Контрольная работа по «Финансовой математике»

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS:

,

где   - максимальное значение уровней ряда остатков ;

- минимальное значение уровней  ряда остатков  ;

S – среднее квадратическое отклонение.

;

Так как 3,00<3,77<4,21, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

 

Расчет прогнозных значений экономического показателя.

Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты и определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения и (см. табл. 1.4) по формуле:

,

где  k – период упреждения;

- расчетное значение экономического  показателя для t-го периода;

- коэффициенты модели;

- значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

- период сезонности.

Определим прогнозные значения экономического показателя Y_p(t) для: t = 17, 18, 19 и 20.

На нижеприведенном  рисунке проводится сопоставление  фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения о кредитах на  год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

Рис. 1. Сопоставление расчетных (ряд 1) и фактических (ряд 2) данных

 

Задание 2

В таблице 2.1 даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным 5 дням.

Рассчитать: экспоненциальную скользящую среднюю; момент; скорость изменения цен; индекс относительной  силы; % R, % К, % D;

Расчеты проводить для  всех дней, для которых эти расчеты  можно выполнить на основании имеющихся данных.

Таблица 2.1

Дни	Цены
	макс.	мин.	закр.
1	735	701	715
2	750	715	738
3	745	715	720
4	725	707	712
5	738	702	723
6	747	716	744
7	835	755	835
8	875	812	827
9	853	821	838
10	820	760	767

 

Решение

Для расчета экспоненциальной скользящей средней воспользуемся формулой:

,

где  k = 2 / (n + 1),

- цена закрытия t-го дня;

- значение EMA текущего дня t.

Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня и цены n дней тому назад :

где   - цена закрытия t-го дня.

- значение МОМ текущего дня t.

Скорость  изменения цен рассчитываем как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах:

,

где   - цена закрытия t-го дня.

- значение ROC текущего дня t.

Результаты расчетов представим в таблице (табл. 2.2).

Таблица 2.2

Дни	Цены			ЕМАt	МОМt	ROCt
	макс.	мин.	закр.
1	735	701	715	715,00	-	-
2	750	715	738	722,67	-	-
3	745	715	720	721,78	-	-
4	725	707	712	718,52	-	-
5	738	702	723	720,01	-	-
6	747	716	744	728,01	29,0	104,06
7	835	755	835	763,67	97,0	113,14
8	875	812	827	784,78	107,0	114,86
9	853	821	838	802,52	126,0	117,70
10	820	760	767	790,68	44,0	106,09

 

Для расчета индекса относительной силы используем формулу:

,

где  AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней;

AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.

Расчеты представим в  таблице 2.3.

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 2.3

Дни	Цены  закрытия	Изменение (+/-)	RSI
1	715	-	-
2	738	23	-
3	720	-18	-
4	712	-8	-
5	723	11	-
6	744	21	95,2
7	835	91	-49,0
8	827	-8	-21,3
9	838	11	-62,5
10	767	-71	600,0

 

Рассчитаем  %R, %К, %D используя следующие формулы:

 

,

_где   - значение индекса текущего дня t;

- цена закрытия t-го дня;

_{L5 и Н5 – минимальная и максимальные цены за n предшествующих дней, включая текущие.}

 

,

_где   - значение индекса текущего дня t;

- цена закрытия t-го дня;

_{L5 и Н5 – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущие.}

 

_{Индекс %D рассчитывается аналогично индексу %К, с той лишь разницей, что при его построении величины} и сглаживают, беря их трехдневную сумму.

Результаты расчетов представим в таблице 2.4.

Таблица 2.4

Дни	Цены			%Кt	%Rt	%Dt
	макс.	мин.	закр.
1	735	701	715		-
2	750	715	738	-	-
3	745	715	720	-	-
4	725	707	712	-	-
5	738	702	723	34,78	65,22
6	747	716	744	90,32	9,68
7	835	755	835	383,87	-283,87	169,66
8	875	812	827	358,06	-258,06	277,42
9	853	821	838	393,55	-293,55	378,49
10	820	760	767	164,52	-64,52	305,38

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 3

3.1. Банк выдал ссуду, размером 1500000 руб. Дата выдачи ссуды 17.01.02, возврата 13.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 20% годовых. Найти:

3.1.1) точные проценты  с точным числом дней ссуды;

3.1.2) обыкновенные проценты  с точным числом дней ссуды;

3.1.3) обыкновенные проценты  с приближенным числом дней  ссуды.

 

Решение

3.1.1) К = 365, t = 57, I = 1500000 * 0,20 * 55 / 365 = 45205,48 руб.

3.1.2) К = 360, t = 57, I = 1500000 * 0,20 * 55 / 360 = 45833,33 руб.

3.1.3) К = 360, t = 58, I = 1500000 * 0,20 * 56 / 360 = 46666,67 руб.

 

3.2. Через 180 дней после подписания договора должник уплатил 1500000 руб. Кредит выдан под 20% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

 

Решение

P = S / (1 + ni) = 1500000 / (1 + 0,20 * 180 / 360) = 1363636,36 руб.

D = S – P = 1500000 – 1363636,36 = 136363,64 руб.

 

3.3. Через 180 предприятие должно получить по векселю 1500000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 20% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

 

Решение

D = S_nd = 1500000 * 0,20 * 180 / 360 = 150000,00 руб.

P = S – D = 1500000 – 150000 = 1350000,00 руб.

3.4. В кредитном договоре на сумму 1500000 руб. и сроком на 4 года, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 20% годовых. Определить наращенную сумму.

 

Решение

S = P * (1+i)ⁿ = 1500000 * (1 + 0,20)⁴ = 3110400,00 руб.

 

3.5. Сумма размером 1500000 руб. представлена на 4 года. Проценты сложные, ставка 20% годовых. Проценты начисляются 2 раза в году. Вычислить наращенную сумму.

 

Решение

N = 4 * 2 = 8

S = P * (1+j / m)^N  = 1500000 * (1 + 0,20 / 2)⁸ = 3215383,22 руб.

 

3.6. Вычислить эффективную ставку процентов, если банк начисляет проценты 2 раза в год, исходя из номинальной ставки 20% годовых.

 

Решение

i_э = (1 + j / m)^m - 1 = (1 + 0,20 / 2)² – 1 = 0,2100, т.е. 21%.

 

3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 2 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку 20% годовых.

 

Решение

j = m * [(1 + i_э)^1/m - 1] = 2 * [(1 + 0,20)^(1/2) – 1] = 0,19089, т.е. 19,089%.

 

3.8. Через 4 года предприятию будет выплачена сумма 1500000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 20% годовых.

 

Решение

 руб.

 

3.9. Через 4 года по векселю должна быть выплачена сумма          1500000 руб. Банк учел вексель по учетной ставке 20% годовых. Определить дисконт.

 

Решение

P = S (1 – d_сл)ⁿ = 1500000 * (1 – 0,20)⁴ = 614400,00 руб.

D = S – P = 1500000 – 614400,00 = 885600,00 руб.