Контрольная работа по "Финансовой математике"

Задача 1.

Pv дана в долг на n лет под 10% годовых (по схеме сложных %). Определить % и сумму, подлежащую возврату.

Построить график (зависимость суммы  к получению от % ставки, которая  изменяется от 10% – 24% с шагом 2).

Сравнить схему простых  и сложных %.

 

Дано:

Pv = 1 000 р.

n  = 3 года.

i = 10%

Найти: Fv, I

Решение:

Fv = Pv * ( 1 + i )^n

Fv = 1 000 * ( 1 + 0,1 )^3 = 1 331 р.

I = Fv - Pv

I = 1 331 – 1 000 = 331 р.

 

         Рисунок 1.1

Зависимость суммы к

получению от процентной ставки

 

Вывод: Таким образом, при увеличении % ставки, сумма к получению увеличится.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fv_{(прост. %)} = Pv * ( 1 + i * n )

Fv_{(прост. %)} = 1 000 * ( 1 + 0,1 * 3 ) = 1300 р.

 

                                                                           Рисунок 1.2

Сравнение суммы к получению

по схемам простых  и сложных %.

 

Вывод: Таким образом, при долгосрочных ссудах (в нашем случае 3 года) для ссудодателя выгодно использовать схему сложных %.

Ответ: Fv = 1 331р.

            I = 1 300 р.

 

Задача 2.

В банке получен кредит под 10 % годовых, в размере Pv. Срок погашения 2 года 9 месяцев.

Определить сумму, которую необходимо вернуть по истечению срока займа  (2^мя способами).

Определить сумму начисленных %.

Построить график, иллюстрирующий зависимость суммы к получению от срока, который изменяется от 1 месяца до 2 лет 9 месяцев с шагом 1 месяц.

Сравнить со схемой простых %.

 

Дано:

Pv = 1 000 р.

i = 10%

n = 33 мес.

Найти: Fv, I

Решение:

1) Общий метод:

n = a + b 

а – целое число лет

b – дробное число лет

Fv = Pv * ( 1 + i ) ^ n

Fv = 1 000 * ( 1 + 0,1 ) ^ ( 2 + ) = 1 299,7 р.

2) Смешанный метод:

Fv = Pv * (( 1 + i ) ^ a ) * ( 1 + b * i )

Fv = 1 000 * (( 1 + 0,1 ) ^ 2 ) * ( 1 + ( ) * 0,1 ) = 1 300,8 р.

I = Fv – Pv

I = 1 299,7 – 1 000 = 299,7 р.

 

Рисунок 2.1

Зависимость суммы к получению  от срока

 

Вывод: Таким образом, при увеличении срока кредитования, сумма к получению тоже увеличится.

 

Fv_{(прост. %)} = Pv * ( 1 + i * n )

Fv_{(прост. %)} = 1 000 * ( 1 + 0,1 * ) = 1 275 р.

Рисунок 2.2

Сравнение суммы к  получению

по схемам простых  и сложных %.

 

Вывод: Таким образом, клиенту выгоднее использовать простые %, так как сумма к возврату будет меньшей.

 

Ответ: Fv = 1 299,7 р.

            I = 299,7 р.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3.

 

Клиент поместил в  банк 100 т. р. под 8% годовых на 3 года.

Определить наращенную за это время сумму при начислении сложных % ежеквартально.

Рассчитать эффективную  ставку для финансовых операций.

Построить график, иллюстрирующий различия в схемах начисления %, если ставка изменяется с 8% до 18% с шагом 1.

 

Дано:

Pv = 100 т. р.

j= 8%

n=3

m=2

Найти: Fv, i

Решение:

Fv = Pv * ( 1+ ) ^ ( n * m )

Fv = 100 * ( 1 + ) ^ ( 3 * 4 ) = 126,8 т. р.

i = ( 1 + ) ^ m – 1

i = ( 1 + ) ^ 4 – 1 = 0,082 = 8,2%

 

 

Рисунок 3.1

Сравнение суммы к  получению

по схемам простых  и сложных %.

 

Вывод: Таким образом клиенту выгоднее использовать схему простых %, так как Fv при этом получается наименьшей

 

Ответ: Fv = 126,8 т. р.

                i = 8,2 %

 

Задача 4.

 

Организация получила кредит в банке  Pv=120 т. р. Сроком на 5 лет, i=11%. Условия контроля предусматривают для второго года кредитования надбавку к i в размере 2%, для последующих лет 1%.

Определить Fv.

Построить график, иллюстрирующий зависимость FV от i, которая изменяется от 10% до 24% с шагом 3.

 

Дано:

PV=120 т. р.

n=5

i=11%

Найти: Fv

Решение:

Fv = Pv *

Fv= 120 * (( 1 + 0,11 ) ^ 1) * (( 1 + 0,13 ) ^ 1) * (( 1 + 0,14 ) ^ 3 ) = 222,996 т. р.

 

Рисунок 4.1

Зависимость суммы к 

получению от срока кредитования

 

Вывод: Таким образом, при увеличении % ставки, увеличивается сумма Fv.

Ответ: Fv = 222,996 т. р.

 

 

 

 

 

Задача 5.

Кредит в размере Pv получен сроком на 3 года под i% годовых.

Определить сумму, подлежащую возврату в конце срока кредита, если % будут начисляться:

а) один раз в год

б) ежедневно

в) непрерывно

Построить график, иллюстрирующий изменение наращенной суммы в  зависимости от частоты начисления, при условии, что срок кредита  меняется в интервале от 1 до 7 лет  с шагом 1 год.

 

Дано:

PV=120 т. р.

i= 11%

n= 3

Найти: Fv

Решение:

а) Fv = Pv * ( 1 + ^ (n * 1)

Fv =120 * ( 1 + 0,11 ) ^ 3 = 164,12 т. р.

б) Fv = Pv * ( 1 + ^ (n * m)

Fv = 120 * ( 1 + ) ^ ( 365*3 ) = 166,9 т. р.

в) Fv = Pv * e ^ ( j * n )

Fv = 120 * 2,7 ^ (0.11 * 3) = 167,15 т. р.

 

Рисунок 5.1

Зависимость Fv от

частоты начисления %

 

Вывод: Таким образом, начисление % ежедневно более выгодно для банков, дающих кредит и чем больше срок выдачи кредита, тем ощутимее разница между Fv_ежедн и Fv_{1 в год.}

 

Ответ: Fv = 164,12 т. р.; Fv = 166,9 т. р.; Fv = 167,15 т. р.

Задача 6.

 

Некоторая сумма инвестируется  под сложную % ставку 30%.

Определить время, необходимое для повышения первоначальной суммы в 4 раза.

 

Дано:

Pv = Pv

Fv = 4Pv

j = 30%

Найти: n

Решение:

n =

= = 4

n = ≈ 5 лет.

Ответ: ≈ 5 лет.

 

Задача 7.

Определить, какие условия  выгоднее с позиции вкладчика: увеличение вклада в 3 раза за 3 года или i = 42%.

 

Дано:

FV = 3PV

n = 3

i = 43%

Найти: что выгоднее.

Решение:

i =

i = = 0,44 = 44%

44%  > 42%

Ответ: Таким образом, с позиции вкладчика выгоднее увеличить вклад в 3 раза, т.к. в этом случае видно, что % ставка выше.

 

Задача 8.

Каковы будут эквивалентные % ставки с полугодовым начислением % и ежемесячным начислением %, если соответствующая им эффективная % ставка должна быть = i%.

 

Дано:

i=18%

m₁ = 2

m₂ = 12

Найти: j

Решение:

i = ( 1 + ) ^ m - 1

Выразим j

 j= m * ( )

1) j= 2 * ( ) = 0,17 = 17%

2) j= 12 * ( ) = 0,167 = 16,7%

 

Ответ: j = 17%, j = 16,7%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 9.

 

Предполагая поместить капитал на 4 года либо под сложную % ставку j% с полугодовым начислением %, либо под простую % ставку i%, найти оптимальный вариант.

 

Дано:

i = 20%

j = 28%

Найти: оптимальный вариант.

Решение:

Fv_пр = Pv * ( 1 + i * n )

Fv = Pv * ( 1 + 0,28 * 4 ) = 2,12 Pv

Fv_слож = Pv * ( 1 + ) ^ m

Fv = Pv * ( 1 + )^(2*4) = 2,14 Pv

 

Ответ: Таким образом, для клиента выгоднее поместить под сложную % ставку , т.к. в этом случае FV будет больше.

 

Задача 10.

Решено консолидировать 2 платежа со сроками 20.04 и 10.05 и суммами  платежа 20 т. р. и 30 т. р. Срок консолидации платежей 31.05.

Определить сумму консолидированного платежа при условии, что i=18% годовых. Построить график, иллюстрирующий изменение суммы консолидации платежа в зависимости от уровня i, при условии, что i меняется от 8% до18% с шагом 2 пункта.

 

Дано:

Fv₁ = 20 т. р.

Fv₂ = 30 т. р.

i = 18 %

n₀= 31.05

n_j1=20.04

n_j2=10.05

Найти:  Fv₀

Решение:

Fv₀ =

t_j = n₀ - n_j

Fv₀ = 20 * (1+0,18 * ( )) + 30 * (1+0,18 * ( )) = 50,7 т. р.

 

Рисунок 10.1

Зависимость Fv

от уровня % ставки

 

Вывод: Таким образом, при увеличении % ставки сумма консолидации платежей увеличивается.

 

Ответ: Fv₀ = 50,7 т. р.

 

 

 

 

 

Задача 11.

Предлагается платеж в 45 т. р. со сроком уплаты через 3 года заменить платежом со сроком уплаты через 5 лет. Найти новую сумму платежа, исходя из i=18% годовых. Построить график, иллюстрирующий изменение суммы платежа в зависимости от уровня i, при условии, что i изменяется от 8% до 18% с шагом 2 пункта.

 

Дано:

Fv = 45 т. р.

n₁ = 3

n₂ = 5

i = 18%

Найти: Fv_об.

Решение:

Fv_об. = Fv* (1+i)^( n₂  -  n₂ )

Fv_об. = 45 * (1+0.18)^(5-3) = 62,7 т. р.

 

Рисунок 11.1

Зависимость Fv

от уровня % ставки

 

Вывод: Таким образом, при увеличении % ставки увеличивается и сумма платежа.

 

Ответ: Fv_об. = 62,7 т. р.