген үш аргументті функцияның айтылған тәсілмен жазылған логикалық өрнегі:

Енді логикалық  өрнектің жазылымының екінші тәсілін  қарастыралық, ол келесі тәртіппен  жүзеге асырылады:

-       функцияның 0 мәнін қабылдайтын аргумент жинақтарының логикалық қосындылары жазылады;

-       логикалық қосындыларды жазу кезінде 0 мәніндегі аргументтер тура түрінде алынады да, 1 мәніндегі аргументтер теріс түрінде алынады (бұндай жазылымдар диъюнктивті термдер деп аталады);

-       жазылған диъюнктивті термдер логикалық көбейту функциясы арқылы біріктіріледі

3 Қиыстырма құрылғылар

Шығыс сигналы (немесе сигналдары) тек қана кіріс  сигналдарының кезекті мәндеріне  тәуелді болатын құрылғылар қиыстырма  құрылғылар деп аталады. Бұндай құрылғылардың қарапайым түріне логикалық элементтер жатады.

3.1 Логикалық элементтер

Логикалық элементтер – логикалық функцияларды жүзеге асыруға арналған құрылғылар. 1.4-суретте  бұрын қарастырылған қарапайым  функцияларды жүзеге асырушы сәйкесті логикалық элементтердің шартты сызба белгілемелері келтірілген.

3.2 Логикалық элементтердің тез әрекеттілігі

Логикалық элементтердің  тез әрекеттілігі олардың бір  жағдайынан екінші жағдайына ауысу  жылдамдығымен анықталады. 1.5-суретте  ЕМЕС (NOT) элементі арқылы өзгерелі сигналдардың өту нәтижесі көрсетілген.

Бұнда шығыс сигналының өзгерісінің  кіріс сигналының өзгерісінен нақтылы  уақытқа кідіретіндігі айқын  көрініп тұр. Біздің Electronics Workbench моделдеу жүйесінде жүргізген өлшеміміз  бойынша ондағы ЕМЕС элементіндегі сигнал кідірісі 10 ns шамасында болады. Әрине, статикалық (яғни, белгілі уақыт аралығында тиянақты мәнін сақтайтын) сигналдармен істейтін құрылғылардың жұмысына бұндай кідірістің байқарлықтай әсері болмайды. Бірақ кейбір жағдайларда (мысалы, тізбектеме құрылғыларда) бұндай кідірістің құрылғының жұмысына байқарлықтай әсер етуі мүмкін. Кідіріс әрекетін суреттеу мақсатында екі ЕМЕС элементінің кірістеріне қатар берілген екі сигналдың осы элементтер арқылы алынған логикалық қосындысын қарастыралық (1.6-сурет). Схемада көрсетілгендей, бір сигнал екінші элементтің кірісіне екі ЕМЕС элементі арқылы берілген.

Идеалды жағдайда (яғни, ЕМЕС элементтерінде ешқандай кідірістің болмауы кезінде) екі элементтің шығыстарындағы сигнал бірдей болар  еді (1.7, a-сурет). Бұл диаграмма статикалық сигналдарды бақылауға арналған Electronics Workbench моделдеу жүйесіндегі Logic Analyzer аталымды арнайы аспап арқылы алынған.

Сезімтал осциллограф  арқылы алынған диаграммада (1.7, b-сурет) екінші элементтің бір кірісіне сигналдың екі ЕМЕС элементінен өтуге кеткен 20 ns кідірісінің әсерінен осы элементтің шығысындағы сигнал құрамына бөгде теріс импульстің қосылғанын көреміз. Сигнал құрамындағы бұндай бөгде импульс осы сигналдың түсетін құрылғысының бағдарланған жұмысын бүлдіруі мүмкін, сондықтан бұндай жағдайдың болмауын қамтамасыз ету керек.

Элементтегі сигнал кідірісін  ұтымды пайдалануға да болады. Мысалы, түймежинамның жеке түймесі арқылы өте қысқа (ұзақтығы 10 ns шамасындағы) жазу сигналын алу үшін 1.8-суретте  көрсетілген екі элемент арқылы құрылған схеманы пайдалануға болады.

3.2.1 Қиыстырма құрылғыларды құру тәртібі

Қиыстырма құрылғыларды құру келесі тәртіппен жүргізіледі:

-       құрылғының сөз-сөйлем түріндегі түсіндірмесінің негізінде оның ақиқаттық кестесі құрылады;

-       құрылған кестедегі деректер негізінде құрылғының жұмысын суреттеуші логикалық өрнек жазылады;

-       қажетті жағдайда алынған логикалық өрнек минимизацияланады;