Исследование возможностей Мар1е 7 при вычислении интегралов

Наличие у функции особых (сингулярных) точек нередко затрудняет выполнение с ней ряда операций, таких как численное интегрирование. В этом случае могут помочь соответствующие параметры. Например, вычисление следующего интеграла дает явно неудобное выражение в виде набора значений, разных для разных интервалов изменения а:

>Int(1/(x+a)^2,x=0..2);

 

 

0	a≤-2
∞	a<0	a+
0	0≤a

0	a≤-2
∞	a<0	a2
0	0≤a

                                                                   

2+2                                                                                                                                                                                                                         

 

(2+a)a

Увы, попытка вычислить по этому выражению значение интеграла не всегда дает корректный результат. Например, при х от -2 до 0 получаются бесконечные значения. Да и график зависимости значения интеграла от параметра а имеет подозрительный вид (рис. 8.2). Это как раз тот случай, когда с ходу доверяться результатам Maple 7 рискованно.

В данном случае приходится констатировать давно известный факт — системы компьютерной математики (и Maple 7 в их числе) не всесильны и всегда можно найти интегралы даже с обманчиво простым внешним видом, которые поставят систему в тупик или дадут неверные результаты в той или иной области изменения аргументов. Особенно опасны интегралы от кусочных функций с разрывами и интегралы, представляемые такими функциями. Именно к ним и относится обсуждаемый сейчас интеграл. Не меньше проблем вызывают интегралы от функций, области определения которых заданы некорректно или просто не изучены.

Между тем ситуация вовсе не является безнадежной. Надо просто знать, что предпринять, чтобы подсказать системе правильный путь решения. Например, в нашем случае, применив параметр continuous (в апострофах), можно получить куда более простое выражение:

>Int(1/(x+a)^2,x=0..2,’continuous’);

Рисунок 8.3 показывает это решение с двумя важными дополнениями — оно представляется функцией пользователя, а ее график строится при изменении a  от -10 до 10.

Приведем еще один пример «каверзного» интеграла довольно простого вида:

>Int(1/x^3,x=-1..2);

undefined

Этот интеграл вообще не берется функцией int без указания параметров (в строке вывода сообщается об этом). Но введение параметра CauchyPrincipalValue позволяет получить значение интеграла;

>int(1/x^3,x=-1..2, ‘CauchyPrincipalValue’);

Возьмем еще один наглядный пример — вычисление интеграла от синусоидальной функции при произвольно больших пределах, но кратных 2π! Очевидно, что при этом (учитывая равность площадей положительной и отрицательной полуволн синусоиды) значение интеграла будет равно 0. Например:

>int(sin(x),x=-1000*p1..1000*p1);

0

Однако распространение этого правила на бесконечные пределы интегрирования является грубейшей ошибкой. Интеграл такого рода уже не берется (или говорят, что он не сходится), и Maple 7 дает соответствующий результат:

> int(sin(х),x=-Infinity..Infinity);

 undefined

Во многих областях техники часто употребляются выражения «затухающая синусоида» или «нарастающая синусоида». Иногда говорят и о «синусоиде с уменьшающейся или возрастающей амплитудой». Бесполезно утверждать, что эти названия принципиально ошибочны — в рамках допущений, принятых в технических расчетах, такие утверждения весьма наглядны и эта, в частных случаях вполне оправданная, наглядность с позиций математики идет в ущерб точности фундаментальных определений.

Возьмем, к примеру, широко распространенную функцию: y(t)=exp(-t)sin(2πt). Построим ее график и вычислим определенный интеграл от этой функции с пределами от 0 до ∞ (рис. 8.4).

С первого взгляда на график видно, что каждая положительная полуволна функции (затухающей «синусоиды») явно больше последующей отрицательной полуволны. К тому же осцилляции функции быстро затухают и через десяток-другой периодов значение функции становится исчезающе малым. Вот почему Maple 7 уверенно вычисляет интеграл с такой подынтегральной функцией. Ее свойство — неопределенность при t→∞ исчезает.

Однако называть такую функцию «затухающей синусоидой», безусловно, неточно. Умножение sin(2pt) на множитель, зависящий от времени t, лишает функцию главного свойства синусоиды - ее строгой симметрии. Так что ехр(-t)sin(2pt) - это совсем новая функция со своими отличительными свойствами. Главные из них — несимметрия при малых t и исчезающе малые значения при больших t. Ни тем, ни другим свойством обычная синусоида не обладает.

А теперь возьмем антипод этой функции - «синусоиду с экспоненциально нарастающей до стационарного значения 1 амплитудой». Такая функция записывается следующим образом:

y(t)=(1 - exp(-t)) sin(2πt).

Ее график и попытки вычисления интеграла с такой подынтегральной функцией приведены на рис. 8.5.

Обратите внимание на то, что здесь прямое вычисление интеграла к успеху не привело, хотя из графика функции видно, что каждая положительная полуволна в близкой к t=0 области явно больше по амплитуде, чем последующая отрицательная полуволна. Однако в отличие от предыдущей функции при больших значениях аргумента данная функция вырождается в обычную синусоиду с неизменной (и равной 1) амплитудой. Вот почему трудяга Maple 7 честно отказывается вычислять интеграл от такой коварной функции.

На этом примере очень четко отслеживается разница в мышлении инженера и математика. Инженер скажет, что интеграл с такой функций должен быть, поскольку вначале положительные площади явно меньше отрицательных, а в дальней области они выравниваются, и потому площадь каждого «периода» функции становится примерно нулевой. По-своему инженер прав — если его не интересует точное определение подынтегральной области в заоблачных высотах бесконечности, то мы должны получить то же значение интеграла, что в предшествующем примере, но со знаком «минус». И в самом деле (см. рис. 8.5), интегрируя в пределах от 0 до 100л, мы получаем именно это значение (опять-таки в пределах погрешности по умолчанию).

И все же прав здесь математик — переход от интегрирования с конечным (да еще и кратным 2л) пределом к интегрированию с бесконечным пределом — далеко не простая операция. Она требует учета поведения функции при значении аргумента, стремящегося к бесконечности, а тут говорить о нулевой алгебраической площади синусоиды некорректно, ибо никакой кратности величине 2π бесконечности нет! Остается лишь радоваться тому, что система Maple 7 может примирить математиков и инженеров, дав им в руки средства, позволяющие решать подобные задачи с приближениями, приемлемыми для тех или иных категорий пользователей.

Мы подробно рассмотрели этот класс задач потому, что многие важные интегральные преобразования (например, преобразование Фурье) оперируют с подобными подынтегральными функциями и надо тщательно разбираться и областях их применения.

2.5.Интегралы с переменными пределами интегрирования

К интересному классу интегралов относятся определенные интегралы с переменными пределами интегрирования. Если обычный определенный интеграл представлен числом(или площадью в геометрической интерпретации), то интегралы с переменными пределами являются функциями этих пределов.

На рис.8.6 показано два примера задания простых определенных интегралов с переменным верхним пределом(сверху) и обоими пределами интегрирования(снизу).

На этом рисунке также построены графики подынтегральной функции(это наклонная прямая) и функция, которую задает интеграл.

2.6. Вычисление  кратных интегралов

Функции int и Int могут использоваться для вычисления кратных интегралов, например двойных и тройных. Для этого функция записывается многократно:

>restart:

>Int(Int(1/(x*y),x=4.4).y=2.0..2.6):

>value(%):

.02500598527

>Int(Int(Int(x^2+y^2)*z.x=0..a).y=0..a).z=0..a):

>value(%):

>Int(Int(2*x*y. x=sqrt(y)..y^2).y=0..1):

>value(%):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

С помощью описываемого пакета можно сэкономить массу времени и избежать многих ошибок при математических вычислениях. Естественно, система не ограничиваются только этими возможностями. Отметим, что спектр задач, решаемых подобными системами, очень широк:

• проведение математических исследований, требующих вычислений и аналитических выкладок;
• разработка и анализ алгоритмов;
• математическое моделирование и компьютерный эксперимент;
• анализ и обработка данных;
• визуализация, научная и инженерная графика;
• разработка графических и расчетных приложений.

Однако, в следствии того, что Maple требуют некоторых усовершенствований и для решения некоторой специфической задачи пользователю иногда необходимо интегрировать их, хотелось бы, чтобы была разработана программа, объединяющая все известные понятия и методы математики в единую универсальную систему. В идеале эта система должна представлять собой базу данных по всем существующим математическим понятиям, методам, доказательствам, решениям и алгоритмам; уметь для каждой конкретной задачи выбрать оптимальный метод решения, аналитический или численный; функционировать на любой вычислительной платформе. Такая идея, несмотря на всю свою амбициозность, весьма плодотворна, причем не только с чисто коммерческой точки зрения - увеличения количества потенциальных потребителей. Действительно, было бы очень удобно решать совершенно различные математические задачи, обращаясь к одной и той же системе. При этом отпадает необходимость в поиске и освоении новых программ.

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1. В. Гандер, И. Гржебичек. Решение задач в научных вычислениях с применением Maple и Matlab. М.: Вассамедина, 2005. – 520 с.
2. Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. СПб: Питер, 2004.
3. Дьяконов В.П. MAPLE 7: Учебный курс  СПб.: Питер, 2002., ст.289-293, 310-316.
4. Дьяконов В.П. Maple 6 Учебный курс. — СПб.: Питер, 2001. - 608 с.
5. Савотченко С. Е. Методы решения математических задач в Maple: Учеб. Пособие. – М.: Информационные технологии, 2000. – 350с.
6. Сдвижков О.А. Математика на компьютере: Maple 8. – М.: СОЛОН-Пресс, 2003. – 176 с.
7. Тарасевич Ю.Ю. Информационные технологии в математике. - М.: СОЛОН-Пресс, 2003. – 144 с.
8. Матросов А. В. Maple 6: Решение задач высшей математики и механики: Практическое руководство. 2001. - 528 с.