Контрольная работа по "Финансовая математика"

 

Задание 1.

Приведены поквартальные  данные (см. табл.) о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Кварталы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
кредиты	39	50	59	38	42	54	66	40	45	58	69	42	50	62	74	46

Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α₁ = 0,3; α₂ = 0,6; α₃ = 0,3.
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной  компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней ряда остатков по d – критерию (критические значения d₁ = 1,10 и d₂ = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁ = 0,32;

- нормальности распределения  остаточной компоненты по R/S –  критерию с критическими значениями  от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, то есть на 1 год.
5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение:

1. Построим таблицу начальных параметров:

t	Ytф	t-tср	(t-tср)^2	Y-Yср	(Y-Yср)*(t-tср)	Ytр
1	39	-7,5	56,25	-13,125	98,4375	45,35
2	50	-6,5	42,25	-2,125	13,8125	46,26
3	59	-5,5	30,25	6,875	-37,8125	47,16
4	38	-4,5	20,25	-14,125	63,5625	48,06
5	42	-3,5	12,25	-10,125	35,4375	48,96
6	54	-2,5	6,25	1,875	-4,6875	49,87
7	66	-1,5	2,25	13,875	-20,8125	50,77
8	40	-0,5	0,25	-12,125	6,0625	51,67
9	45	0,5	0,25	-7,125	-3,5625	52,58
10	58	1,5	2,25	5,875	8,8125	53,48
11	69	2,5	6,25	16,875	42,1875	54,38
12	42	3,5	12,25	-10,125	-35,4375	55,29
13	50	4,5	20,25	-2,125	-9,5625	56,19
14	62	5,5	30,25	9,875	54,3125	57,09
15	74	6,5	42,25	21,875	142,1875	57,99
16	46	7,5	56,25	-6,125	-45,9375	58,90
8,5	52,125		340		307

Найдем b₀:

 

b₀ =307/340 = 0,9

Найдем a₀:

a₀ = Y_тф – b₀*t_ср

a₀ = 52,125 – 0,9*8,5 = 44,45

Тогда запишем вспомогательную  линейную модель:

Y_t = 44,45 + 0,9*t

Используем полученную формулу  для заполнения Y_tр в таблице начальных параметров.

2. Корректировка параметров от уровня к уровню:

 

t	ytф	at	bt	Ft	ytр	Et	Отн. Погр.,%
0	-	44,45	0,902941	F-3,,,F0	-	-
1	39	45,37006	0,908077	0,859295	39,74558	-0,74558	1,91
2	50	46,25913	0,902375	1,081283	51,02427	-1,02427	2,05
3	59	46,88966	0,82082	1,265175	60,85607	-1,85607	3,15
4	38	47,96844	0,89821	0,78826	38,23181	-0,23181	0,61
5	42	48,86984	0,899165	0,859374	42,76627	-0,76627	1,82
6	54	49,82051	0,914617	1,082848	54,85901	-0,85901	1,59
7	66	51,16459	1,043457	1,280043	66,05234	-0,05234	0,08
8	40	51,76903	0,911751	0,778902	41,52618	-1,52618	3,82
9	45	52,58566	0,883216	0,857197	45,94974	-0,94974	2,11
10	58	53,49696	0,89164	1,083643	58,89456	-0,89456	1,54
11	69	54,24335	0,848066	1,275244	70,51938	-1,51938	2,20
12	42	54,74062	0,742825	0,771914	43,21615	-1,21615	2,90
13	50	56,3373	0,998981	0,875386	49,1485	0,851496	1,70
14	62	57,29971	0,988012	1,082675	63,1631	-1,1631	1,88
15	74	58,20984	0,964646	1,272855	75,46192	-1,46192	1,98
16	46	59,29979	1,002237	0,774197	46,54795	-0,54795	1,19
17					52,78754		30,52
18					65,28751
19					76,75575
20					46,68565

 

Найдем начальные сезонные коэффициенты:

F_-3 = 0,5*(y_1ф/y_1р+ y_5ф/y_5р) = 0,5*(39/45,35+42/48,96) = 0,86;

F_-2 = 0,5*(y_2ф/y_2р+ y_6ф/y_6р) = 0,5*(50/46.26+54/49,87) = 1,08;

F_-1 = 0,5*(y_3ф/y_3р+ y_7ф/y_7р) = 1,28;

F₀ = 0,5*(y_4ф/y_4р+ y_8ф/y_8р) = 0,78;

Для построения мультипликативной  модели Хольта-Уинтерса используем формулы:

a_t = d₁* y_tф/F_t-L + (1-α₁)*(a_t-1+b_t-1)

b_t = α₃* (a_t - a_t-1) + (1-α₃)* b_t-1

F_t = α₂* y_tф/ a_t + (1 – α₂)*F_t-L

y_tр(τ)  = (a_t + b_t* τ)* F_t-L+τ

где a_t и b_t - корректируемые параметры модели,

       F – коэффициент  сезонности

       L – период  сезонности (L = 4)

       α₁ = 0,3; α₂ = 0,6; α₃ = 0,3 – параметры сглаживания или параметры корректировки.

3. Для проверки качества модели построим следующую таблицу:

t	Et	Точка поворота	E(t)^2	[E(t)  - E(t-1)]	[E(t)  - E(t-1)]^2	Et* E(t-1)
1	-0,75	0	0,56	-	-	-
2	-1,02	0	1,05	-0,28	0,08	0,76
3	-1,86	1	3,44	-0,83	0,69	1,90
4	-0,23	1	0,05	1,62	2,64	0,43
5	-0,77	0	0,59	-0,53	0,29	0,18
6	-0,86	1	0,74	-0,09	0,01	0,66
7	-0,05	1	0,00	0,81	0,65	0,04
8	-1,53	1	2,33	-1,47	2,17	0,08
9	-0,95	0	0,90	0,58	0,33	1,45
10	-0,89	1	0,80	0,06	0,00	0,85
11	-1,52	1	2,31	-0,62	0,39	1,36
12	-1,22	0	1,48	0,30	0,09	1,85
13	0,85	1	0,73	2,07	4,28	-1,04
14	-1,16	0	1,35	-2,01	4,06	-0,99
15	-1,46	1	2,14	-0,30	0,09	1,70
16	-0,55	-	0,30	0,91	0,84	0,80
сумма	-13,96	9	18,77	0,20	16,60	10,04

 

а)  относительная погрешность ∑E_t  поделенное на фактическое значение Y_t

=30,52/16 *100 = 1,9 % <5%

Следовательно, условие точности выполнено.

б)  проверка случайности уровней:

Общее число поворотных точек  p = 9 > q = 6,

Значит условие случайности  уровней ряда остатков выполнено.

Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции):

в) по d-критерию Дарбина-Уотсона:

d = = 16,60/18,77 = 0,88

0 <d< 1 значит присутствует автокорреляция

г) проверка по первому коэффициенту автокорреляции r(1):

r(1) = = 10,04/18,77 = 0,53 > 0,32

значит имеется зависимость уровней ряда.

д) проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению осуществляем по RS-критерию:

RS = (E_max - E_min)/S

где E_max = 0,85, E_min = -1,86,

S = =

RS = (0,85 – (-1,86))/1,12 = 2,42

RS не попадает в интервал 3,00 - 4,21, значит уровни ряда остатков не подчиняются нормальному распределению

Таким образом можно сказать  об неудовлетворительном качестве выбранной модели.

4) Для моделирования трендсезонных рядов можно использовать соответствующие модели в программе VSTAT:

 

Задание 2.

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 14 дней. (см. таблица) Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую  среднюю;

- момент;

- скорость изменения цен;

- индекс относительной  силы;

- %R, %К и %D.

Расчеты проводить для  всех дней, для которых эти расчеты  можно выполнить на основании  имеющихся данных.

 

Решение:

1. Данные об котировках акций Сбербанка взяли из сайта finam.ru (экспорт котировок, выбираем ММВБ акции и организацию.)

<TICKER>,<PER>,<DATE>,<TIME>,<OPEN>,<HIGH>,<LOW>,<CLOSE>

SBER,D,20130211,000000,107.0100000,108.4500000,107.0000000,107.0400000

SBER,D,20130212,000000,106.5800000,109.2400000,106.5600000,108.4800000

SBER,D,20130213,000000,109.1700000,109.3400000,107.8000000,108.8000000

SBER,D,20130214,000000,108.6600000,111.5000000,107.2700000,107.6200000

SBER,D,20130215,000000,107.8200000,107.9800000,105.0500000,105.0800000

SBER,D,20130218,000000,105.1500000,106.3800000,104.3800000,106.2300000

SBER,D,20130219,000000,106.1400000,108.7300000,105.9400000,108.7300000

SBER,D,20130220,000000,108.8800000,109.0000000,107.0000000,107.8200000

SBER,D,20130221,000000,106.3100000,106.8900000,105.4900000,106.7400000

SBER,D,20130222,000000,107.0600000,107.4800000,105.9500000,106.1200000

SBER,D,20130225,000000,106.3500000,107.0000000,105.6100000,106.6100000

SBER,D,20130226,000000,105.3400000,105.3700000,103.4400000,104.1400000

SBER,D,20130227,000000,104.4100000,104.7600000,102.8500000,103.4500000

SBER,D,20130228,000000,104.3000000,104.8000000,103.5300000,104.5700000

 

2. Все рассчеты будем делать с помощью Excel

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы:

 

1. Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учебное пособие. – М.:Вузовский учебник, 2007.
2. Финансовая математика: математическое моделирование финансовых рынков: Учебное пособие / Под. ред. В.А. Половникова и А.И.Пилипенко. – М.:Вузовский учебник, 2004.
3. Экономико-математические методы и прикладные модели. 2-е изд., перераб. и доп. – М.:ЮНИТИ-ДАНА,2000.
4. Лукашин Ю.П. Финансовая математика. – М.: МЭСИ,2000.
5. Уотшем Т.Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах: Пер. с англ./Под ред. М.Р.Ефимовой. – М.:ЮНИТИ,1999.