Контрольная работа по "Финансовой математике"

 

 

Федеральное агентство по образованию

 

ГОУ ВПО «Сибирский государственный технологический университет»

 

ХТФ ЗДО

 

Кафедра управления качеством и математических методов в экономике

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа по дисциплине:

«Финансовая математика»

 

 

Вариант №6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила: студ. гр. 0801-21с

Специальности 080100.62

2 курса 

 

 

Проверила:

Буркова Елена Владимировна

 

 

Красноярск 2014

 

 

 

 

Задача №1.

По заданным значениям параметров найти неизвестную величину. Каковы проценты за весь срок ссуды? Найти множитель наращения. Вычисления вести с точностью до 1 рубля.

Дано: Р = 50 тыс. руб., i= 120 %, S = 200 тыс. руб.

S = P ∙ (1+п∙i) => n = (S/Р- 1) / i = (200 / 50 - 1) /1,2 = 2,5 года.

Проценты за весь срок ссуды I = Р∙п ∙i=50000 ∙2,5 ∙1,2= 150 000 руб.

Множитель наращения МНпр% = = (1 + п ∙ i) ==44.

 

Задача №2

Начисление процентов за часть года (обыкновенные и точные проценты). Решить задачу тремя способами:

• вычислением коммерческого (обыкновенного) процента с приближённым числом дней ссуды,
• вычислением коммерческого (обыкновенного) процента с точным числом дней ссуды,

• вычислением точного процента с точным числом дней ссуды.

Дано: Первоначальная сумма Р = 3000 тыс.руб., Ставка простого процента i = 25%,

Дата получения ссуды - 16.01.97 Дата возврата ссуды   - 16.10.97

1. способ: Временная база К=360 дней. Приближённое число дней

t =9∙30= 270 дней

S = P∙(1 + i )= 3000000 ∙ (1 + 0,25 ∙270 / 360) = 3562500 руб.

2. способ: К=360 дней.

Точное число дней ссуды t= 289-16= 273 дней

S = Р∙ (1 + i) = 3000000 ∙ (1 + 0,25 ∙273 / 360) = 3568750 руб.

 

3. способ: t=289-16=273 дней, К=365, тогда

S = Р∙ (1 + i) = 3000000 ∙ (1 + 0,25 ∙273 / 365) = 3560959 руб.

 

 

Задача №3

При начислении простых процентов по ставке i % в год первоначальный вклад Р рублей за п лет увеличился в К раз. Найти п.

Дано: i = 25 %, К= 3. Найти  п.

 

К =, Наращенная сумма S = P∙ (1+п∙i) =>

n=(S/Р - 1) /i = (К- 1) /i= (3 - 1) / 0,25 = 8 лет.

 

Задача №4

 Вкладчик открыл в  банке счет в 10000 рублей t1(дата) 1998 года под простые проценты по ставке i1% годовых. С 1 июня банк изменил ставку по вкладам до i2 % годовых. Вкладчик положил на счет S рублей t2(дата), а 1 октября добавил на счет 3500 рублей, закрыв вклад 20.02.99 г.

Определить сумму начисленных процентов и сумму, полученную при закрытии счета.

№ варианта	t1(дата)	t2(дата)	i1%	i2%	S, руб.
6	5 февраля	16 июня	35	25	3500

 

Дано:       t1=5.02.98       i1=35%

t2=1.06.98       i2=25%

t3=16,06,98    P1=10000 руб.

t4=1,10,98      P3=S=3500 руб.

t5=20,02,99    P4=3500 руб.

Найти: S4-?

       Решение:

 Расчет будем вести по точным процентам. Временная база K=365 дней. Находим точное количество дней:

n1=t2-t1=152-36=116 (дней)             n2=t3-t2=167-152=15(дней)

n3=t4-t3=274-167=107 (дней)           n4=t5-t4=(365-51)-274=142(дня)

 

Находим наращенные суммы:

t2= 1июня 1998 года

S1=P1∙(1+i1)=10000∙ (1+0,35∙)=11112 руб.

t3=16 июня 1998

S2=S1∙(1+i2)=11112∙ (1+0,25∙)=11226 руб.

R3=S2+P3=11226+3500=14726 руб.

t4=1 октября 1998

S3=P3∙(1+i2)=14726∙ (1+0,25∙)=15805 руб.

R4=S3+P4=15805+3500=19305 руб.

T5=20 февраля 1999

S4=P4∙(1+i2)=19305∙ (1+0,25∙)=21183 руб.

Итак, сумма при закрытии счета составит 21183 руб., а сумма начисленных процентов: 21183-(10000+3500+3500)=4183 (руб.)

 

 

Задача №5

По заданным значениям параметров найти неизвестную величину. Каковы проценты за весь срок ссуды? Найти множитель наращения. Вычисления вести с точностью до 1 рубля.

Дано: Процентная ставка ссуды i = 50 %

Срок ссуды п = 2 мес = 1/6 года;

Периодичность возврата: ежемесячно (т = 12)

Сумма выплат S = 100 тыс. руб.

Первоначальная величина ссуды Р - ?

 

Решение: Используем способ, при котором проценты начисляются на всю сумму кредита и присоединяются к основной сумме долга Р уже в момент открытия кредита. Тогда сумма выплат

S = P∙(l+n∙i) => Р = S/(1 + п ∙ i)= 100000 / (1 + 1/6 ∙ 0,5) = 92,308 руб.

Полагая, что кредит выплачивается равными долями, найдём величину каждого  

погасительного платежа:q= ==50000 руб.

Проценты за весь срок ссуды  I= Р ∙ п ∙i = 92308 ∙1/6 ∙0,5 = 7692 руб.

Множитель наращения  МНпр%==(1+n∙i)==1,0833

 

 

 

 

Задача №6.

Заполните таблицу, считая, что наращивание первоначальной суммы идёт по сложным процентам. Найти, во сколько раз увеличилась первоначальная сумма к концу срока.

Дано: Первоначальная сумма (текущая стоимость вклада) Р = 250.

Годовая ставка сложных процентов                                   i = ?

Общее количество периодов начисления                        п = 9

Наращенная сумма (будущая сумма)                                  S = 265

Находим:

S=P∙(1+n∙i)n                    i=  -1=-1=0.3=30%

 

Множитель наращения МНслож% ==(1+i)n==10.6

 

 

 

Задача №7

Найти наращенную сумму, используя таблицу множителей наращения по сложным процентам.

№ вари анта	Первоначальная сумма Р	Годовая ставка сложных процентов i, %	Число периодов начисления процентов в году т	Срок ссуды п, лет	Наращенная сумма S
6	2700	13,5	2	33	?

 

За срок ссуды будет произведено п∙т = 33∙2 = 66 периодов начисления процентов. По таблице находим множитель наращения МНСЛ0Ж.%= (1 + 0.14)66 = 5697,970392;

Наращенная сумма S = Р ∙ МН = 2700 ∙5697,970392 = 15384520,0584.

 

Задача №8.

Найти итоговую (наращенную) сумму накопления для основной суммы Р = 20000 руб. при годовой процентной ставке i=10 %, за срок 2 года 5 мес. используя два способа начисления сложных процентов:

а) по формуле S = Р∙ (1 + i) ∙ (1 + i∙b) = 20000∙ (1 + 0,10)2 ∙ (1 + 0,10 ∙) = 25208 руб.

б) по формуле S = Р ∙ (1 + i)n = 20000 • (1 + 0,10)(2 + 5/12) = 25180 руб.

 

 

 

Задача №9.

Р тыс. рублей инвестированы на указанный срок по номинальной ставке сложных годовых процентов j% при начислении сложных процентов: ежегодно, по полугодиям, ежеквартально, ежемесячно, ежедневно.

        Найти наращенные  суммы S за весь срок и проценты I. Вычислить эффективную ставку i Заполнить таблицу. Сделать выводы. (Числовые данные см. в задаче 8.)

Произведем вычисления, используя следующие данные и формулы:

Р = 20000 тыс. руб.; jm =10 %; срок равен п = 2 года 5 мес.= 2,4167 лет.

т - количество начислений в году;

                        S=P(1+)n∙m ;    I=S-P;  iэф=(1+)m-1.

Получим:

Начисление процентов	m	Наращенные суммы S	Проценты I	Эффективная ставка iэф
ежегодно	1	25 180	5 180	10
по полугодиям	2	25 319	5 319	10,25
ежеквартально	4	25 392	5 392	10,38
ежемесячно	12	25 442	5 442	10,47
ежедневно	365	25 467	5 467	10,52

 

Вывод: При начислении сложных процентов наращенная сумма увеличивается тем быстрее, чем чаще производится начисление процентов

 

 

 

Задача №10

 Найдите и (лет) - периоды инвестиции, за которые происходит удвоение первоначальной суммы по ставке i = 24 % простых и сложных процентов.

 =1/i= 1/0,24 = 4,167 лет;  ==2.254 лет.

 

 

Задача №11

 Вклад размером Р руб. внесен на банковский счет. Какой сложный процент должен выплачивать банк, чтобы за п лет вклад увеличился в к раз (к > 1 , п - целое число)?

Дано: п = 2, к = 5.

Согласно схеме сложных процентов множитель наращения к = МНсл% =(1+i)n. Отсюда

i=-1=-1=1,2361=1,2361 %.

 

 

 

Задача №12.

№ варианта	Р	t1	t2	Т	i1%	i2 %	i3%
6	15000	2,5	1,25	4,5	25	20	15

В банк положен вклад Р руб. В течение первых t1 лет банк выплачивал i1%, а затем ставка стала равной i2 % и на этом уровне она держалась t2 лет, а затем ее изменили еще раз, и она оказалась равной i3 %. Через Т лет счет был закрыт. Определите, какую сумму получил вкладчик при закрытии счета.

 

Определим время в течение которого банк выплачивал ставку i3%; t3 = T-ti-t2 = 4,5 - 2,5 - 1,25 = 0,75 года.

Тогда наращенная сумма на момент закрытия счета (сложные проценты, переменные ставки):

S = P∙(1 + i1) t1 ∙(1 + i2) t2 ∙(1 + i3) t3 =

= 15000 ∙ (1 + 0,25)2,5 ∙ (1 + 0,2)1’25 ∙ (1 + 0,15)0’75 = 36 548 руб. 

 

 

 

Задача №13.

 По заданным значениям параметров найти неизвестные величины. S = 200000 руб., d = 6%, период - 2 месяца. Найти D и Р.

2

Величина банковского дисконта D = Snd = 200000 ∙ ∙0,06 = 2000руб.  Выручка Р = S - D = 200000 - 2000 = 180000 руб.

 

 

 

Задача №14.

Банк заплатил 44 000 рублей за вексель с суммой погашения 45 000 рублей через 4 месяца. Какова норма дисконта? Какова норма процента?

Дано: Р = 44000 руб., S = 45000 руб., t = 4 мес.

Величина банковского дисконта D = S -Р = 45000-44000 = 1000руб, с другой стороны D = Snd => норма дисконта

d====0,0666667%

Норму процента найдем из выражения наращенной суммы по простым процентам:S=P(1+ni)     i=(-1)/n=(-1)/=0,0681818=6,81818%

 

 

Задача №15.Рассчитайте текущую стоимость каждого поступления, если коэффициент дисконтирования равен 12%:

а) 5 млн. рублей, получаемые через 3 года;

б) 50 млн. рублей, получаемые через 10 лет.

Дано: ДМ = 12% = 0,12, S=5 (50) млн. руб.

а) Р = S ∙ ДМ = 5∙0,12 = 0,6 млн. руб.

б) Р = S ∙ ДМ = 50∙0,12 = 6 млн. руб.

 

 

Задача №16.

Сегодняшний долг составляет Р тыс. руб. Он должен быть выплачен через t лет по ставке i% сложных годовых процентов. Найти эквивалентное значение долга: а) через 2 года, б) через 4 года.

Дано:

Р = 20 тыс. руб., t = 3 года, i = 15% поквартальных, число начислений процентов в году п= 4.

Решение. Значение долга на момент выплаты (т.е. через t = 3 года) Р1=Р∙ (, где n1=п∙t=4∙3 = 12 - число начислений процентов за период.

Pi = 20∙(1 + 0,15)12 = 107,00500 тыс. руб.

Эквивалентные этой сумме значения долга найдем по формуле Р0= Р1∙

а) через  2 года, to = 2, n0 = п∙to = 4∙ 2 = 8,

Р0 = Р1∙= 107,005 ∙ (1 +0,15)8-12= 61,18045604 тыс. руб.

б) через 4  года. to=4, n0= п∙t0 = 4∙4 = 16,

Р0 = Р1∙= 107,005 ∙(1 + 0,15)16-12 = 187,15241  тыс.руб.

 

 

 

 

Задача №17.

Дана серия платежей: S1 = 1000 тыс. руб. через n1 лет и S2 = 2000 тыс. руб. через n2 лет. Номинальная ставка сложных процентов равна jm%. Найти эквивалентную консолидированную сумму по окончании n3 лет.

Дано: n1 = 1, n2 = 2,5, j4 = 20%, n3 = 4.

Для срока погашения консолидированного платежа (базовой даты) пз = 4 идет наращение для суммы S1 и наращение для суммы S2. Консолидированный платеж через 4 года составит:

S3=S1∙+S2∙

или с учетом периодичности начисления процентов (4 раза в год):

 

S3=S1∙+S2∙=1000∙ (1+0,2/4)(4-1) ∙4+

+2000∙(1+0,2/4)(4-2б5) ∙4=1000∙ (1,05)12+2000∙ (1,05)6=1795,86+2680,19128=4476,05128 тыс.руб.

 

Задача №18.

Займ составляет 1000 руб. по ставке сложных процентов i% на срок п лет. Через год выплачивается сумма P1 в счет долга, а через два года - сумма Р2 Какова должна быть последняя выплата?

Дано: Р = 1000 руб., Р1= 300 руб., Р2 = 400 руб., п = n3= 4, n1=1, n2 = 2, i = 0,2.

Найти: Р3 - ?

Найдем наращенные (эквивалентные) суммы займа и платежей на базовую дату n3 = 4 последней выплаты:

S =Р ∙= 1000 ∙ (1+0,2)4= 1000 ∙(1,2)4 = 2073,6 руб.;

S1 =Р1 ∙= 300 ∙ (1+0,2)4-1 = 300 ∙ (1,2)3 = 518,4 руб.;

S2 =Р2 ∙= 400 ∙ (1+0,2)4-2 = 400 ∙ (1,2)2 = 576 руб.

Тогда искомая сумма последней выплаты (в срок n3 = 4 лет) составит:

P3=S-S1-S2 = 2073,6 - 518,4 - 576 = 979,2 руб.