Контрольная работа по "Финансовой математике"

Содержание

 

Задача 1 3

Задача 2 8

Задача 3 14

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1

 

В каждом варианте приведены поквартальные  данные о кредитах от коммерческого  банка на жилищное строительство (в  условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому  кварталу первого года).

1) Построить  адаптивную мультипликативную модель  Хольта-Уинтерса с учетом сезонного  фактора, приняв параметры сглаживания 

2) Оценить  точность построенной модели  с использованием средней относительной  ошибки аппроксимации.

3) Оценить  адекватность построенной модели  на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

- независимости  уровней ряда остатков по  (критические значения и ) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении ;

- нормальности  распределения остаточной компоненты  по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить  точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5) Отразить  на графике фактические, расчетные  и прогнозные данные.

 

квартал
1	38
2	48
3	57
4	37
5	40
6	52
7	63
8	38
9	44
10	56
11	67
12	41
13	49
14	60
15	72
16	44

 

Решение:

 

1. Для построения модели Хольта-Уинтерса сначала проведем предварительный расчет, а именно построим модель регрессии по первым восьми значениям (рис. 1).

 

Рис. 1. Предварительный расчет

 

 

Затем построим модель Хольта-Уинтерса (рис. 2, 3).

 

Рис. 2. Формулы для построения модели Хольта-Уинтерса

 

Рис. 3. Построение модели Хольта-Уинтерса

 

2. Средняя относительная ошибка аппроксимации = 1,77%<5%, следовательно, условие точности выполнено (см. рис. 4, 5).

 

 

Рис. 4. Расчеты для оценки качества модели

 

Рис. 5. Оценка качества модели

 

3. Оценим адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности  остаточной компоненты по критерию пиков.

Так как  p>p_кр (10>6) (см. рис. 4, 5), то условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

- независимости  уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r кр=0,32.

d=1,3042 (см. рис. 4, 5). Так как d1<d<d2, то критерий не дает ответа на вопрос о независимости уровней ряда остатков.

|r(1)|=0,363. Так как |r(1)|>r кр, то уровни ряда остатков не являются независимыми.

- нормальности  распределения остаточной компоненты  по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

RS=3,82. Так как 3<RS<4,21, то уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению

4. Точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год, отражен на рис. 2, 3 для значений t=17, 18, 19, 20.
5. Отразим на графике фактические, расчетные и прогнозные данные (см. рис. 6).

 

Рис. 6. График фактических, расчетных и прогнозных данных

 

 

 

Задача 2

 

Даны  цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную  скользящую среднюю;

- момент;

- скорость изменения цен;

- индекс относительной силы;

- %R, %K, %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых  эти расчеты можно выполнить  на основании имеющихся данных.

Дни	Цены
	макс.	мин.	закр.
1	663	605	610
2	614	577	614
3	639	580	625
4	625	572	574
5	600	553	563
6	595	563	590
7	608	590	598
8	610	573	580
9	595	575	595
10	600	580	580

 

Решение:

 

- экспоненциальная скользящая средняя EMA (рис. 8);

- момент МОМ (рис. 8);

- скорость изменения цен ROC (рис. 8);

- индекс относительной силы RSI (рис. 8);

- %R, %K, %D (рис. 10).

 

Рис. 7. Расчет осцилляторов и экспоненциальной скользящей средней

 

Рис. 8. Осцилляторы и экспоненциальная скользящая средняя

 

Рис. 9. Расчет стохастических линий

 

 

Рис. 10. Стохастические линии

 

Результаты  расчетов оформим на графиках (рис. 11 – 16).

Рис. 11. График исходных данных и экспоненциальной скользящей средней

 

В 5 – 6 день экспоненциальная скользящая средняя имеет нисходящий характер, это говорит о снижении цен в этот период. В 7 день кривая пересекает график цен сверху – это сигнал к покупке. В 8 день кривая пересекает график цен снизу – это сигнал к продаже. В 9 день кривая пересекает график цен сверху – это сигнал к покупке. В 10 день кривая пересекает график цен снизу – это сигнал к продаже.

 

Рис. 12. Биржевая диаграмма исходных данных

 

В 1, 4, 5, 8, 10 день цена закрытия тяготеет к минимальной  цене, это говорит о снижении цен. Во 2, 3, 6, 7, 9 дни цена закрытия тяготеет к максимальной цене, это говорит  о росте цен.

Рис. 13. График момента

 

В 6, 7, 8 дни  график момента расположен ниже линии  нулевого уровня. Рекомендуется продажа  финансового инструмента.

В 9, 10 дни  график момента расположен выше линии  нулевого уровня. Рекомендуется покупка  финансового инструмента.

В 9 день график момента пересекает линию  нулевого уровня – это сигнал разворота  тренда. Так как пересечение снизу  вверх – это сигнал к покупке.

 

Рис. 14. График скорости изменения цен

 

В 6, 7, 8 дни  график скорости изменения цен расположен ниже уровня 100%. Рекомендуется продажа  финансового инструмента.

В 9, 10 дни  график скорости изменения цен расположен выше уровня 100%. Рекомендуется покупка  финансового инструмента.

В 9 день график скорости изменения цен пересекает уровень 100% – это сигнал разворота  тренда. Так как пересечение снизу  вверх – это сигнал к покупке.

 

Рис. 15. График индекса относительной силы

 

С 6 по 10 день график индекса относительной  силы находится в нейтральной  зоне (от 25 до 75). Рекомендуется проводить  финансовые операции в соответствии с сигналами других индикаторов.

 

 

Рис. 16. Стохастические линии

 

График  К% показывает, что в 5 день рекомендуется  прекратить финансовые операции (график находится в критической зоне «перекупленности»). В 6 день получен  сигнал разворота тренда (график вышел  из критической зоны), рекомендуется  начать продажу финансового инструмента. С 6 по 10 день график находится в нейтральной  зоне. рекомендуется в эти дни  проводить операции в соответствии с сигналами других индикаторов.

График  R% является зеркальным отражением графика К%. Выводы по этим графикам полностью совпадают.

График  D% с 7 по 10 день находится в нейтральной зоне. Это подтверждает то, что следует проводить финансовые операции в соответствии с сигналами других индикаторов.

 

 

 

 

 

 

Задача 3

 

Выполнить различные коммерческие расчеты, используя  данные, приведенные в таблице. В  условии задачи значения параметров введены в виде переменных. Например, S означает некоторую сумму средств в рублях, Т_лет - время в годах, i - ставку в процентах и т.д. По номерам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты.

3.1. Банк выдал ссуду, размером S руб. Дата выдачи ссуды - T_н, возврата - T_к. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i % годовых.

Найти:

3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.2) обыкновенные  проценты с точным числом дней  ссуды;

3.1.3) обыкновенные  проценты с приближенным числом  дней ссуды.

3.2. Через T_дн дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i % годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

3.3. Через T_дн дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i % годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

3.4. В кредитном договоре на суммуS руб. и сроком на T_лет лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i % годовых. Определить наращенную сумму.

3.5. Ссуда размером S руб. предоставлена на Т_лет. Проценты сложные, ставка - i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму.

3.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году, исходя из номинальной ставки i % годовых.

3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить аффективную ставку i % годовых.

3.8. Через Т_лет предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i % годовых.

3.9. Через T_лет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i % годовых. Определить дисконт.

3.10. В течение Т_лет лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i %. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

 

Сумма	Дата начальная	Дата конечная	Время в днях	Время в годах	Ставка	Число начислений
S	Tн	Тк	Тдн	Тлет	i	m
3 500 000	11.01.2002	19.03.2002	90	5	40	4

 

Решение:

 

Расчеты отражены на рис. 17-18.

По итогам расчетов можно сделать следующие  выводы.

3.1.1 Точные проценты с точным числом дней ссуды =  256986,30 руб.

3.1.2 Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды = 260555,56 руб.

3.1.3 Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды = 264444,44 руб.

3.2. Первоначальная  сумма = 3181818,18 руб.

Дисконт = 318181,82 руб.

3.3 Полученная предприятием сумма = 3150000 руб.

Дисконт = 350000 руб.

 

Рис. 17. Формулы для расчетов

 

3.4. Наращенная  сумма = 18823840 руб.

3.5. Наращенная  сумма = 23546249,82 руб.

3.6. Эффективная  ставка процента = 46,410 %.

3.7. Номинальная  ставка = 35,103 %.

3.8. Современная  стоимость = 650770,51 руб.

3.9. Дисконт  = 3227840 руб.

3.10. Сумма на расчетном счете к концу указанного срока = 43193815,61 руб.