Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница

Содержание

 

 

 Введение…………………………………………………………………………….2

1.Определение числового ряда. Понятие «сходимости» числового ряда…….3

 

2.Основные свойства числовых рядов…………………………………………...6

3.Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница…………………9

Заключение…………………………………………………………………………11

 Список используемых источников………………………………………………12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

В математических приложениях, а также при решении  некоторых задач в экономике, статистике и других областях рассматриваются суммы с бесконечным числом слагаемых. Прежде чем перейти к основной теме данной работы, мы должны сначала определить, что понимается под такими суммами?

Такие суммы  называются бесконечными рядами, а их слагаемые – членами ряда. Многоточие означает, что число слагаемых бесконечно. Решения сложных математических задач редко удается представить в точном виде посредством формул. Однако в большинстве случаев эти решения можно записать в виде рядов. После того, как такое решение найдено, методы теории рядов позволяют оценить, сколько членов ряда необходимо взять для конкретных вычислений или как записать ответ в наиболее удобном виде. Наряду с числовыми рядами мы можем рассматривать и функциональные ряды, слагаемыми которых являются функции. Многие функции можно представить с помощью функциональных рядов. Изучение числовых и функциональных рядов является важной частью математического анализа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Определение числового ряда. Понятие «сходимости» числового ряда

 

 

Пусть задана бесконечная  числовая последовательность:

, , …, , …

Определение 1.1. Числовым рядом или просто рядом называется выражение (сумма) вида

 

. (1.1)

 

Числа называются членами ряда, – общим или n–м членом ряда.

Чтобы задать ряд (1.1) достаточно задать функцию натурального аргумента вычисления -го члена ряда по его номеру

 

Пример 1.1. Пусть . Ряд

 (1.2)

 

называется гармоническим рядом.

 

Пример 1.2. Пусть , Ряд

 

      (1.3)

 

называется обобщенным гармоническим рядом. В частном случае при получается гармонический ряд.

 

Пример 1.3. Пусть = . Ряд

 

 (1.4)

 

называется рядом геометрической прогрессии.

Из членов ряда (1.1) образуем числовую последовательность частичных сумм где – сумма первых членов ряда, которая называется n-й частичной суммой, т. е.

 

,

,

,

,  (1.5)

Числовая последовательность при неограниченном возрастании номера может:

1) иметь конечный  предел;

2) не иметь  конечного предела (предел не  существует или равен бесконечности).

Определение 1.2. Ряд (1.1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (1.5) имеет конечный предел, т. е.

В этом случае число  называется суммой ряда (1.1) и пишется

 

.

 

Определение 1.3. Ряд (1.1) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела.

Расходящемуся ряду не приписывают  никакой суммы.

Таким образом, задача нахождения суммы сходящегося  ряда (1.1) равносильна вычислению предела последовательности его частичных сумм.

Рассмотрим пример.

Пример 1.4. Доказать, что ряд

 

 

сходится, и  найти его сумму.

Найдем n-ю частичную сумму данного ряда .

Общий член ряда представим в виде , тогда  

 

Отсюда имеем: . Следовательно, данный ряд сходится и его сумма равна 1:

 

 

 

 

2. Основные  свойства числовых рядов

 

Свойства суммы конечного  числа слагаемых отличаются от свойств  ряда, т. е. суммы бесконечного числа  слагаемых. Так, в случае конечного  числа слагаемых их можно группировать в каком угодно порядке, от этого сумма не изменится. Существуют сходящиеся ряды и условно сходящиеся,  для которых, как показал Риман^*, меняя надлежащим образом порядок следования их членов, можно сделать сумму ряда равной какому угодно числу, и даже расходящийся ряд.

Пример 2.1. Рассмотрим расходящийся ряд вида (1.7):

 

                 (1.7)

 

Сгруппировав его члены  попарно, получим сходящийся числовой ряд с суммой, равной нулю:

 

 

С другой стороны, сгруппировав его члены попарно, начиная со второго члена, получим также сходящийся ряд, но уже с суммой, равной единице:

 

 

Сходящиеся  ряды обладают некоторыми свойствами, которые позволяют действовать с ними, как с конечными суммами. Так их можно умножать на числа, почленно складывать и вычитать. У них можно объединять в группы любые рядом стоящие слагаемые. 

 

Теорема 2.1. (Необходимый признак сходимости ряда).

Если  ряд (1.1) сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т. е.

 

 (2.1)

 

Доказательство  теоремы следует из того, что  , и если

S – сумма ряда (1.1), то

 

Условие (2.1) является необходимым, но недостаточным условием для сходимости ряда. Т. е., если общий член ряда стремится к нулю при , то это не значит, что ряд сходится. Например, для гармонического ряда (1.2) однако, как будет показано ниже, он расходится.

Следствие (Достаточный признак расходимости ряда).

Если  общий член ряда не стремится к нулю при , то этот ряд расходится.

 

Пример 2.2. Исследовать на сходимость ряд

 

.

 

Для этого ряда

 

Следовательно, данный ряд расходится.

Рассмотренные выше расходящиеся ряды (1.6), (1.7) также  являются таковыми в силу того, что  для них не выполняется необходимый  признак сходимости. Для ряда (1.6) предел для ряда (1.7) предел не существует.

 

Свойство 2.1. Сходимость или расходимость ряда не изменится, если произвольным образом удалить из него, добавить к нему, переставить в нем конечное число членов (при этом для сходящегося ряда его сумма может измениться).

Доказательство  свойства следует из того, что ряд (1.1) и любой его остаток сходятся или расходятся одновременно.

Свойство 2.2. Сходящийся ряд можно умножать на число, т. е., если ряд (1.1) сходится, имеет сумму S и c – некоторое число, тогда

Доказательство  следует из того, что для конечных сумм справедливы равенства

 

Свойство 2.3. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т. е. если ряды ,

     сходятся,

то  и ряд 

сходится  и его сумма равна  т. е.

 

.

 

Доказательство  следует из свойств предела конечных сумм, т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница

 

 

Перейдём к  рассмотрению рядов, члены которого могут быть как положительными так и отрицательными.

Определение 3.1. Знакочередующимся рядом называется ряд, у которого любые рядом стоящие члены имеют противоположные знаки.

Такие ряды удобнее  записывать в виде

 

                                     (3.1)

или в виде

,     (3.2)

 

где

Для определения сходимости знакочередующихся рядов существует весьма простой достаточный признак— признак сходимости Лейбница.

Теорема 4.1. (Достаточный признак сходимости Лейбница^*).

Для того чтобы знакочередующийся ряд (3.1)((3.2)) сходился, достаточно, чтобы абсолютные значения его членов убывали и стремились к нулю при возрастании n.

Таким образом, если и то знакочередующийся ряд (3.1)((3.2)) сходится.

 

Доказательство:

 Рассмотрим частичную сумму  чётного числа членов ряда

S_2n=(а₁-а₂)+(а₃-а₄)+…+(a_2n-1-a_2n).

По условию a₁>a₂>…>a_2n-1>a_2n, то есть все разности в скобках положительны, следовательно, S_2n возрастает с возрастанием n и S_2n>0 при любом n.

С другой стороны S_2n=a₁-[(a₂-a₃)+(a₄-a₅)+…+(a_2n-2-a_2n-1)+a_2n]. Выражение в квадратных скобках положительно и S_2n>0, поэтому S_2n<a₁ для любого n. Таким образом, последовательность частичных сумм S_2n возрастает и ограничена, следовательно, существует конечный S_2n=S. При этом 0<S≤a₁.

Рассмотрим теперь частичную сумму  нечётного числа членов ряда S_2n+1=S_2n+a_2n+1. Перейдём в последнем равенстве к пределу при n→∞: S_2n+1= S_2n+ a_2n+1=S+0=S. Таким образом, частичные суммы как чётного, так и нечётного числа членов ряда имеют один и тот же предел S, поэтому S_n=S, то есть данный ряд сходится. Теорема доказана.

 

Пример 3.1. Ряд

 

    (3.3)

 

сходится, т. к. для него выполняются все условия признака сходимости Лейбница.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

 
      В заключение следует сказать, что в своих исследованиях Лейбниц предвосхитил многое из того, что впоследствии составило фундамент современной математики.

Он не только сформулировал ряд ее принципов  и законов, но и выработал понятие формализованного математического языка и, преодолевая неудачи и трудности, в конце концов, дал примеры его построения.

Логики XVIII столетия (X. Вольф, И. Зегнер, Г. Плуке, И. Ламберт, Ф. Кастильон), выступившие с идеями, аналогичными тем, которые развивал Лейбниц, в принципе, не пошли дальше того, на чем он остановился.

Лейбниц первый попытался арифметизировать логический вывод, приписать различным логическим объектам различные натуральные числа, чтобы обнаружить соответствие законов логики законам чисел. Ему же принадлежит и глубокая идея алгебраизации логики, впервые систематически реализованная лишь полтора столетия спустя и до сих пор являющаяся одним из основных источников новых логических изысканий. Его работы близки современной логике и по стилю мышления, и по приемам постановки и решения задач.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  используемых источников

 

1. Богомолов Н.В., Практические занятия по математике. М., “Высшая школа”, 2000.
2. Выгодский М.Я., Справочник по высшей математике. М., “Наука”, 2002.
3. Марков Л. Н., Размыслович Г. П. Высшая математика. Часть 2. Основы математического анализа и элементы дифференциальных уравнений. – Мн.: Амалфея, 2003.
4. А. И. Яблонский, А. В. Кузнецов, Е. И. Шилкина и др.; Под общ. ред. С. А. Самаля. – Мн.: Высшая математика: Общий курс: Учеб. – 2-е изд., перераб. / Выш. шк., 2000.

^* Риман Георг Фридрих Бернхард (1826 – 1866), немецкий математик.

^* Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646 – 1716), выдающийся немецкий философ и математик.