Интерполирование функций

Отчёт 
о выполнении лабораторной работы №6 
«Интерполирование функций» 
студента группы 2Н14 физического факультета 
Сташуленка Павла Андреановича 
Вариант №23 

Задание 1.

Составьте программу для табулирования  заданной функции с постоянным шагом (5–6 точек) и точностью .

Решение:

Составив программу, получаем 5 точек:

X[0]=-3;  6; 
x[1]=-2.2;  4.4; 
x[2]=-1.4;  2.9; 
x[3]=-0.6;  1.5; 
x[4]=0.2;  1.1;

Задание 2.

Составить программу для построения интерполяционного многочлена методом  Лагранжа. Протестировать полученный алгоритм с помощью узловых точек.

Решение:

Интерполяционный многочлен в  форме Лагранжа:

Получим искомый многочлен  как комбинацию многочленов n–ой степени. Введем вспомогательные многочлены , для которых справедливы условия: 
 
Искомый многочлен Лагранжа построим из комбинации вспомогательных многочленов  
Чтобы построенный многочлен удовлетворял условию интерполяции , исходя из конструкции , многочлен Лагранжа может иметь вид: 
 
Поскольку при , то - корни этого k-го вспомогательного многочлена. 
Тогда его можно записать в виде: 
 
Здесь c - константа, подлежащая определению. 
Величину этой константы можно определить, если учесть, что при , тогда  
Подставим во вспомогательный многочлен найденное c: 
 
Конструкция этого многочлена такова, что он не содержит разности в числителе, а знаменатель получен из числителя путем подстановки вместо . Вспомогательные многочлены иногда называют базисными. 
Учитывая принятый вид многочлена Лагранжа: , получим окончательно формулу: 
 
В свернутом виде многочлен Лагранжа имеет вид: 
 
Эта формула имеет место как в случае равноотстоящих узлов интерполяции, так и в иных случаях. 
Убедимся в том, что построенный многочлен Лагранжа удовлетворяет условиям интерполяции. 
 
Теорема о единственности интерполяционного многочлена). 
- единственный многочлен -ой степени, который можно построить по узловой точке.

Задание 3.

Постройте в  одной системе координат графики:

1. заданной функции.
2. табличных значений (задание 1).
3. интерполяционного многочлена (задание 2).

 
Задание 4.

Оцените погрешность  построенного интерполяционного многочлена, сделайте выводы по результатам вычислений.

Использование многочлена Лагранжа не всегда удобно:

1. Громоздкая  форма требует больших вычислительных  затрат.

2. Заранее неизвестно, многочлен, какой степени нужно  использовать для достижения  заданной точности.

3. Исходные данные приближенны, что существенно повлияет на результат при большой степени n.