Математичні методи і моделі в управлінні та економіці

Математичні методи і моделі в управлінні та економіці

Варіант № 10

 

 

1. Визначити реальну  прибутковість фінансової операції, якщо при рівні інфляції 0,8% на  місяць видається кредит на 2 роки  за номінальною ставкою складних  процентів 28%. Проценти нараховуються щоквартально.

 

Розвязання:

 

Якщо відомий рівень інфляції am за короткий (менше року) інтервал. Тоді за період, що становить m таких інтервалів, індекс інфляції дорівнюватиме

 

Iи = (1 + аm)m. 

 

Отже,

 

Iи = (1 + 0,008)24 = 1,21

 

Нарахування складних відсотків може здійснюватися не один, а кілька разів у році. У цьому випадку обговорюється номінальна ставка відсотків j - річна ставка, за якою визначається величина ставки відсотків, застосовувана на кожному інтервалі нарахування.

При m рівних інтервалах нарахування та номінальній процентній ставці j ця величина вважається рівною j / m.

Якщо термін позики складає n років, то

 

Smn=P(1+j/m)mn

 

де mn - загальне число інтервалів нарахування за весь термін отримуємо вираз для визначення нарощеної суми позики.

Враховуючи рівень інфляції, отримуємо формулу:

 

 

Звідци:

 

 

Беручи задану номінальну процентну ставку за ставку, що враховує інфляцію, отримаємо з вищевказаної формули співвідношення для визначення реальної номінальної ставки складних відсотків:

 

 

Отже, = 0,1789=17,89% 

 

Висновок: реальна доходность финансової операції складає 17,89%.

 

 

2. Результати спостережень  за прибутковістю портфелів цінних  паперів А і В протягом попередніх  п’яти періодів наведені в таблиці:

 

Таблиця 1

Період	Прибутковість (у %)
	rА	rВ
1	2,5	7,6
2	3	6
3	2	7
4	3,3	4
5	4	5,2

 

Інвестор має можливість придбати лише один з цих портфелів. Потрібно оцінити ризиковість кожного з портфелів і придбати менш ризиковий. Аналіз виконати за допомогою обчислення середньоквадратичного відхилення, коефіцієнта варіації та коефіцієнта семіваріації випадкових величин rА і rВ.

Вказівка. Ймовірності (частоти) появи окремих значень rА та  rВ дорівнюють 1/5.

 

Розв’язання:

 

Знайдемо числові значення параметрів, що характеризують ці портфелі цінних паперів.

 

Середньоквадратичне відхилення — дорівнює кореню квадратному з дисперсії випадкової величини:

Відповідно до формул з обчислення дисперсії:

,

 

де:

— стандартне відхилення, незміщена оцінка средньоквадратичного відхилення випадкової величини X відносно її математичного сподівання;

— дисперсія;

— i-й елемент вибірки;

— середнє арифметичне вибірки: :

— обсяг (розмір) вибірки.

 

Отже, σ2 rА =0,47; σ rА =0,68;

 

           σ2 rВ=1,64; σ rВ =1,28;

 

У світовій економічній літературі середньоквадратичне відхилення називається  ризиком і є одним з найпоширеніших абсолютних показників вимірювання ризику.

Найменше значення середньоквадратичного відхилення характеризує найменший ризик, і, відповідно, найбільше — найбільший ризик. Середньоквадратичне відхилення демонструє, як у середньому коливатиметься прибуток по кожній стратегії з огляду на невизначеність і конфліктність умов.

Середньоквадратичне відхилення завжди показує ті ж співвідношення щодо ризикованості рішень, що й дисперсія, бо ці показники тісно пов’язані між собою. Але на відміну від дисперсії середньоквадратичне відхилення простіше тлумачити економічно — це середнє відхилення від цілі.

Найменше значення середньоквадратичного відхилення має прибутковість цінних паперів А, а отже вони менш ризикові.

З урахуванням того, що σ2 rА < σ2 rВ, σ rА < σ rВ , а також того, що інвестор є нейтральним до ризику, для вибору оптимального портфеля (того, що є менш ризикованим) можна скористатись критерієм мінімального коефіцієнта варіації:

Коефіцієнт варіації — це відносний показник оцінки ризику, який характеризує співвідношення між ризиками та ефективністю. Розраховується він за формулою:

 

 

Отже,

 

Найменше значення коефіцієнта варіації свідчить про найкраще співвідношення між ефективністю та ризиком.

Оскільки два попередні розрахунки суперечать один одному, то скористаємося критерієм мінімального коефіцієнта семіваріації.

 

Чим менша від’ємна, тим менший ризик має стратегія.

 

Висновок: Оскільки CSV–(RA) > CSV–(RB), то при виборі портфеля цінних паперів перевагу слід надати портфелю B.

 

3. Платіжна матриця  відображає обсяг виручки, яку  може отримати банк від реалізації  акцій деяких компаній залежно  від умов, що можуть скластися  на ринку (відповідні їм ймовірності  вказано у таблиці). Обрати оптимальне  рішення за допомогою критерію  Байєса-Лапласа.

 

Таблиця 2

Варіанти реалізації ЦП	Стан ринку
	θ1 (р=0,3)	θ2 (р=0,2)	θ3 (р=0,21)	θ4 (р=0,29)
№1	3	3	7	11
№2	8	10	6	5
№3	6	8	8	7

 

Розв’язання:

 

За критерієм Байєса-Лапласа, оптимальним рішенням вважають таке, для якого математичне очікування результуючої оціночної функції оптимальності досягає найбільшого можливого значення:

Розрахуємо оптимальне рішення за допомогою критерію Байєса-Лапласа (таблиця 3).

Таблиця 3

Варіанти реалізації ЦП	Стан ринку				Результуюча оціночна функція
	θ1	θ2	θ3	θ4
	0,3	0,2	0,21	0,29
№1	3	3	7	11	6,16
№2	8	10	6	5	7,11
№3	6	8	8	7	7,11

 

Відповідь: оптимальне рішення є реалізація цінних паперів компаній №2 та № 3, їх доходність однакова і складає 7,11.

4. Курс А/В дорівнює 29,95. Середні ставки міжбанківських кредитів на t = 30 днів дорівнюють іА = 6% річних, іВ = 14% річних. Визначити значення теоретичного курсу форвард.

 

Розв’язання:

 

Теоретичний беззбитковий форвардний курс може бути визначений з урахуванням процентних ставок за валютами, з якими проводяться форвардні операції. При цьому форвардний курс валюти А до валюти В при прямій котировці буде дорівнювати:

 

Форвард-курс 30,146

 

 

Відповідь: значення теоретичного курсу форвард складає 30,146

 

5. Знайти прогнозне  значення Y на наступний момент часу за допомогою:

- рівняння парної  регресії;

- методу експоненційного  прогнозування.

(Дані приведені  у % від загального об’єму). Отримані  результати представити графічно.

 

№ періоду часу	Власні  засоби банку Y	№ періоду часу	Власні  засоби банку Y
1	3,51	8	4,99
2	3,73	9	5,22
3	4,01	10	5,35
4	4,06	11	5,68
5	4,43	12	6,02
6	4,52	13	6,14
7	4,71	14	6,32

 

Розв’язання:

 

Розрахуємо рівняння парної регресії за допомогою графічного редактора MS Excel.

 

Рівняння парної лінійної регресії матиме вигляд:

 

у=0,2186х+3,2671,

 

Прогнозне значення Y на наступний момент часу складатиме:

 

У= 0,2186*15+3,2671 = 6,5461

 

Графічно рівняння парно регресії представлено прямою лінією на рисунку 1

 

 

Рисунок 1 Рівняння парної лінійної регресії

 

Аналогічно розрахуємо прогнозне значення Y на наступний момент часу за допомогою методу експоненційного прогнозування.

Формула розрахунку прогнозу має вигляд:

 

У= 3,4383е0,0452х

 

Прогнозне значення Y на наступний момент часу складатиме:

 

У=3,4383е0,0452*15 = 6,7761

 

Графічно експоненційна модель представлена на рисунку 2.

 

 

Рисунок 2 Експоненційна модель