Контрольная работа по "Финансовая математика"

 

 

 

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

 

Федеральное государственное  бюджетное образовательное  учреждение

высшего профессионального образования

«ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

ФАКУЛЬТЕТ ЗАОЧНОГО И ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ

 

Кафедра

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

 

по дисциплине Финансовая математика

Вариант №2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Челябинск

2015

 

 

 

Содержание

 

 

 

 

 

 

Задачи

 

1. Контракт в сумме 100 тыс.руб., погашается через 2,8 года, при этом предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год - 8 %, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 0,2 %.

Необходимо:

1) определить наращенную стоимость  по простой и сложной процентной и учетной ставкам;

2) составить план наращения первоначальной  стоимости по всем видам ставок,

3) построить графики наращения стоимости по простым и сложным процентам на базе процентной и учетной ставок  и проанализировать варианты доходности.

Дано: Р = 100 тыс.руб., n = 2,8 года, i = 0,08, Di = 0,002.

Найти: S

Решение:

1) Формулы определения будущей денежной суммы при различных вариантах начисления процентов за период n лет:

        - наращенная стоимость простых процентов;

        - наращенная стоимость сложных процентов;

      - наращенная стоимость по простой учетной ставке;

 - наращенная стоимость по сложной учетной ставке

где Р — первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капитала и т.д.),

S — наращенная сумма на конец  срока ссуды,

n — срок, число лет (периодов) наращения,

i — уровень годовой ставки процентов, представленный десятичной дробью,

d – учетная ставка (ставка дисконта), выраженная в коэффициенте.

При дискретном изменении процентной ставки во времени наращенная на конец срока сумма будет определяться следующим образом:

- простые проценты:

S = P* (1 + n1 · i1 + n2 · i2 + ... + nm · im) = P (1 + Σni)

где i1, i2, ..., im — ставки простых процентов в соответствующих периодах n1, n2, ..., nm.

- сложные проценты:

- простая учетная ставка:

S = P/ (1 + n1 · i1 + n2 · i2 + ... + nm · im) = P/ (1 + Σni)

- сложная учетная ставка:

Подставив числовые значения получаем:

- простая процентная ставка:

 руб.

- простая учетная ставка:

 руб.

- сложная процентная ставка:

 руб.

- сложная учетная ставка:

руб.

Построим план наращения первоначальной стоимости по простым и сложным процентам:

- простые проценты:

1 год: 100000 * (1+0,08) = 108000 руб.

2 год: 108000 + 100000 * (0,5*0,082 + 0,5*0,084) = 116300 руб.

3 год: 116300 + 100000 * (0,5*0,086 + 0,3*0,5*0,088) = 121920 руб.

- сложные проценты:

1 год: 100000 * (1+0,08) = 108000 руб.

2 год: 108000 * (1+0,082) * (1+0,084) = 116964 руб.

3 год: 116964* (1+0,086) * (1+0,088) = 123441,5 руб.

Построим план наращения при простой и сложной учетной ставке:

- простая учетная ставка:

1 год: 100000 / (1-0,08) = 108695,7 руб.

2 год: 100000 / (1- 0,08 - 0,5*0,082 - 0,5*0,084) = 119474,3 руб.

3 год: 100000/(1- 0,08 - 0,5*0,082 - 0,5*0,084 - 0,5*0,086 - 0,3*0,5*0,088) = 128073,8 руб.

- сложная учетная ставка:

1 год: 100000 / (1-0,08) = 108695,7 руб.

2 год: 108695,7/((1-0,082) * (1-0,084) ) = 118534 руб.

3 год: 118534/((1-0,086) * (1-0,088) ) = 125710,3 руб.

Построим графики наращения.

Рисунок 1 – Графики наращения

 

После первого года учетная  ставка и проценты дают примерно одинаковый результат, поэтому на этом этапе разницы между этими методами начисления процентов для кредитора и заемщика почти нет. Уже на втором этапе резко выделается простая учетная ставка, которая выгодна кредитору и невыгодна заемщику.

 

2. Вексель с обязательством 79 тыс. руб. учитывается банком за  1 год 15 дней до погашения с дисконтом 15 тыс. руб. Определить доходность операции.

Дано: FV = 79 тыс.руб., D = 15 тыс. руб., t = 1 год 15 дней = 1,04 года

Найти: d

Решение:

Дисконт с номинальной стоимости векселя определяется с использованием простой учётной ставки.

D = FV – PV = FV - FV (1 - n*d) = FV*n*d

где PV – сумма векселя к погашению;

FV – первоначальная стоимость векселя;

d – ставка процентов в периоде начисления;

t – продолжительность периода начисления в месяцах;

К – продолжительность года в днях (К = 365).

Определим формулу для получения d:

d =

Подставим полученные данные в нашу формулу:

d = = 0,1826 или 18,26%

Ответ: процентная ставка банка 18,26% годовых.

 

3. Определить сроки операции наращения стоимости финансового инструмента номиналом 80 тыс. руб. до 120 тыс. руб. при условии, что начисляются сложные проценты по ставке 9 % годовых раз в  году и помесячно? Расчеты выполнить по процентной и учетной ставкам.

Дано: P = 80 тыс. руб., S = 1205 тыс.руб., i = d = 9%, m1 = 1, m2 = 12.

Найти: n

Решение:

Наращение по сложной годовой ставке i и по номинальной ставке j рассчитывается по формуле:

Р — первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капитала и т.д.),

S — наращенная сумма на конец  срока ссуды,

n — срок, число лет (периодов) наращения,

i — уровень годовой ставки  процентов, представленный десятичной  дробью.

j – номинальная ставка процентов, в виде десятичной дроби.

m – количество начислений в  год.

Следовательно, формула для нахождения срока наращения будет иметь вид:

При номинальной ставке процента:

Подставив числовые значения получаем:

- 1 раз в год:

= 4,7 года

- помесячно:

= 4,52 года

Дисконтирование с использованием сложных процентов происходит по формуле:

где d – годовая учетная ставка;

f – номинальная годовая учетная ставка.

Следовательно, формула для нахождения срока дисконтирования будет иметь вид:

При номинальной ставке процента:

Подставив числовые значения получаем:

- 1 раз в год:

= 4,3 года

- помесячно:

= 4,49 года 

Ответ: процентная ставка: 4,7 года – год, 4,5 года – помесячно; учетная ставка: 4,3 года – год, 4,49 года – помесячно.

 

4. Номинальная вексельная ставка равна 7%. Определить значение эквивалентной вексельной ставки, если вексель выдан:

а) на 2,5 месяца;

б) на 2,5 года.

Дано: dном = 7%, а) n = 2,5 мес., n = 2,5 год.

Найти: dэкв

Решение:

Эквивалентность учетных ставок выражается в равенстве:

Используя данное равенство определим эквивалентную учетную ставку:

а) при n = 2,5 месяцев

dэкв = 0,068 = 6,8%

б) при n = 2,5 года

1 +  2,5*0,07 = 1 / (1 – 2,5*d)

1,175 = 1 / (1 – 2,5d)

dэкв = 0,074 = 7,4%

Ответ: эквивалентная учетная ставка при n = 2,5 лет равна 7,4%, при n = 2,5 месяцев– 6,8%.

 

5. В условиях сертификата номиналом 50 тыс. руб. предусмотрены выкупные суммы в зависимости от срока: за 5 лет – 65150 руб., за 7 лет 78000 руб. Определить доходность операции.

Решение:

Дано: Р = 50 тыс.руб., 1) n = 5 лет, S = 65150 руб., 1) n = 5 лет, S = 78000 руб.

Найти: i, d

Определим процентную ставку

а) Простые проценты.

Определим процентную ставку, используя формулу наращения простых процентов:

где S – это итоговая сумма;

       Р – первоначальная  сумма;

       i – ставка процента;

      n – продолжительность периода времени в годах.

Определим формулу для нахождения процентной ставки:

i =

Подставив числовые значения получаем:

- 5 лет:

i = =0,0606 или 6,06%

- 7 лет:

i = =0,08 или 8,00%.

б) Сложные проценты

Наращение по сложной годовой ставке i рассчитывается по формуле:

Определим формулу для нахождения процентной ставки:

i =

Подставив числовые значения получаем:

- 5 лет:

i = = 0,0544 или 5,44%

- 7 лет:

i = = 0,0656 или 6,56%

Определим учетную ставку

а) Простая учетная ставка

Определим процентную ставку, используя формулу наращения простых процентов:

где d – учетная ставка.

Определим формулу для нахождения процентной ставки:

d =

Подставив числовые значения получаем:

- 5 лет:

d = =0,0465 или 4,65%

- 7 лет:

d = =0,0513 или 5,13%.

б) Сложная учетная ставка

Наращение по сложной годовой ставке i рассчитывается по формуле:

Определим формулу для нахождения процентной ставки:

d =

Подставив числовые значения получаем:

- 5 лет:

d = = 0,0526 или 5,26%

- 7 лет:

d = = 0,0616 или 6,16%

Ответ: доходность составила: 1) при начислении простых процентов: 6,06% за 5 лет и 8,00 за 7 лет; при начислении сложных процентов: 5,44% за 5 лет и 6,56 за 7 лет; 2) при простой учетной ставке:  4,65% за 5 лет и 5,13 за 7 лет, при сложной учетной ставке: 5,26 % за 5 лет и 6,16 за 7 лет.

 

6. Какова сумма долга через 18 месяцев, если первоначальная величина составила 200 тыс. руб., ставка – 11% годовых с ежемесячной капитализацией?

Дано: P = 200 тыс. руб., i = 11%, n = 18 мес., m = 12.

Найти: S

Решение:

Наращение по сложной годовой ставке i и по номинальной ставке j рассчитывается по формуле:

Р — первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капитала и т.д.),

S — наращенная сумма на конец  срока ссуды,

n — срок, число лет (периодов) наращения,

i — уровень годовой ставки  процентов, представленный десятичной  дробью.

j – номинальная ставка процентов, в виде десятичной дроби.

m – количество начислений в  год.

В нашем случае проценты начисляются ежемесячно, рассчитаем количество лет начислений в виде дроби:

 тыс.руб.

Ответ: сумма долга составит 235,70 тыс.руб.

 

7. Вексель номиналом 46 тыс.руб. под 7% годовых погашается по четверному номиналу. Определить срок размещения векселя при условии начисления простых и сложных процентов.

Дано: S = 46 тыс. руб., d = 7%, S/P = 4

Найти: n

Решение:

Простая учетная ставка:

где Р – дисконтированная величина (полученная при учёте сумма);

S – вексельная сумма;

п – срок от момента учёта до даты погашения векселя;

d – учетная ставка.

Тогда, число лет для увеличения первоначального капитала в N раз составит:

Подставив числовые значения, получаем:

= 10,71 года

Для сложных процентов:

 

Тогда число лет для увеличения первоначального капитала в N раз составит:

Подставив числовые значения, получаем:

= 19,10 лет

Ответ: простая учетная ставка – 10,71 лет, сложная учетная ставка – 19,10 лет.

 

8. Пусть во вклад помещены 170 тыс. руб. Определить сумму вклада через 2 года 170 дней, если проценты капитализируются ежеквартально из расчета 9 % годовых

Дано: P = 170 тыс. руб., i = 9%, n = 2 года 170 дней, m = 4.

Найти: S

Решение:

Наращение по сложной годовой ставке i и по номинальной ставке j рассчитывается по формуле:

Р — первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капитала и т.д.),

S — наращенная сумма на конец  срока ссуды,

n — срок, число лет (периодов) наращения,

i — уровень годовой ставки процентов, представленный десятичной дробью.