Численные методы, использованные в методах оценки недвижимости

Численные методы, использованные в методах оценки недвижимости.

Численные методы и их классификация.

В курсах численного метода изучаются вопросы построения,примения и теоретического обоснования алгоритмов приближенного решения различных классов прикладных метематических задач.

Численные методы имеют следующие  особенности:

1)Множественность,т.е способность решения задач несколькими методами;

2)Вновь возникающие задачи  и быстрое развитие вычислительной  техники вынуждает переоценивать  значение существующих алгоритмов  и приводит к созданию новых. 

На сегодняшний день назрели задачи расширения, автоматизации ,экспертно-оценочных и научно-исследовательских работ в области недвижимости. Для расширения этих задач современные специалисты должны обладать необходимыми знаниями и навыками использования ЭВМ в процессе производственной и управленческой деятельности.

 

Математическое  обеспечение. Методы приближенного  решения уравнений.

Рассмотрим функцию:

ƒ(x) =0, где

ƒ(x) =0 определены на отрезке

d<x≤ß

корнем уравнения ƒ(х)=0,называется всякое значение t  для которого ƒ(t)=0.

Решить уравнение, значит найти все его корни на заданном интервале. Будем считать, что заданное или рассматриваемое  уравнение, имеет лишь изолированные корни, т.е для каждого корня существует окрестное не содержащая других корней.

Приближенное нахождение корней уравнения ƒ(x) =0,состоит из 2х этапов.

1-ый этап:

Определение корней, т.е нахождение интервалов ,в которых содержится ровно по одному корню.

2-ой этап:

Приближенное нахождение корней с заданной точностью отделение  корней основывается на следующей математической теореме:

Теорема 1:

Пусть:

1)функция ƒ(x) =0 определена, непрерывна и имеет непрерывную производимую на отрезке [a;b]

2)ƒ (a)*ƒ(b)<0,т. е функция ƒ(x) =0 принимает значения разных знаков на концах отрезка [a;b]

3)ƒ (х)≠0,при х € [a;b],тогда внутри отрезка [a;b] содержится ровно один корень х=t  и тогда ƒ(х)=0,ч.т.д.

Теорема 1 определяет достаточно, но не необходимые условия отделения  корня.

ƒ(x)=-10х-2 [-1;0]

1)ƒ΄(х)=- х

ƒ(х)=-10*(-1)-2≈8.4

2) ƒ(х)=-10*0-2=-1

8.4*(-1)<0

3) ƒ΄(х)≠0

Приближенное нахождение корня заключается в построении последовательности приближенного  значения корня t₀,t₁,t₂…tⁿ определенным методом (методом хорд,методом итерации,методом половинного деления и т.п и в доказательстве того,что эта последовательностьсводится к точному значению х= t с точностью |tⁿ-t|<ε; |tⁿ-tⁿ-1|<ε,где

|tⁿ-t| - абсолютная погрешность;

.ε-фиксированное малое  число.

Метод простой итерации.

ƒ(х)=0 преобразуем к виду х=φ(х)

ƒ(х)=

е-10х-2=0

х

Начальное приближение t₀€[a;b] выбирается по возможности ближе к точному значению корня х=t. Последовательное  приближение находится по формуле t₁=φ(t₁), t₂=φ(t₂),t₃=φ(t₃)…tⁿ=φ(tⁿ).

Условия сходимости последовательности t₀,t₁,t₂…tⁿ  к корню х=t,определяется теоремой 2.

Теорема 2:

Пусть:

1)Функция х=φ(х) определены и дифференцированы на отрезке [a;b].

2)Значение функции х=φ(х)принадлежат отрезку [a;b] при любом х€[a;b].

3)Существует число q,такое,что 0<q<1 при любом х€[a;b] справедливо неравенство |φ΄(х)|≤q,тогда на отрезке [a;b] существует единственный корень х=t ,уравнение х=φ(х) и последовательность t₀,t₁,t₂…tⁿ  сходится к корню уравнения х=t, при любом выборе начального приближения t₀€ [a;b].