Контрольная работа по "Финансовой математике"

Финансовая математика.

 

Простые проценты.

2.Годовая ставка простых процентов в банке составляет 12 %. Через сколько лет вложенная сумма а) удвоится, б) утроится?

Решение:

По ставке простых процентов наращенная сумма вычисляется по формуле:

а) Пусть через t лет сумма удвоится, т.е. S(t)=2S(0)

Т.к. , и годовая ставка простых процентов , то

Т.е. сумма удвоится через 8 лет 4 месяца

 

б) Пусть через t лет сумма удвоится, т.е. S(t)=3S(0)

Т.к. , и годовая ставка простых процентов , то

Т.е. сумма утроится через 16 лет 8 месяцев

Ответ: а) 8 лет 4 месяца; б) 16 лет 8 месяцев

 

 

Дисконтирование.

12.Какую прибыль получит банк в результате учета 20 апреля трех векселей по 30000 руб. каждый, если срок оплаты первого векселя 10 сентября, второго 30 сентября, а третьего 5 октября, а учетная ставка банка 10%  годовых?

Решение:

Текущая стоимость векселя рассчитывается по формуле:

,

где FV-номинальная стоимость, d_t - учетная процентная ставка, Т - срок платежа, t - срок учета, Т_год=365 - число дней в году.

Прибыль банка равна разности между номинальной и текущей стоимостями векселя:

Для первого векселя T-t=143

(руб.)

Для второго векселя T-t=163

(руб.)

Для третьего векселя T-t=168

(руб.)

Прибыль банка в результате учета трех векселей:

(руб.)

Ответ: 3895,84 руб

 

 

 

Сложные проценты.

22.  Построить таблицы и графики изменения коэффициентов наращения для различных ставок сложных процентов 5%, 10% 15%, 20% за период 12 лет.

Решение:

Коэффициенты наращения по сложным процентам рассчитываются по формуле:

Вычислим коэффициенты наращения для ставок сложных процентов 5%, 10% 15%, 20% за период 12 лет и запишем в таблицу:

Годы   проценты	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
5%	1,05	1,10	1,16	1,22	1,28	1,34	1,41	1,48	1,55	1,63	1,71	1,80
10%	1,10	1,21	1,33	1,46	1,61	1,77	1,95	2,14	2,36	2,59	2,85	3,14
15%	1,15	1,32	1,52	1,75	2,01	2,31	2,66	3,06	3,52	4,05	4,65	5,35
20%	1,20	1,44	1,73	2,07	2,49	2,99	3,58	4,30	5,16	6,19	7,43	8,92

По данным полученной таблицы составим графики изменения коэффициентов наращения для различных ставок сложных процентов

Из графиков видно, что чем выше ставка сложных процентов, тем быстрее увеличивается коэффициент наращивания.

Дисконтирование.

32.  Банк учитывает вексель по простой учетной ставке 8% годовых. Определить величину сложной и номинальной учетных ставок, не изменяющие доход банка.

Решение:

Доход банка при учете векселя равен разнице между номинальной стоимостью векселя и суммой выплат. Если доходы от двух операций дисконтирования одинаковых векселей равны, то равны и  суммы выплат по этим операциям.

Сумма выплат при простой учетной ставке 8% годовых равна:

,

где

 P-- сумма выплаты;

S -- общая сумма обязательства (сумма выплаты плюс дисконт);

d -- учётная ставка, выраженная в долях;

n -- число периодов до уплаты.

Сумма выплат при сложной учетной ставке равна:

Тогда  величина сложной учетной ставки , не изменяющей доход банка, выражается из уравнения:

Например, при сроке до гашения векселя 0,5года j=0.0784

При учёте по сложной номинальной учётной ставке f, которая начисляется m раз в год, сумма выплаты рассчитывается по формуле:

Величина сложной номинальной учётной ставки , не изменяющей доход банка, выражается из уравнения:

Например, при сроке до гашения векселя 0,5года и ежемесячном начислении  f=0.0814

 

Ответ: ;

 

Эквивалентные ставки.

41.  Банк начисляет проценты по номинальной сложной процентной ставке 24 % с ежемесячным начислением процентов. Определить эквивалентные ставки: простую, сложную, номинальную с ежеквартальным и полугодовым начислением процентов.

Решение:

Выразим ставки из следующих уравнений:

Эквивалентная простая ставка:

Эквивалентная сложная ставка:

Эквивалентная номинальная процентная ставка с полугодовым начислением процентов:

 

Эквивалентная номинальная процентная ставка с ежеквартальным начислением процентов:

Ответ: ; 0,268; 0,252; 0,245

 

 

 

 

Финансовые потоки.

51. Фермер купил новый трактор за 5000 долл. с рассрочкой на 6 лет по сложной годовой ставке 12 %. Определить сумму ежегодных равных платежей и общую сумму выплаченных процентов. Построить график гашения долга.

Решение:

Сумма ежегодных равных платежей:

(руб)

Общая сумма выплаченных процентов:

(руб)

График гашения долга

№ платежа	Сумма платежа	Сумма процентов	Погашение долга	Остаток долга
				5000
1	1216,13	600	616,13	4383,87
2	1216,13	526,0644	690,07	3693,80
3	1216,13	443,2565	772,87	2920,93
4	1216,13	350,5117	865,62	2055,31
5	1216,13	246,6375	969,49	1085,82
6	1216,13	130,2984	1085,83	-0,01

 

 

Модели инфляции.

61. Определить средний уровень инфляции за полгода, если инфляция по месяцам составила соответственно: 5%, 10%, 15%, 20%, 20%, а за последний месяц дефляция составила 10%.

Решение:

Индекс инфляции за полгода:

,

Уровень инфляции будет равен:

= I_и  - 1 = 1,095 - 1,0 = 0,095      %=9,5 %

Т.е. средний уровень инфляции за полгода составил 9,5% в месяц

Ответ: 9,5%

 

 

 

Модели Операций с ценными бумагами. Облигации.

72. Облигации номиналом 100 тыс. руб. и сроком обращения 180 дней были куплены в момент их выпуска по курсу 66,5 и проданы через 30 дней по курсу 88. Определить доходность купленных облигаций к погашению и текущую доходность к аукциону в результате продажи, для расчетного количества дней в году 360.

Решение:

N=100 тыс.руб.;t₁=180дн.;  K=360;  P_k1=66,5, t₂=30дн., P_k1=88

Доход от покупки одной облигации при условии ее погашения составит:

Р=

Доходность облигаций к погашению по эквивалентной ставке простых процентов:

Текущая доходность к аукциону в результате продажи, для расчетного количества дней в году 360:

 

 

Акции.

82. Курс акций на 11 июля составил: покупка 7300 руб., продажа 8000 руб., а на 28 сентября соответственно покупка 11750 руб., продажа 14750 руб. Определить доход, полученный от покупки 100 акций 11 июля и их последующей продажи 28 сентября, а также доходность операции купли-продажи в виде эффективной ставки простых процентов.

Решение:

Доход, полученный от покупки 100 акций 11 июля и их последующей продажи 28 сентября:

Доходность операции в виде эффективной ставки простых процентов:

годовых

Ответ: 375000руб; 213,6% годовых

 

Модели валютных операций.

91 - 100. а) Провести сравнение различных вариантов развития операций (не менее 5) вложения денежных средств в размере 50000 руб. на срок 2 года, с учетом среднегодовой инфляции 20% и построить графики изменения во времени наращенных сумм. В качестве источника информации можно использовать сведения о банковских вкладах в рублях, долларах, евро и других курсах валют на начало и конец операции.

б) Построить схему финансовой операции по данным динамики курса доллара за сентябрь 1998 года.

Курс  руб. за долл., сентябрь 1998 скупки/продажи
1	10,88/12,8	7	17,93/21,94	13	9,6/11,42	19	12,4/16,4
2	12,8/14,85	8	19,9/23,52	14	9,6/11,42	20	12,4/16,4
3	14,62/17,35	9	18,01/21,52	15	10,26/14,75	21	14,4/18,4
4	17,93/21,94	10	11,79/14,85	16	11,72/15,53	22	13,4/16,4
5	17,93/21,94	11	10,97/12,87	17	10,3/12,45	23	14,5/16,2
6	17,93/21,94	12	9,6/11,42	18	10,3/14,6	24	14,5/16,2

 

Решение:

а) сравнение различных вариантов развития операций вложения денежных средств в размере 50000 руб. на срок 2 года:

1) Банковский вклад  под 16% годовых по схеме простых процентов:

Сумма на конец срока:

С учетом инфляции реальная сумма на конец срока:

2) Банковский вклад под 15% годовых по схеме сложных процентов  с ежеквартальным начислением процентов:

Сумма на конец срока:

С учетом инфляции реальная сумма на конец срока:

3) Перевести в Евро и положить в банковский вклад под 4,5% годовых по схеме простых процентов:

Курсовая разница по обмену валют в среднем составляет 1% от суммы обмена.

Тогда рублевый эквивалент начальной суммы вклада:

Сумма на конец срока:

Инфляция в евро ниже инфляции в рублях. Предположим, среднегодовая инфляция евро равна 0,9%

С учетом инфляции реальная сумма в рублевом эквиваленте на конец срока:

Окончательная сумма, полученная в результате обмена евро на рубли:

4) Перевести в Евро и положить в банковский вклад под 4% годовых по схеме сложных процентов  с ежеквартальным начислением процентов:

Курсовая разница по обмену валют в среднем составляет 1% от суммы обмена.

Тогда рублевый эквивалент начальной суммы вклада:

Сумма на конец срока:

С учетом инфляции реальная сумма в рублевом эквиваленте на конец срока:

Окончательная сумма, полученная в результате обмена евро на рубли:

5) Перевести в доллар США и положить в банковский вклад под 6% годовых по схеме сложных процентов  с ежеквартальным начислением процентов:

Курсовая разница по обмену валют в среднем составляет 1% от суммы обмена.

Тогда рублевый эквивалент начальной суммы вклада:

Сумма на конец срока:

Предположим, среднегодовая инфляция доллара США равна 4%

С учетом инфляции реальная сумма в рублевом эквиваленте на конец срока:

Окончательная сумма, полученная в результате обмена евро на рубли:

 

Построим таблицу изменения во времени наращенных сумм (без учета инфляции):

 

 

 

Период	Вклад в рублях под 16% по простой год.ставке	Вклад в рублях под 15% по сложной год.ставке с ежекварт. начислением	Вклад в евро под 4,5% по простой год.ставке	Вклад в евро под 4% по сложной год.ставке с ежекварт. начислением	Вклад в долларах США под 6% по сложной год.ставке с ежекварт. начислением
0кв	50000	50000	49500	49500	49500
1кв	50000	51875	49500	49995	50242,5
2кв	50000	53820,3125	49500	50494,95	50996,1
3кв	50000	55838,5742	49500	50999,8995	51761,1
4кв	50000	57932,5208	49500	51509,8985	52537,5
5кв	50000	60104,9903	49500	52024,9975	53325,6
6кв	50000	62358,9274	49500	52545,2475	54125,4
7кв	50000	64697,3872	49500	53070,6999	54937,3
8кв	66000	67123,5392	53955	53601,4069	55761,4

Построим график изменения во времени наращенных сумм (без учета инфляции):

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 б) Рассчитаем параметры валютных операций

Дата	Курс скупки	Курс продажи	Маржа(разница между курсом продажи и скупки)	Изменение курса скупки по сравнению с предыдущим днем	Изменение курса продажи по сравнению с предыдущим днем
1	10,88	12,8	1,92
2	12,8	14,85	2,05	1,92	2,05
3	14,62	17,35	2,73	1,82	2,5
4	17,93	21,94	4,01	3,31	4,59
5	17,93	21,94	4,01	0	0
6	17,93	21,94	4,01	0	0
7	17,93	21,94	4,01	0	0
8	19,9	23,52	3,62	1,97	1,58
9	18,01	21,52	3,51	-1,89	-2
10	11,79	14,85	3,06	-6,22	-6,67
11	10,97	12,87	1,9	-0,82	-1,98
12	9,6	11,42	1,82	-1,37	-1,45
13	9,6	11,42	1,82	0	0
14	9,6	11,42	1,82	0	0
15	10,26	14,75	4,49	0,66	3,33
16	11,72	15,53	3,81	1,46	0,78
17	10,3	12,45	2,15	-1,42	-3,08
18	10,3	14,6	4,3	0	2,15
19	12,4	16,4	4	2,1	1,8
20	12,4	16,4	4	0	0
21	14,4	18,4	4	2	2
22	13,4	16,4	3	-1	-2
23	14,5	16,2	1,7	1,1	-0,2
24	14,5	16,2	1,7	0	0