Золотое сечение

Министерство образования Украины

Учебно-воспитательное объединение № 28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

по математике на тему: «Золотое сечение»

 

 

 

 

Работу выполнила:

ученица 10-А класса

Килевая Мария

 

Проверила:

Манко Ирина Аркадьевна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Днепропетровск-2015

 

Содержание

 

Введение

1. Понятие золотое сечение. История золотого сечения
2. Понятие золотого сечения в математике
3. Понятие золотого сечения в искусстве
1. Золотое сечение в живописи
2. Золотое сечение в архитектуре
3. Золотое сечение в скульптуре

 

Вывод

Список использованной литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому.

Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости (рис.1). Данное открытие у художников того времени получило название "золотое сечение" картины. Поэтому, для того чтобы привлечь внимание к главному элементу фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Понятие золотое сечение

Золотое сечение – деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величин. Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

История золотого сечения

История “Золотого сечения” - это история человеческого познания мира. Понятие “Золотое сечение” прошло в своем развитии все стадии познания. Первая ступень познания открытие “золотого сечения” древними пифагорейцами. От простого созерцания действительности они перешли к выражению его в мире чисел, но ими были спутаны причинно-следственные понятия мира и догадка о мировой значимости “Золотого сечения” осталась лишь догадкой на века. И все же, в своей жизнедеятельности человек начинает использовать “Золотое сечение” в своих художественных произведениях.

Вся древнегреческая культура развивалась под знаком золотой пропорции. Греки первые установили: пропорции хорошо сложенного человеческого тела подчиняются ее законам, что особенно хорошо видно на примере античных статуй (Аполлон Бельведерский, Венера Милосская). Фригийские гробницы и античный Парфенон, театр Диониса в Афинах - все они исполнены гармонии золотой пропорции. В наши дни интерес к золотой пропорции возрос с новой силой. В целом ряде музыковедческих работ подчеркивается наличие золотого сечения в композиции произведений Баха, Шопена, Бетховена. В эпоху Ренессанса золотая пропорция возводится в ранг главного эстетического принципа. Леонардо да Винчи, Рафаэль, Микеланджело, Тициан и другие великие художники возрождения компонуют свои полотна, сознательно используя золотую пропорцию. Нидерландский композитор XV века Якоб Обрехт широко использует “Золотое сечение” в своих музыкальных композициях, которые до сих пор уподобляют “кафедральному собору”, созданному гениальным архитектором.

Практические нужды торговли подводят Фибоначчи к открытию своих рядов, которые еще никто не связывает с “Золотым сечением”. Ученые открывают “Золотые пропорции” в живой и не живой материи и уже на основании этого опыта происходят удивительные открытия нашими современниками Стаховым А. П. и Витенько И.В. Их анализ приводит исследователей к результатам ошеломляющим по своей простоте и от того более значительных: “Золотое сечение” обладает избыточностью и устойчивостью, которые  позволяют организовываться самоорганизующимся системам.

 

Понятие золотого сечения в математике

Золотое сечение – гармоническая пропорция 
В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a : b= c : d.

Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:

- на две равные части  – АВ : АС= АВ : ВС;

- на две неравные части  в любом отношении (такие части  пропорции не образуют);

Таким образом, когда АВ:АС=АС:ВС. Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

 

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему 
a : b= b : c или с : b= b : а (рис. 2).

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки (рис. 3).

Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618…, если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382… Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Свойства золотого сечения описываются уравнением:  
x2 – x – 1 = 0.

Решение этого уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

Понятие золотого сечения в искусстве

Золотое сечение в живописи

Переходя к примерам "золотого сечения" в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность - одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: "Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды". Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится "обо всем на свете".

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника (рис.4). Также Леонардо да Винчи находил соотношение золотого сечения в пропорциях человеческого тела (рис. 5).

Также пропорция золотого сечения проявляется в картине Шишкина (рис.6). На этой знаменитой картине И.И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали.

В картине Рафаэля "Избиение младенцев" просматривается другой элемент золотой пропорции - золотая спираль (рис.7). На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Неизвестно, строил ли Рафаэль золотую спираль или чувствовал её.

Т. Кук использовал при анализе картины Сандро Боттичелли "рождение Венеры" золотое сечение.

Золотое сечение в архитектуре

В книгах о “золотом сечении” можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими “золотое сечение”, то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. “Золотое сечение” дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.) (рис.8).

Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по “золотому сечению”, то получим те или иные выступы фасада.

Золотое сечение в скульптуре

Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиги и деяния. Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения. Пропорции “золотого сечения” создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях. Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении “золотого сечения”. Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям(рис.9). Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал “золотое сечение” в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского (которая считалась одним из чудес света) и Афины Парфенос.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод

Рассматривая «золотое сечение», мы видим, что оно встречается не только в математике. Понятие «золотое сечение» очень многогранное.

Красота, оказывается, порою имеет математическое объяснение. Пропорции золотого сечения часто используются художниками и скульпторами в соотношениях между разными элементами картины или скульптуры.

Знакомство с принципами «золотого сечения», помогает видеть гармонию и целесообразность окружающих нас творений природы и человека. Можно сделать выводы:

· во-первых, золотое сечение – это один из основных основополагающих принципов природы;

· во-вторых, человеческое представление о красивом явно сформировалось под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе.

Несмотря на неприятие «золотого сечения» современными «официальными науками, оно повсеместно используется в технике, во многих странах мира, в том числе и в Украине, довольно крупные учёные продолжают изучать и искать практическое применение одному из «золотых» математических принципов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы:

 

1. Д. Пидоу. Геометрия и  искусство. – М.: Мир, 1989.

2. Журнал «Квант», 1973, № 8.

3. Журнал «Математика в школе», 1994, № 2; № 3.

4. Кеплер И. О шестиугольных снежинках. – М., 1982.

5. Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Выща школа, 1989.

6. Дюрер А. Дневники, письма, трактаты – Л., М., 1957.

7.Стахов А. Коды золотой пропорции.

8.http://rozamira.ucoz.ru/publ/nauka/sakralnaja_geometrija/zolotoe_sechenie_matematika/35-1-0-1830

9. http://bibliofond.ru/view.aspx?id=457180

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дополнительные материалы

 

 

 

 

 

 

 

 

                     (рис.1)

 

 

                    (рис. 2)

 

 

 

 

 

 

                       (рис. 3)

 

                  

 

(рис. 4)                            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     (рис. 6)                                                                               (рис. 5)